matemáticas por competencia 1

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Arriaga • Benítez

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Arriaga • Benítezpor competencias del I

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Datos de catalogaciónAutores: Arriaga Robles, Alan, Marcos Manuel Benítez CastanedoGuía del maestro. Matemáticas 1. Por competenciasPrimer grado, educación secundaria1a EdiciónPearson Educación, México, 2012ISBN: 978-607-32-1589-3Área: SecundariaFormato: 20.5 x 27cm Páginas: 304Esta edición en español es la única autorizada.Guía del maestro. Matemáticas 1. Por competenciasEl proyecto didáctico Matemáticas 1. Por competencias es una obra colectiva creada por encargo de la editorial Pearson Educación de México,por un equipo de profesionales en distintas áreas, que trabajaron siguiendo los lineamientos y estructuras establecidos por el departamentopedagógico de Pearson Educación de México.Especialistas en Matemáticas responsables de los contenidos y su revisión técnico-pedagógica:Obra original: Arriaga Robles, Alan y Marcos Manuel Benítez CastanedoRevisores Técnicos: Vicente Zimbrón Jiménez y Sergio Isidoro Alpizar JiménezDirección general: Philip De la Vega ■ Dirección K-12: Santiago Gutiérrez ■ Gerencia editorial K-12: Rodrigo Bengochea ■Coordinación editorial: Jorge Luis Íñiguez ■ Coordinación de arte y diseño: Asbel RamírezDirección K-12 Latinoamérica: Eduardo Guzmán BarrosDirección de contenidos K-12 Latinoamérica: Clara AndradeEditado por: EDIMEND, S.A de C.V ■ Director general: Francisco Méndez Gutiérrez ■ Director editorial: Alberto García Rodríguez ■Gerente de contenidos: Maricela García Núñez ■ Coordinación de contenidos secundaria: Gabriela Ramírez Salgado ■Coordinación editorial: J. René Piedra Tenorio ■ Edición: Gabriela Ramírez Salgado ■ Diseño y formación editorial: Mario TenorioMurillo y Mónica Huitrón Vargas ■ Corrección de estilo y editorial: Ma. Teresa Dávila Ortíz de Montellano ■ Diseño de portada: J. RenéPiedra Tenorio ■ Ilustraciones: Marcelino Aranda Flores, Ma. Eugenia Vázquez Cano y Javier Perdomo Muñoz ■ Fotografías:Shutterstock, Beatriz Mendoza Alvarez y Karla Flores ChozaISBN LIBRO IMPRESO: 978-607-32-1589-3 D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.Impreso en México. Printed in Mexico Atlacomulco 500, 5° piso Col. Industrial Atoto, C.P. 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información en ninguna forma ni por ningún medio, sea perleevcitorópnoicroe,smcreitcoándiecloe,dfiototor.- químico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso www.pearsonenespañol.comII

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PRESENTACIÓNUno de los grandes retos que enfrenta la educación secundaria es propiciar que elalumno desarrolle las competencias básicas que le serán útiles y podrá aplicar a lo largode su vida. Asimismo –y como parte del nuevo enfoque de la educación básica–, elalumno logrará aprendizajes esperados que, junto con los estándares curriculares,permitirá que consoliden las competencias básicas y especíﬁcas de cada asignatura.Como parte del proceso de enseñanza-aprendizaje, los agentes docente-alumno,bajo el enfoque del constructivismo, se conciben de una manera distinta, pues el pri-mero es una guía que orienta al segundo durante su proceso de aprendizaje, el cuales totalmente activo, tanto dentro como fuera del aula. De esta manera, se observala gran importancia que tiene el docente como pieza clave para conducir y facilitaral estudiante los elementos y las experiencias necesarias para desarrollar sus conoci-mientos, habilidades y actitudes.Las sociedades contemporáneas propician, cada vez más, que se establezcan distintasvisiones sobre el mundo que nos rodea, y en particular sobre las formas en las que se so-lucionan los problemas haciendo uso del razonamiento. Para plantear una solución sehace uso de simbolismos y correlaciones mediante el lenguaje matemático; de aquíla importancia de la asignatura dentro de la educación básica.Por tal motivo, el propósito fundamental de esta guía del maestro es auxiliar al docen-te para el mejor aprovechamiento de los contenidos del libro del alumno. Así pues, seofrecen herramientas para romper con el paradigma tradicional de la enseñanza yayudar a promover una educación basada en competencias. Por tal motivo esta guíadel maestro está dividida en distintas secciones donde se describirán los cambiosmás signiﬁcativos del nuevo enfoque de la educación básica y de la asignatura delas Matemáticas, sugerencias para planiﬁcar el trabajo en el aula, el uso y el manejode las secciones en el libro del alumno, la relación entre los aprendizajes esperados,los estándares curriculares y las competencias con la evaluación, entre otros.Estamos seguros de que este libro se convertirá en un instrumento útil para comple-mentar su labor docente. Pearson Educación reitera su apoyo y espera que este cicloescolar esté lleno de satisfacciones y éxitos. ÍNDICEPresentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IIIEstructura de la obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IVOrientaciones didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIPlaniﬁcador mensual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXILibro del alumno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 III

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MATEMÁTICAS 1 ESTRUCTURA DE LA OBRA Las Orientaciones didácticas de la Guía del maestro se dividen en las siguientes secciones: Enfoque de la asignatura (Matemáticas) MATEMÁTICAS 1 Aquí se señalan los lineamientos de la asignatura a partir de sus compe- MatemáticaslarCá Taaeesdnimadenruale•eaeents ltsanprsutouaaoutrrnevnueednasm•laaedrsnt ve ecdoacrlnceeaaiscioluarzseoatlnonel, paonvlr locnaseaoesráleorcimsefssorcióenlrtd.etaeyndicateajprndoedipoei oLtauvraacrodde.lseatantioodicnpgdomreoillstvie,sapeetrroeas cseeofránscáai,mmdeoenee :nﬁuptcptlspcerdpaiaecictaáatcorretseriarsuooeodtuanvrinoa rdiosdm.csvaacaicmeltdpd eigsieor,ceoqojaouosaoitnupsrcnutnyicdqnrdviainancteeieeaddueireerooúdddsrlnqasei,seotpnsmeeaaltouoqdlonete dccrdaledieseuslneaitteoeemrreesennpddlspoaduoe i úeeareialzinieclseasanogtsposmltotf nerataﬁbeeesdeaorostrureiensamrrieuerrsesrettnrbeomesatuoautajsaatrieliinldpisldlnealisaleiaoziﬁazooldmiystnqca,adagae.naididetuncrmsaiuósDeddfseuooeatseri ntfipeens;apmeeruliyoysano,seanoo,teprotpnardseqptpymrncertieluíjtimaoauoriednetcensmaomennrpmea asicapsascgnlialeóo,ceecfmpliocneo anigisensaeeoonenerotlndqtnmnogreeeno,eciqaeuesttr asonoore,aedaeutsgnlncbcduan.qxleea,yaitisedtau oopernepofeleigennrooargdilasinezuvniner.speerdsacemmstvtroiairoCaegeeaseqlrmtealioslrnoanaóguadung,sienltncmeeeaeﬁe,tueetinellcsórmyrnscenesníneaepnaaulclolriedpponlaveoaasfnﬁyvorrescclumsoeonttileisqndsauobsrdbesnoauaeccadjedelbeziieyneacióoeeocltaemtlaucsilnnmoonrnaveonc.pastraotegmseodileltosPsdo.trneqdnauoaraspsiVqnúurciasentmrdioiueoeameneageedarre-nlbaijaiejielaéldteneraslssrrayiemaestezcoltqjoneraeuecsfpursc,naeu-aleivnoedaóorlt,eenearnaseld-laes tencias, ejes, aprendizajes esperados y estándares curriculares, así como su importancia en la educación básica. E X laansSDAlaMometEuTslaadrtareeg;SmeoEsisJ•nátd• at•ee ic pP•matP aeoPsrbtnr.ordrsaouobparbmngleelmleacoeemstm,erei avaSrudaocas yneues isóms cnc caapenuaudut lecamsagiiliitdctnrósiieatitvponoosenbolnamiessecrnejmeajaaasecutnsiiui( vcmedAnlooonecdsés tatritrotriiuecasd,oeeajdseehsm•aq• cuá iseadsieeeeldFueriqordesaulartysaeum cdmis oeaiconeu,gaeddeenrenipsdceplooaarsaasncmaeiloapc•tao e•rdnrtm •eeitpr pneádrfdnráPtuooaeeilirnbcidtcsolsoaceiaoieopssisnbos no)dtit,nliMerau eincpdescdi lseiafoaadióoordnnensarai dssemliteigjdeo-aadcd ióe nla Trabajo en el aula por secuencias didácticas APÉNDICES Proporciona los elementos para que el profesor guíe el proceso de Qrtpáaunrnoetcdoeul,TosUreAdoisarPmsnesnpaadíabpetreeebeaedslrsitnaacaeLputsqddppaoaoajopdliUauoarsnepdonldaiedaessranvrasrnemepeneoyaafeaprdosnscetlnidLlussunaedtriuadcqaazueatemepcsnoiereiuacsvpzsrtrenledsjqeaeuaiaiaageeacadacñseñrurldejbnr.eupescriatsaoneeeaondoeilasiarrraónsscereylireldluzdaeeiunor,nerdcaxlaoetnsaaansildpipijlpdcldcsdvsaeaealeoallsoeieax,ásoiiyqó-udlcrpr.pcuspcpenueaadáltemoasldrdeaiciorctrmnerotiedqenieaearisgisceuﬁnsloptep,ia,uqécddcssnerLeldaiaeuoaotsezaasseeaanecmeliesaeosccsiavncspinjñceeósncanaecbtucrdcieinsaoinngolsóetoieiuolsenteeteanannnntnemea.hdnzssrifndsmdﬁcu,aaaoetccepdsiiceeatnyczbaroóeayeeaensmnsascninenqgpttoujaamiuenteesvauyirdp,traneaossarreiecesdsaprbnbscsapeodeo.iecirducedsósanninootiarpyissatidegvednnerieudsmtosieráystzronu,pdsceiácaadaaealatiedajmolcdteienrarnscihosLacár,ttítoaalpsaseaaeeecpaiflsqie.mcrrolsloltncaa:rsouimfqmrancaatreonedmmelátpuamenovraeeoisnscemrseiasteaovd,eiudoledscisyncaelelltasanoiealaioórsnd:a-rlqtssoaruennc.iaiusznmasitAípaadeúedpscsjncaenteibíusiaorolidlprpaderrpnipetrunlenoUortidilaprcnedoiasdgtnoreulssdceiaaerluc,slatleinneeasozoeuablseacreamnisrluonlenmooeartpnasumfscadmeohlpldioasledacóoraeodenisopmﬁeanebtñceinnirnnﬁ.ualuvoaelajtacdspaeun,cndreeasnnerindd.eódñcecdrctmieinneaeizoióho-anfadanqiedljzditver,uzaeeeiasayéd.mnnjaaáetacácseqrtttiiuievclpcoeisaa-apssrearala- enseñanza-aprendizaje a partir del uso de secuencias didácticas. IlrnonráEiátisonynntcoinondi;pspsoniesaerca.epsaogsirtEoiidrpcaatneneAuEooódcTvmsasjmnArselceeeiouiaciotsgioplmt:boo,iyetUsootntraSelnxmreiasaennevadetamf:nueuaenatcqerelNusrnnidasutoaujoleielrlotaaiúsdeioszoaamzplsmosapya:acedsrrptrjoroMeeeneeaasdápelnvbersoumrgelataotiáoealsmrcuédtulsdbaancsepiamdnimpebriéiytsmlm.aéietueraeaiusanasicañámjcnrieilataenstaeaodcats-tsin-esd-cueee.ya-saomey-lspn:va1ceCiscinaoedsvnadeemvidnrDisepsiiuáehenlaerreocmatan.csrtegbdrmetaieceroixornorlamiripastdaúoi.dceolreamgliásenlnódoeneeetnleb.oorlnslorsasDdaysiagiumaecpafucrorcrcoatiaeeoitnvcvinnntit-iluddetNoizeCdyiacCazaú:veondeiacnuomamssinejittoclmeóisaóitpeadsenednpsraanfenqoeoaryeretsaicusomptﬁddpeeieesmeceorela,nil-oe:,acscnleiCceeatsodseosimmi:onamnvuesRieeunenerCssncstsizeee:ceioiitaeósecsa6.oljctvrrunresárrreesienetyirdnnue.dycefrsrpaEoeipasarnrsrefeeordmurasdebvelactasiaclcddaectcluiadooáimmiorórcosrfnaanaitascaines,scuyesatmmllrdova,aﬁdaeiarscvsneetneeaéescaempvs.miljdmeraddaeaárrnaeesntaltieuedclél.roansaica-s,- XI Uso del libro del alumno En esta sección se describe la forma en la que pueden aprovecharse las sugerencias didácticas proporcionadas en el libro del alumno. Asimismo, dentro de este apartado encontrará: Qué observar ypPcaareornqonstlaaumiiePttclllercuueiiCauecptarmleiemaavctónavosncaioiamid.ctopyónaolstlnaelaoqiapsenvisunrltsioeeredgedepemnirlsvoanouuiresnpddeyijgoualqvnaaalunaltnese.s,cer Ryemcuartseorsiales Eahedsnlucaslutueeeústtoacmtiienamotlnlissiapluczenticvedeuiraaromeodceráaecnncnoindinuaadidoctsódnptleoinetprodnianlideeipaneem.ciopsrdllecaaiaeuceoinarldm,racnlclumgaydcohuarocsiiaaóliaqvuqeetrnnneeuirustvdcrt,emeasdeiaodaleoasse Cómo enriquecer la actividad EeCaMendudpprtoelpeoeneuarrellaanleeenmtcalbrrdensc.dtacpéueaamoícdieclonrlsoic:io,uóeceártnpucDsaetnlnatoaaumatidndeculdalepioa“ozedcsapadasarD,nutirsr,eiraidgdcatelvacodonedeeispod,poineeqclaanai.agstc.nrudicUuennepoeaeciltioátrrcsieaggl”incia,nderao Se sugieren tareas adicionales, para hetdtupc:/a/rw/switew/.eedduucca.ar/r/ Qué observar que el adolescente complemente las index.htmlSe hacen acotaciones al margen de actividades propuestas en el librociertos temas con el ﬁn de sugerir so- del alumno. Recursos y materialesbre cuáles puntos profundizar. Esta sección incluye propuestas de recursos electrónicos cuya intención es complementar el tema que se está estudiando.IV

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ESTRUCTURA DE LA OBRA Curiosidades, acertijos y más aCcuerritoijsoids aydmesá,s ReﬂexiónPlantea anécdotas, situaciones o 65.43.2.F1.qs.Qeie.DinauAeasMPxucPaimelgvpprueíiluoter:íholmrpdaéinlptTqsatlrgeieeisnoijesupbolaaooneeqpll.leíeesugnlcuelePnanae2nanneícdllúdd0túsoaónarsami…ammeúvilspdgeiume1n2eoosousr0r…ar.ieoqoe.rr2u.no…et…e . Sobre el trabajoproblemas interesantes aplicados en equipo.a las matemáticas y al tema que Elpyanejluralmasbstoiitﬁmreceaaantrregdemueqmáumtieipcanaontsaerrase revisa. rplreleersosvpocaelenutducaioimócsnaaiebdlnooetsopesajeqrrauceliacisoes. ReﬂexiónBitácora pedagógica En esta sección se ofrece información para propiciar que el alumno reﬂexione Bitácora pedagógica sobre los valores humanos, el trabajo colaborativo, etcétera. Este espacio está destinado para Transversalidad que el docente lleve un “diario pedagógico” en el cual anote los smddjPeuieifanduetGtarteoeiemlainocctáloegoetnnrssicalaesafaíulxsasup,dpmrporenolnsaofidneosestneoqeerusne aspectos más relevantes del pro- cpdliotoifemberrlaoael:cenisctoerpnesacavrilmeaasrcii;eaatbnlactlleuoesslar ceso enseñanza-aprendizaje. y composición mpoabrglaicniaocnióaln, ,ppoobrreza,Cambiando números Cambiando números Transversalidad mencionar algunas. Rqﬁcceugauceluuacrduleaarlrsadasnidáeeromeeasnaps(summrdese2eas)te.lruuonmsano En esta sección se incluyen Propone actividades que pueden rea- modiﬁcaciones para realizar lizarse con otras asignaturas a partir las actividades propuestas. de la relación que existe a nivel de contenido entre éstas. MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 qpuroecceodnimteinegnatolsa. ERrv1eea.sspluSuueoalebvscreteiaóllaancsocsirrircgeuucnitfeaen.retAenlscﬁisaintsauelaiezcnaicoru,nerenestvryiasneesnaclreginubnegoresunnpeúolm2epe.sa4rtroaésnpdtreeucseiimbs3aad.,l3eessul.as dreesrueclthaadolas letra y los Claóamcotiveindraidquecer 0.8 0.2 Rspqeaeerrluucqceosyenmcu,etPcutareoeiqqeeoqpeéeólfaljcnuenunouururnusrnyedmevmoopedseesoeoqsasetrp“ueiacirtuinelyaltatEﬁoúuáeelqaanaéoheupvqniseernunsesamatrsqcunsafqeaesccaaltuhvolueu,.snnouogepbeelaneaeardoérpúyrerrcetcsreizsalnnoeeeﬁtleioenoónonrrcsqsrnsehd.neetiuquadjoais”ceeneuuco,arnnéeclsqstdiroacul,oadiedosoe 1.7 Evaluación a partir de la prueba PISA • •2¿•.CC•a3aP¿u)oad.)yCCa•4á)an1e0rS1lu.)os0.ea•.meSbe70án01.sOig5sa,lad9.ae¿dsupb7suy2)b0on6Ceseoaaa,n8.st$snrtsu2)cgise0eeeed3eoeeá,ra2lasqn.an6anvn8np08eudsca1ll3ato.lnlaiyoeo8a.atmsl1nl5lrnnsaarl0.eddtdaei2asint.sadeeees7rr3brspemc.oe$acui)asgulssab1ibnp4npteucjb.ar)ao.tu2saidor4biibest0ldnersealt8n)e)oe.dsaatbp9lbe8tt$itta1rded)eaókee6nd)n3.esiasss275cala06ts,5iode7e,tdﬁrn.8Do,qáer2r2gmet.iim3sule,o5o.uedl$45oireq0nrnirnei,n5sao.uykus6P¿l0sareaeiltc,ale3g0ooygudn$n¿a.u,sg3ecále4c0a.a¿roulhmbr..ca58smcemáieumetu)slnoápéelce4eoetnotdm)asil.lsrptr7idicd0comeacdul8)c0q)i.elnacelc6laa9t$c.upme2sta)6ij5yea)p4aió.rrdo24e9zl.0l2isadiúóner9,ic.0stov7coa0polmssoaa,rr.re6rslsol1ppivlinaaods.eayrs5ivbourrg$ue1áadtcyu1sni.ctueo7.i5o3aencbdLp?.nete4a2tedoatl.e1eec)pk?cn4sdiliar1edcliommc)mrm3ada,0d.deebn1)e.l4)nd9irt3e$odn6iao3)6ds3?)k4r.25va3d5im1nl6id,o0ee.úee2r0g.m45tmrs,.reo28aid3ne5m2m.eyr2.5o4opa2.?y32sr.o4o3d0lidr.etl3ruiptohcrosoat2s?or.si6ib:n8ecl3aenm0?a3k$iml2(o.ib(g5nd()rueab()tlmao)k(s)oialyos()ala) En este apartado se describe la importancia de la evaluación de las competencias, estándares curriculares y aprendizajes esperados con base en la prueba tipo PISA. 3 cm 3 cm PLANIFICADOR MENSUAL 170 Bitácora pedagógicaPlaniﬁcación mensual OCTUBRE 2012Se incluye un formato mensual donde se seña- Semana 7 Dom. Luneslan las semanas y las fechas de trabajo, de acuer- 1do al calendario escolar vigente. Asimismo en Martes PLANIFICADOR MENSUALeste espacio, el maestro podrá planiﬁcar la dis- 2 Miércoles 170tribución de los temas a lo largo del año escolar. 3 Jueves 4 Viernes 5 Semana 8 Sáb. 78 6 9 10 11 Semana 9 14 15 12 13 16 17 18 Semana 10 21 22 19 20 23 24 25 Semana 11 28 29 26 27 XXIII 30 31 Libro del alumno Se incluye el libro del alumno con cada una de las secciones antes mencionadas, donde se indica cómo aprovechar de la mejor manera su uso. V

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MATEMÁTICAS 1 ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Antes de comenzar a explicar a detalle las sugerencias didácticas para las actividades del libro del alumno, es importante describir los fundamentos sobre los cuales fueron planiﬁcadas cada una de las secciones ofrecidas, con el ﬁn de proveer una herramienta útil para la labor docente. Uno de los primeros puntos bajo los cuales se consideró la elaboración del libro del alumno, fue a partir de la Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB) 2011, cuyo propósito es for- mar ciudadanos críticos, democráticos y creativos a partir de dos dimensiones: • Dimensión nacional. Implica que el adolescente construya su identidad personal y na- cional; asimismo, que valore su entorno y se desarrolle como persona plena. • Dimensión global. El alumno desarrollará competencias que podrá aplicar tanto en el aula como en su entorno, además de que le resultarán de gran utilidad a lo largo de su vida. Un aspecto sobresaliente de la RIEB 2011 es que concibe a la educación básica dentro de un solo mapa curricular, en donde cada una de las asignaturas se construye a partir de una articula- ción; es decir, conforme el alumno avanza en su educación, movilizará sus conocimientos hacia otras asignaturas. Así pues, la articulación también puede observarse en los procesos pedagógicos y en los procedimientos de evaluación. Algunos de los planteamientos pedagógicos y didácticos más importantes y que la RIEB 2011 considera son los siguientes: 1. El alumno y sus procesos de aprendizaje son el centro de atención Desde etapas tempranas se necesita provocar en el alumno disposición y capacidad para continuar aprendiendo durante toda su vida, a ﬁn de que desarrolle habilidades superiores de pensamiento y pueda solucionar problemas, pensar críticamente, comprender y explicar situaciones desde diferentes puntos de vista. 2. Es importante la planiﬁcación para potenciar el aprendizaje Como parte de la labor docente, planiﬁcar el aprendizaje permite potenciar el desarrollo de las competencias en los estudiantes. Para esto, hay que organizar las actividades en distintas formas de trabajo, hacer uso de las secuencias didácticas y el trabajo por proyectos, por men- cionar algunos. Es importante que las actividades propuestas ofrezcan desafíos intelectuales a los estudiantes, para generar en ellos interés y busquen opciones para su resolución. 3. Hay que generar ambientes de aprendizaje En los espacios de aprendizaje que genere el profesor, el estudiante podrá desarrollar la comu- nicación e interactuar con otros alumnos para construir su conocimiento a partir de distintas situaciones. 4. El trabajo colaborativo promueve la construcción del aprendizaje Esta consideración pedagógica y didáctica involucra tanto a estudiantes como a maestros, y dicta las pautas para guiar las acciones hacia el descubrimiento, planteamiento de soluciones, coincidencias y diferencias para generar un aprendizaje colectivo.VI

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ORIENTACIONES DIDÁCTICASEs primordial que la escuela fomente el trabajo colaborativo para que el aprendizaje sea inclu-sivo, llegue a metas, favorezca el liderazgo compartido, permita el intercambio de recursos,desarrolle el sentido de responsabilidad y corresponsabilidad, además de que permita que elaprendizaje se realice en entornos presenciales y virtuales. 5. Hay que desarrollar las competencias, lograr los estándares curriculares y los aprendizajes esperadosPoner énfasis en el desarrollo de competencias, el logro de los estándares curriculares y losaprendizajes esperados, por lo tanto hay que favorecer el desarrollo de:Competencias • Capacidad de responder a di erentes situaciones implica un saber hacer (habilidades) con un saber (conocimiento), así como la va- loración de las consecuencias con ese valor (valores y actitudes).Estándares • on descriptores de lo ros de nen aquello que los alumnos de-curriculares mostrarán al concluir un periodo escolar; sintetizan los aprendiza- jes esperados y son equiparables con estándares internacionales y en conjunto, con los aprendizajes esperados, constituyen refe- rentes para evaluaciones nacionales e internacionales que sirven para conocer el avance de los estudiantes durante su tránsito en la educación básica.Aprendizajes • on indicadores de lo ro que, en términos de la temporalidad esperados establecida, deﬁnen lo que se espera de cada alumno haga en tér- minos de saber y saber hacer, además de dar concreción al traba- jo docente al constatar lo que los estudiantes logran y constituyen un referente para la planiﬁcación y la evaluación en el aula. 6. El uso de materiales educativos favorece el aprendizajeEl uso de la Biblioteca Escolar y la de Aula contribuyen a la formación de los alumnos comousuarios de la cultura escrita; también favorece el logro de los estándares nacionales de lahabilidad lectora.Los materiales audiovisuales que se encuentran en esos espacios generan un entorno variadoen el que los estudiantes crean su propio aprendizaje. Asimismo, se incluyen los recursos edu-cativos informáticos, los cuales pueden utilizarse fuera y dentro del aula mediante portaleseducativos. VII

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MATEMÁTICAS 1 7. La evaluación es importante para aprender El docente es el encargado de la evaluación de los aprendizajes de los alumnos y quien rea- liza el seguimiento, crea oportunidades de aprendizaje y modiﬁca su práctica para que ellos logren los aprendizajes establecidos en el Plan y en los programas de estudio. La evaluación de los aprendizajes es el proceso que permite obtener evidencias, elaborar juicios y brindar retroalimentación sobre los logros de aprendizaje de los alumnos a lo largo de su formación; por tanto, es parte constitutiva de la enseñanza y del aprendizaje. Por otro lado, las competencias que el alumno desarrollará a lo largo de la educación básica son:Competencias para el aprendizaje permanente Competencias para el manejo de la informaciónMediante la habilidad lectora; el alumno se inte- El alumno seleccionará, organizará y sistematizarágrará a la cultura escrita, podrá comunicarse en la información a ﬁn de que la analice de maneramás de una lengua, hará uso de las habilidades crítica, la utilice y comparta con sentido ético.digitales y aprenderá a aprender. Competencias para el manejo de situaciones Competencias para la convivenciaEn distintas condiciones, el alumno planteará y A través de la relación con otros, el alumno apren-llevará a buen término distintos procedimientos, derá a convivir armónicamente, además de valorartanto a nivel personal como escolar. la diversidad social, cultural y lingüística. Competencias para la vida en sociedad El alumno actúa con juicio crítico y con valores, tomando en cuenta las implicaciones sociales y ad- quiriendo una conciencia de pertenencia cultural en nuestro país y en el mundo. Y en especíﬁco para la asignatura de Matemáticas, el alumno desarrollará estas competencias: Resolver problemas de manera autónoma. Los alumnos identiﬁcan, plantean y resule- ven problemas o situaciones de diferentes tipos. Comunicar información matemática. Los alumnos a expresan, representan y sistemati- zan información matemática. Validar procedimientos y resultados. Los alumnos adquieren conﬁanza para explicar y justiﬁcar sus procedimientos y soluciones mediante argumentos a su alcance. Manejar técnicas eﬁcientemente. Mediante el uso de procedimientos y formas de re- presentación, los alumnos efectúan cálculos.VIII

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APÉNDICESOtro de los puntos esenciales de la RIEB 2011 es la inclusión de cuatro campos formativos, loscuales son los que se presentan a continuación:1. LENGUAJE Y COMUNICACIÓN 2. PENSAMIENTO MATEMÁTICO Desarrollo de competencias comunicativas: ha- Se busca que los alumnos sean responsables de blar, escuchar, interactuar con otros. construir nuevos conocimientos a partir de los saberes previos, esto implica: Identiﬁcar problemas y solucionarlos. • ormular validar con eturas. Comprender, interpretar y producir diversos • Plantearse nuevas pre untas. tipos de textos, transformarlos y crear nuevos • Comunicar, analizar e interpretar procedi- géneros y formatos. mientos de resolución. Reﬂexionar acerca de ideas y textos. • uscar ar umentos para validar. • ncontrar di erentes ormas de resoluci n de problemas. • ane ar técnicas de manera e ciente. CAMPOS3. DESARROLLO PERSONAL FORMATIVOSY PARA LA CONVIVENCIA 4. EXPLORACIÓN Y COMPRENSIÓN DEL MUNDO NATURAL Y SOCIALLa ﬁnalidad es que los alumnos aprendan a ac-tuar con juicio crítico a favor de la democracia, La premisa es la integración de experiencias conla libertad, la paz, el respeto a las personas, a la el ﬁn de observar con atención objetos, animaleslegalidad y a los derechos humanos . y plantas; reconocer sus características, formular preguntas y experimentar, explorar de maneraImplica también manejar armónicamente las organizada y metódica el mundo natural y social.relaciones personales y afectivas para construiridentidad y conciencia social.La asignatura de matemáticas se incluye en el segundo campo formativo; es decir, en el delpensamiento matemático.Enfoque de la asignatura (Matemáticas)La asignatura de Matemáticas en esta nueva propuesta de la RIEB 2011 incluye propósitos porcada nivel escolar, se introducen los estándares curriculares (los cuales se explicaron en pági-nas anteriores), se agregan desafíos que sean cognitivamente estimulantes para los alumnosy se reestructuran los temas, quedando la modalidad de trabajo de la siguiente forma: Eje temático Temas ContenidoEjes temáticosRecuerde que son solo tres los ejes temáticos y que en cada bloque se realizan actividades decada uno de ellos: sentido numérico y pensamiento algebraico; forma, espacio y medida, asícomo manejo de la información. Para facilitiar su identiﬁcación, a cada uno se le asignó uncolor diferente, constante a lo largo de la obra. IX

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MATEMÁTICAS 1 Cada eje temático tiene un propósito y conviene tenerlo presente para dar mayor sentido a las actividades que realizarán los estudiantes. Dicho propósito será congruente con lo que se espera del alumno. • Con el e e del sentido numérico y pensamiento algebraico se pretende que los alumnos profundicen en el estudio del álgebra con los tres usos, conceptualmente distintos, de las literales: como número general, como incógnita y en relación funcional. Vigile que en las actividades correspondientes a este eje los estudiantes alcancen la generalización de las propiedades de los números y sus operaciones. • ediante las actividades correspondientes al e e de forma, espacio y medida se favore- ce en los estudiantes el desarrollo de la competencia de argumentación. Por ejemplo, al construir, reproducir o copiar una ﬁgura, pídales que argumenten las razones por las cuales es válido efectuar cierto trazo realizado; asimismo, observe que el estudiante se dé cuenta de lo conveniente que resulta utilizar instrumentos de geometría y saber manejarlos de manera adecuada, para que inﬁera la importancia de la precisión y lo objetivo que es tener un apoyo gráﬁco. • n el e e de manejo de la información propicie que los alumnos se acostumbren a analizar datos provenientes de distintas fuentes, a organizarlos, representarlos e inter- pretarlos. Las actividades de este eje se apoyan en nociones tales como el porcentaje, la variación proporcional, la probabilidad y, en general, el signiﬁcado de los números enteros, fraccionarios y decimales en diferentes contextos. Con el ﬁn de consolidar estos conceptos, permita que los estudiantes propongan o inventen problemas que se resuelvan mediante algunos de estos temas y que formen parte de su vida cotidiana y de su entorno. Tema Cada uno de los ejes temáticos contiene temas que indican el contenido general que se trata- rá en el transcurso del correspondiente apartado. De tal manera, que para el nivel secundaria la asignatura de Matemáticas queda de la siguiente forma: MatemáticasE Sentido numérico Forma, espacio Manejo de laJ y pensamiento y medida informaciónE algebraicoST • meros sistemas de • i uras cuerpos • Proporcionalidad E numeración • edida funcionesM • Problemas aditivosA • Problemas multiplicativos • ociones de probabilidadS • Patrones ecuaciones • nálisis representación de datos Desde esta perspectiva estos tres ejes se relacionan con el contenido de la asignatura; sin em- bargo, el cuarto eje (Actitudes hacia el estudio de las matemáticas), persiste a lo largo de toda la educación secundaria, además de que se genera a partir del estudio de las matemáticas.X

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APÉNDICESTrabajo en el aula por secuencias didácticasUna de las formas en las que el docente contribuye para que el alumno logre los aprendizajesesperados y desarrolle las competencias, es mediante la planeación del proceso de enseñanza.Así es que antes de explicar qué son las secuencias didácticas, es indispensable hablar de quéimplica la planeación de este proceso.Para poder diseñar una planiﬁcación hay que considerar:Que los estudiantes aprenderán Las estrategias didácticas que se Utilizar los aprendizajes espera-durante toda su vida y, por tan- elijan deben provocar la movi- dos como un referente para lato, deben involucrarse en su pro- lización de saberes, así como la planeación.ceso de aprendizaje. evaluación congruente de los aprendizajes esperados.La generación de ambientes de Las evidencias de desempeño, deaprendizaje, para que de manera tal forma que brinden informacióncolaborativa el estudiante se nutra a al maestro para la toma de decisio-partir de experiencias signiﬁcativas. nes y así continuar motivando el aprendizaje en el estudiante.Las secuencias didácticas, en este caso, son una herramienta útil para la planiﬁcación, ya queson pequeños ciclos de enseñanza y aprendizaje, formadas a partir de un conjunto de activi-dades articuladas y dirigidas con un propósito en particular. Así pues, una secuencia didácticapermite que los alumnos entiendan y sistematicen los contenidos con el ﬁn de hilvanar losaprendizajes esperados, las competencias y los estándares curriculares de las matemáticaspara su desarrollo.Una secuencia didáctica se desarrolla en tres momentos:Inicio. En esta fase se plantean Desarrollo. Durante esta fase selos propósitos que se trabaja- exponen actividades que permi-rán; se contextualizará al alum- tirán la movilización y el incre-no para motivarlo y se diseña- mento de conocimientos, habi-rán situaciones problémicas. lidades y actitudes para el logroEn este momento también se de los aprendizajes esperados.indaga sobre los conocimien-tos previos de los estudiantesy se incluye una pregunta de-tonadora, la cual dará pauta alinicio del tema a revisar. Cierre. En esta fase ﬁnal de la secuencia didáctica, se da un cierre y se valoran los aprendi- zajes esperados a través de los estándares curriculares. XI

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MATEMÁTICAS 1 Un ejemplo de secuencia didáctica es el siguiente: Asignatura: Matemáticas 1 Número de sesiones: 6 Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: meros sistemas de numeraci n Contenido: Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decima y viceversa. Competencias: Resolver problemas de manera Aprendizaje esperado: Convierte números frac- autónoma, comunicar información matemática, cionarios a decimales y viceversa. validar procedimientos y resultados, manejar téc- nicas eﬁcientemente. Estándar curricular: Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. Inicio de la secuencia didáctica: Intención pedagógica: Que los estudiantes identiﬁquen las situaciones en las que se utilizan los números fraccionarios y que recuperen sus conocimientos previos sobre el tema. Comenzar a ejempliﬁcar al alumno sobre el uso de los números fraccionarios en la vida cotidiana. Algu- nos casos donde se utilizan son cuando se compran cosas en el mercado, por ejemplo, 1 de zanahoria, 4 1 papa, 3 de carne, por mencionar algunos. Otra situación, es cuando se compra una pizza y se pide 2 4 que se divida en seis partes, al ﬁnal, cada pedazo representa 1 del total. 6 Terminar esta introducción pidiendo a los estudiantes más ejemplos en donde se emplean los números fraccionarios; ﬁnalmente motivar para que realice la evaluación diagnóstica del tema, y que está conteni- da en la sección de “Acuérdate de”, en la página 14 del libro del alumno. Después de que haya contestado la sección de “Acuérdate de”, comentar en grupo los resultados ob- tenidos y enfatizar sobre la importancia de los números fraccionarios en la vida real y la relación que tiene con los números decimales. Desarrollo de la secuencia didáctica: Intención pedagógica: Que los alumnos relacionen sus conocimientos, habilidades y actitudes previos con los adquiridos, para convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. En esta fase el alumno, de manera individual, parejas, equipo o grupal realizará los ejercicios de la sección “Practícalo”, en las páginas 14 a 19. Dependiendo de la actividad se enfatizará lo siguiente: • ctividad 1.1 ipos de racciones sus características. • ctividad 1.2 mportancia de los n meros raccionarios decimales. • ctividad 1. Procedimientos para trans ormar un denominador a 10, 100 1000. • ctividad 1. 1. Procedimientos para la conversi n de n meros raccionarios en decimales y viceversa. • ctividad 1. . Procedimientos para la trans ormaci n de un n mero peri dico semiperi dico en fracción común. • ctividad 1. . Procedimientos para la conversi n de n meros raccionarios en decimales viceversa. Cierre de la secuencia didáctica: Intención pedagógica: Que los alumnos valoren su aprendizaje esperado, mediante los estándares curriculares. Con esta fase se ﬁnaliza la secuencia didáctica, por lo que la sección “Lo que aprendí” de la página 20 permitirá valorar los conocimientos, habilidades y actitudes del alumno, además de comprobar el logro del aprendizaje esperado a través del estándar curricular. Después de pedir al estudiante que conteste esta sección, se veriﬁcarán los resultados obtenidos, asimismo, hay que preguntar al adoles- cente qué parte del ejercicio se le diﬁcultó más y en caso de encontrar errores, encontrar la razón de por qué no obtuvo el resultado correcto y reforzar la explicación.XII

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APÉNDICESUso del libro del alumnoEl libro del alumno tiene una estructura didáctica bien organizada, pues a través de diversassecciones se introduce al alumno en una serie de actividades que le permiten ir participando yadquiriendo de manera directa, información que complementa los temas del programa y quees muy necesaria para lograr los aprendizajes esperados. Las diferentes secciones y la formaen la que deben de manejarse se describen a continuación. Bloque 1 on e o i órico –3500 –2785 –2750 –1790 Invención de la rueda Construcción de Construcción de las Hammurabi, rey intelectual pirámides de Gizeh Stonehenge de BabiloniaEntrada de bloque –1900 –1500Al inicio de cada bloque se presentan los –3500 –3100 –2700 –2300 Numeración cunei ormeaprendizajes esperados y una línea del tiempo. a ilónica a e Aprendizajes esperados: e in en a el aco ec o ma em ico Numeración jeroglífica • Convierte n meros raccionarios a decimales viceversa. a ro • Conoce utiliza las convenciones para representar n meros raccionarios decimales Numeración ecimal cunei orme en la recta numérica. a irio a ilónica • epresenta sucesiones de n meros o de uras a partir de una re la dada viceversa. 12 13Aprendizajes esperadosAnalice con los alumnos los aprendizajes esperados, pues son el referente especíﬁco que in-dica hacia dónde están orientadas las actividades que realizarán en cada bloque; además, sedestaca la información del tema y los contenidos que incluyen y que deberán tratarse.A manera de sugerencia, le proponemos:• l inicio de cada bloque, or anice a los alumnos por equipos para que copien los aprendi- zajes esperados en una cartulina que puedan pegar en una de las paredes del salón de cla- ses. La intención pedagógica es que los alumnos tengan presente qué lograrán al término de cada bloque.• u iera a los alumnos, como una orma de autoevaluaci n, que copien los aprendiza es esperados en su cuaderno, en una tabla, como la siguiente: Aprendizaje esperado Puedo hacerlo Tengo diﬁcultades Necesito ayuda satisfactoriamente para resolverlo para resolverloConvierto números fraccionariosa decimales y viceversa.Conozco y utilizo las convencionespara representar números fraccionariosy decimales en la recta numérica.Represento sucesiones de númeroso ﬁguras a partir de una regla daday viceversa.A medida que avancen en el desarrollo de los temas, pida que la completen, colocando una4 dentro de la casilla que describa mejor su aprendizaje. Esto puede servir para organizargrupos de estudio en los temas que requieran de un mayor tratamiento. XIII

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MATEMÁTICAS 1 on e o i órico Línea del tiempo –3500 –2785 –2750 –1790 Invención de la rueda Construcción de Construcción de las Hammurabi, rey intelectual Las matemáticas son una forma más que la sociedad ha utilizado pirámides de Gizeh para resolver problemas. La línea del tiempo, al inicio de cada Stonehenge de Babilonia bloque, tiene la intención de mostrar el contexto histórico en que han surgido los acontecimientos más relevantes en el mundo de –1900 –1500 las matemáticas. –3500 –3100 –2700 –2300 Numeración cunei orme a ilónica a e e in en a el aco ec o ma em ico Numeración jeroglífica a ro Numeración ecimal cunei orme a irio a ilónica 13 Para trabajar con ella le sugerimos: • tilice este recurso didáctico para que los alumnos lleven a cabo prácticas de cálculo men- tal; recuerde que al iniciar un día de trabajo escolar, el esfuerzo y la agilidad mental que produce esta ejercitación constituye una preparación excelente para cualquier individuo; la habilidad mental es formativa, tanto desde el punto de vista intelectual (dominio de las relaciones numéricas, movilización de conocimientos previos, capacidad para analizar, comparar y combinar) como del psicológico (concentración de la atención, esfuerzo de la memoria y originalidad en la resolución de problemas). • l traba ar en el desarrollo del cálculo mental, este no debe apreciarse como un simple cál- culo mecánico, sino considerarse como un cálculo reﬂexivo, mediante el cual cada alumno tiene una nueva oportunidad de validar sus procedimientos para alcanzar buenos resulta- dos y mostrar su originalidad y agilidad mental en el cálculo. Por ejemplo: pida que observen la línea del tiempo en la entrada del bloque 1, en donde se hace referencia a la época en que se inventó el ábaco; según los historiadores se calcula que ésta data aproximadamente del año 3000 a.C. Podría entonces preguntar a los alumnos: ¿hace cuántos siglos se inventó el ábaco? Tome en cuenta que, como no hay precisión en el año de invención, se pueden utilizar como unidades de medida los siglos; tome en cuenta que los alumnos ya tienen conocimiento de los números con signo, por lo tanto será aceptable que utilicen esos números al dar su respuesta o bien lo hagan en término de a.n.e. o d.n.e. Esta es una buena oportunidad para que entiendan que también hay cantidades al otro lado del cero y observar cómo operan con esas cantidades. • provec e los demás datos que se o recen en la línea del tiempo para ormular otras preguntas y vincular la información con otras asignaturas; por ejemplo: ¿cuántos años transcurrieron entre la invención de la rueda y la construcción de las pirámides de Guiza en Egipto? ¿Qué aportaciones hizo la cultura egipcia al campo de las matemáticas? ¿En qué continente se encuentra Egipto? ¿Consideran que la construcción de las pirámides requirió de conocimientos matemáticos? ¿Por qué lo consideran así?, etcétera. • n la medida en que los alumnos adviertan que el desarrollo de las matemáticas no es exclusivo de una región, tendrán mejores elementos para corroborar que en él la sociedad desempeña un papel muy importante. • i las condiciones son propicias, pida a los estudiantes que investi uen ec os ist ricos mencionados en las líneas del tiempo, así como el contexto histórico en el que se desa- rrollaron, sus aportaciones en el campo de las matemáticas, alguna anécdota, etcétera. Luego se seleccionarán algunos trabajos y se comentarán en el grupo, con la posibilidad de enriquecer la información con las aportaciones de los alumnos que escuchen la exposición. Acuérdate de… El propósito de esta sección es que el alumno recupere sus conocimientos y habilidades ad- quiridos; no se trata de hacer un repaso, más bien se pretende veriﬁcar el nivel de aprendizajeXIV

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MATEMÁTICAS 1 APÉNDICESEje temático Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Números y sistemas de numeración Contenido 1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversadel estudiante y cuál es su potencial para profundizar ACUÉRDATE DE...o acceder a los nuevos contenidos, independiente- 1. Observen detenidamente las fracciones que aparecen encerradas en un círculo y coloreen de maneramente de la parte motivante que le corresponde como semejante aquellas que tienen características similares. 3 1 1 6 25 3 5 2 2 3 1 3 11 2 3 5 74 5 9 8 10 2 100 1000introducción y de la que busca conectarlo con los con- • ¿Qué tipo de racciones encontraron en el con unto?tenidos previos. • Expliquen cuáles son las diferencias que permiten identiﬁcar los tipos de fracciones.Con frecuencia se propone que los alumnos realicen Fracción común. Es la • ¿Qué di erencia a entre una fracción común un n mero decimal?la actividad en equipo para fomentar el desarrollo del representaci n de la parte de trabajo colaborativo. Las situaciones que se plantean un todo, se e presa en orma Para tener en cuentaparten de lo más sencillo, tratando de propiciar la par- dpee rdteivniesicen a l dnernuuompmoe ridnaeda doloorsr , números racionales. • ¿C mo se distin ue un n mero decimal de Para encontrar una racci n una racci n com n? equivalente debes multiplicar el numerador y el denomina- dor por el mismo número. • scriban cinco e emplos de cada tipo.ticipación de todos los estudiantes, para que mediante Compartan sus respuestas con el rupo, presenten una conclusi n eneral re ístrenla en su cuaderno.el intercambio de ideas y procedimientos se constru- Para tener en cuentayan nuevos conocimientos. ealizar una conversi n si ni ca que debes e presar una cantidad de una orma distinta, en el caso de las racciones consiste en encontrar una representaci n decimal a una racci n com n viceversa. PRACTÍCALO Actividad 1.1Precisamente, la metodología didáctica sugerida para los nuevos programas consiste en llevar1. De acuerdo con la situaci n de la secci n cuérdate de… , coloca en la tabla 5 fracciones que a as encontrar diferentes formas decoloreado después discute lo que se pide.al aula actividades que motiven a los alumnos a reﬂexionar, a Fracción Característica Nombreresolver los problemas y a formular argumentos que validen sus resultados.Mediante las actividades previas se busca, entonces, que los alumnos entren en la situación 14correspondiente al apartado en cuestión; el desafío consiste en rescatar lo que ya saben hacer,para que estén en mejores condiciones de aprovechar las nuevas experiencias y reestructurenlo que ya saben, lo modiﬁquen o amplíen, y rechacen o ratiﬁquen que la forma en la queaplican sus conocimientos es eﬁcaz.Al trabajar en esta sección, le sugerimos:• Dé el tiempo su ciente para resolverla la participaci n de los MATEMÁTICAS 1 alumnos es undamental para el buen aprendizaje. Para apoyar su creatividad, pídales que modiﬁquen la represen- tación de sus resultados y que expongan sus argumentos.• Propicie la participaci n de los alumnos, para que se den cuentaAC UdÉReDA TqE DuE...e los problemas no son ajenos a ellos.• provec e estas actividades para obtener un dia n stico del rado de conocimientos habilidades del grupo. Para tener en cuentaPractícaloEn esta sección se incluyen actividades para que los es- PRACTÍCALO Actividad 6.1tudiantes resuelvan, propongan y adquieran seguridaden sus procedimientos, además de que vayan alcanzan- 1. Describe debajo de cada imagen la acción mostrada.do autonomía y desarrollen la competencia del manejode técnicas. AB C AB BC CA BC C AComo parte medular del libro le sugerimos: A B CA• n al unas actividades se inclu una ran canti- C AC dad de ejercicios; la ﬁnalidad es que, mediante la reﬂexión y la ejercitación en la resolución, los alum- Compara con el resto del grupo tus respuestas y veriﬁquen con su profesor que sean correctas. nos alcancen la automatización, muy diferente a la simple mecanización.• o es necesario que los alumnos resuelvan todas cada una de las operaciones si a su juicio los estudiantes ya tienen cierto dominio en el manejo de técnicas operatorias, puede pedir que solo resuelvan cierta cantidad de operaciones, o bien que resuelvan en especíﬁ- co algunas operaciones que usted haya seleccionado.• i no terminan al unas actividades en clase, permítales que las conclu an en casa poste- riormente revíselas; estimule la dedicación que le brinden a la actividad.• i la or anizaci n del rupo lo permite, propicie la ma or participaci n de los equipos en el desarrollo de las actividades; éstas permiten la socialización de procedimientos en la búsqueda de soluciones. XV

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MATEMÁTICAS 1 • a socializaci n dará a los estudiantes ma ores oportunidades de validar sus procedimien- tos y adquirir seguridad en la resolución de problemas. De manera particular, en el manejo de algunos contenidos, también le sugerimos: • Para que el estudiante cuente con más erramientas intelectuales es apropiado que tam- bién desarrolle la habilidad de estimación; desde el Bloque 1 se ofrece una oportunidad de trabajar en este sentido, promueva la participación del grupo para observar el desarrollo de esta habilidad y, si es posible, pídales que propongan cantidades. • Pon a especial atenci n en la resoluci n de las actividades en las que se emplean raccio- nes comunes, ya que éstas permitirán a los alumnos el desarrollo de nociones útiles para comprender mejor contenidos más avanzados, como el razonamiento proporcional y las fracciones algebraicas. Aun cuando las relaciones de proporcionalidad se han trabajado desde la primaria, es im- portante reforzar los conceptos de razón, proporción y el cálculo del valor faltante en una expresión para que pueda obtenerse la proporción. • l desarrollar las actividades de este apartado, observe que los alumnos muestren en sus parti- cipaciones que están entendiendo el concepto de proporción; si fuera necesario, pida que al ir resolviendo cada inciso argumenten por qué consideran correcto el resultado que presentan. Con el propósito de consolidar el concepto de proporcionalidad, permita que también los estudiantes propongan o inventen problemas que se resuelvan mediante proporciones. • as actividades relacionadas con el si ni cado uso de las literales permiten en el estu- diante el desarrollo de la habilidad de ﬂexibilidad de pensamiento, lo importante en este tipo de actividades es la posibilidad de que los alumnos encuentren las expresiones alge- braicas que mejor entiendan, que puedan comunicarlas, que expliquen cómo las obtuvie- ron y que las validen. • l resolver actividades que involucran unidades de medida por e emplo, en el cálculo de perímetros y áreas), observe que las respuestas de los estudiantes incluyan las unidades de medida correspondientes. Conforme vaya cerrando el tratamiento de algunos contenidos, pida a los alumnos que lean al grupo sus conclusiones. • provec e la resoluci n de problemas para que los estudiantes di undan sus procedimien- tos, los validen y adquieran conﬁanza; recuerde que cuando el grupo aprende a escuchar otras formas de resolver va desarrollando la haMbATiElMiÁdTIaCAdS 1 de ﬂexibilidad de pensamiento, evalúa sus propios procedimientos, aprende a poner atención y a escuchar. Lo que aprendí En esta sección se pretende que los estudiantes LO QUE APRENDÍ muestren de manera más puntual el tipo de ha- 1. Las instrucciones de esta actividad están dadas en forma de mensaje secreto, descifren cada mensaje para bilidades intelectuales que están desarrollando. conocer su contenido y realicen lo que se les pide. a) C—n—tr—y— u— t—iá—g—l— c—n l—s s—g—i—nt—s s—g—e—t—s d— r—c—a. Como parte ﬁnal del trabajo del bloque ten- AB B CC A ga presente que: b) D—b—j— u— c—a—r—d— s— —u d—a—o—a— m—d— 4.5 u—i—a—e—. • as competencias matemáticas requieren de • Describe el procedimiento que empleaste para trazar las uras de a b . varios componentes, y uno de ellos es preci- • n caso de no contar con el equipo de eometría, ¿c mo realizarías la actividad? samente el de las habilidades matemáticas. Desarrolla tus habilidades • bserve c mo las actividades del libro darán a los estudiantes otras ormas para consolidar sus propios procedimientos de resolución de problemas. Desarrolla tus habilidades Esta sección es otra oportunidad para que los estudiantes reﬂexionen acerca del tema que están estudiando y las actividades puedan adquirir mayor sentido.XVI USA LAS TIC

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APÉNDICESCuando se trabaje con este recurso le sugerimos:• Potencie las pre untas para que los estudiantes desarrollen la abilidad del pensamiento lógico matemático.• provec e esta secci n para escuc ar c mo ar umentan las respuestas. • provec e también esta secci n para re orzar la autoestima de los estudiantes, pues brin- da la oportunidad para el desarrollo de la argumentación y de la creatividad.• nriquezca esta secci n con sus aportaciones las de sus alumnos. i es posible, inclu a si- tuaciones, como algunos juegos o algunos acertijos que no requieran de gran elaboración o de conocimientos que el alumno no haya tratado en otro momento.EvaluaciónEsta sección, de ﬁnal de bloque, tiene la inten- MATEMÁTICAS 1 BLOQUE 1ción de alcanzar la evaluación de los conoci-mientos y habilidades alcanzadas por el alumno; Evaluación Evaluaciónesto signiﬁca que cuando los estudiantes resuel-ven identiﬁcan los temas que más trabajo les Resuelve las siguientes situaciones y escribe en el paréntesis de la derecha la letra que con- 2. ¿Qué día deberá entregar el reporte del mes de octubre? ()cuestan, y a través de esta valoración saben qué tenga la respuesta correcta. Al ﬁnalizar, revisen en grupo esta prueba, sus resultados y lostemas o contenidos requieren de mayor desem- procedimientos. a) Domingo 2 b) Miércoles 5 c) Lunes 2 d) Martes 4peño; es también una oportunidad para que eldocente sepa en qué temas se requiere poner 1. Observa las siguientes ﬁguras geométricas. 3. ¿Cuántos reportes habrá entregado Carlos en el mes de septiembre? ()más empeño para que los alumnos alcancen elaprendizaje; como docente, también esta sec- a) 5 reportes b) 6 reportes c) 7 reportes d) 8 reportesción debe permitir identiﬁcar aquellos temas enlos cuales el grupo requiere de mayor atención 3. Observa las líneas de color que se encuentran en el triánguloo tiempo para la consolidación de aprendizajes. 1. ¿Cuál es el color de la bisectriz en el triángulo? () 1. ¿Cuánto suman las partes coloreadas de las tres ﬁguras? () a) La línea punteada negra b) La línea roja 1 () c) La línea verde d) La línea morada 58 () a) b) 1 c) 1 d) 1 () 6 54 64 2. ¿Cuál es el color de la mediatriz en el triángulo? () 2. ¿Cuánto suman todos los triángulos de las ﬁguras? () a) La línea roja b) La línea morada a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 c) La línea punteada negra d) La línea verde 4 4 4 4 3. ¿Cuál es la diferencia entre la superﬁcie sombreada del triángulo y del rectángulo? 3. ¿Cuál es el color de la altura en el triángulo? () d) La línea roja 1 1 3 7 a) La línea morada b) La línea punteada negra c) La línea verde 4 8 8 4 a) b) c) d) 4. ¿Cuál es el color de la mediana en el triángulo? () d) La línea punteada negra 4. ¿Cuánto suma la superﬁcie coloreada del cuadrado más la superﬁcie del rectángulo? a) La línea verde b) La línea morada c) La línea roja a) 8 b) 9 c) 7 d) 5 9 8 8 8 4. En una feria hay un juego llamado “Chicos o grandes”, el cual consiste en tirar dos dados y predecir 5. ¿Cómo se expresa en número decimal el resultado de la pregunta anterior? que sale un número mayor o menor que siete (claro que también se puede jugar a que va a salir 7 exacto). a) 1.125 b) 1.45 c) 1.251 d) 1.215 1. ¿Quién tiene más posibilidades de ganar? () a) Los que predicen que sale un número menor que 7. 6. ¿Cómo se expresa en número decimal la fracción común de la parte de color de la superﬁcie del b) Los que predicen que sale un número mayor a 7. c) Los que predicen que sale el número 7. triángulo? () d) Los que no predicen que sale el número 7. a) 0.65 b) 0.75 c) 0.7 d) 0.25 2. Carlos trabaja en una tienda, cada cuatro días debe entregar un 2. Si solo juega una persona apostando a un número mayor que 7, ¿quién tiene más posibilidades de reporte de productividad que incluye ﬁnes de semana, trabajados o no. Este mes inició el lunes 5. ganar, el jugador o la casa? () 1. ¿Qué sucesión representa los días que Carlos debe () a) Tienen igual posibilidad de ganar b) La casa entregar reporte? a) 5, 9, 15, 21, 27 b) 5, 9, 13, 17,21, 25, 29 c) El jugador d) Tienen igual posibilidad de perder c) 5, 10, 16, 21, 27 d) 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23 66 67Cabe destacar que en el apartado de Evaluación a partir de la prueba PISA se profundizarámás sobre esta evaluación, ya que el formato que guarda en su estructura obedece a este tipode valoración. Qué observar ypPcEarahrleedosnareolucaqsluttsuelsenseúmsttoiaecuaumictiienPattmaoctlnlleislierusiuuapelucpntCzeanetilcveivdeaermuiraalaarvomeodcmaeacrvtáóaecnclaancnoosniininadinicuaa.odiidmoóctdsctoód.penptlenlaoinentpaosrtodnnilanlieadeeiopaqineepm.cisienvoypsnrdlulecaarliatseduicoeeoinaerlledgemda,racniplcelmnvumgrslaydcohuoanouairocsidiraaesólianqpvuqdeetryiunjnneegouiarusqtavdcrt,naemeasdeliauondtaleeoasesse,cerEn cada una de estas secciones pertenecientes al libro del alumno (“Acuér-date de…”, “Practícalo”, “Lo que aprendí”, “Desarrolla tus habilidades” y“Evaluación”), se han agregado otras cápsulas, con el ﬁn de brindar al profe-sor recursos para aprovechar al máximo estas actividades. Las cápsulas son:• Qué observar. A lo largo del libro, y como parte de las sugerencias didácticas, incluimos esta sección en la cual destacamos algunas cues- tiones que es importante que considere para el desarrollo del tema.• Como enriquecer la actividad. En esta sección proponemos otras accio- nes concretas que le servirán como referencia para el trabajo de cada unode los contenidos tratados en el libro. Reﬂexión• Reﬂexión. Como parte de las sugerencias didácticas, incluimos esta Sobre el trabajo sección en la que tratamos algunas cuestiones relacionadas con los con- en equipo. tenidos actitudinales y con la transversalidad de la asignatura con algu- Eladlasronreeebgsslolumaolpresmlruaveomancencnineaóeerttdnaaaqeirmmucdreyaiepáisbejtpoeuonicejsetpatptoruiescaﬁsroirlcmcqaasaiauoriltaese. nas otras.Sin embargo, a lo largo de las propuestas didácticas también podrá sugerirse el trabajo conotras asignaturas para vincular el contenido que se está trabajando, con el ﬁn de que el estu-diante tenga una visión más amplia en su enseñanza.Por otro lado, también se invita a que el profesor, haciendo uso de su creatividad y experien-cia, genere otros ambientes de aprendizaje donde el alumno pueda vincular el contenido dela asignatura de Matemáticas con el de otras. Así pues hay que considerar la relación con otrasmaterias, como Física, Química, Geografía, etcétera. XVII

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MATEMÁTICAS 1 Por ejemplo: una forma para que el alumno comprenda la modelación puede ser al relacio- nar expresiones algebraicas con ﬁguras geométricas, lo cual lo llevará a modelar situaciones y obtener expresiones de carácter general, PcRoAmCToÍCAeLnO: “Encontrar la fórmula que te permita calcular el perímetro de un polígono”. Para la mayoría de los alumnos no resultará muy complejo hallar la fórmula solicitada y a partir de ello se le está involucrando en temas como: • Perímetro de un polí ono • odelaci n • educci n de términos seme antes Otras secciones en el libro del alumno son: Para tener en cuenta En esta sección se consolidan los conceptos cla- Para tener en cuenta ves que permitirán al alumno comprender los temas que se están tratando. Para encontrar la mediana de un triángulo debes localizar el punto medio de un lado y trazar una línea desde este punto hasta el vértice opuesto. Es importante que: PRACTÍCALO • otive al alumno para que lo consulte las veces que lo requiere, así repasar la orma en la que puede llevar a cabo los procedimientos de una situación dada, hasta que por sí mismo pueda aplicar estos conocimientos y habilidades a distintos casos planteados. • ambién puede solicitarle que en su cuaderno escriba e invePsRtAiCTuÍCeA aLOquellos puntos deP esta Q sección que no le hayan quedado claros. AB • otive al alumno para que de manera individual o en equipo, e pon a ante el resto del grupo los datos obtenidos de la investigación, a ﬁn de que desarroAlle suB s habilidades ver- bales y contribuya a la adquisición de conocimientos del resto de sus compañeros. Para leer más Esta sección brinda una serie de datos que per- Para leer más AB miten enriquecer el tema de estudio. La mayo- ría de estas cápsulas incluye conceptos simpli- El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene sustituyendo cada ﬁcados. letra por un valor determinado y resolviendo las operaciones. Observa: Para trabajar esta sección le sugerimos: Encontremos el valor numérico de la expresión 4n – 4 sustituyendo en n los valores 1, 2, 3 y 4. Para el 1 queda 4(1) – 4 = 4 – 4 = 0 • Pida a al n alumno que lea coment e con Para el 2 queda 4(2) – 4 = 8 – 4 = 4 todo el grupo lo que la nota quiere decir. Para el 3 queda 4(3) – 4 = 12 – 4 = 8 Para el 4 queda 4(4) – 4 = 16 – 4 = 12 • i se requiere una e plicaci n más amplia, trate de no repetir la información; lo más PRACTÍCALO conveniente es servirse de diversos ejemplos y que sean los propios alumnos quienes in- terpreten la información, claro, orientados por su conocimiento y evitando que falten a la realidad conceptual o procedimental, según sea el caso. • Pida a los alumnos que re istren en tar etas de traba o la in ormaci n proporcionada, así como los comentarios hechos al respecto. Esto les permitirá poner en práctica el análisis y síntesis de ideas. • otive a los alumnos a investi ar otro tipo de in ormaci n relacionada con el tema que la compartan con el grupo. A lo largo del libro, y como parte de las sugerencias didácticas, hemos incluido la sección Curiosidades, acertijos y más, que puede servir como modelo.XVIII

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ѯ UTS ‫؍‬ APÉNDICES ѯ ABC ‫؍‬ AR Asimismo dentro de las sugerencias didUácticas se incluye la sección de:F • CapulricioaBsdiadsaadelass, acertijos y más, donde se plantean situaciones y anécdotas interesantes matemáticas. M ѯ RHK ‫؍‬ Hѯ HGF ‫؍‬Usa las TIC E ѯ DEM ‫؍‬ Las actividades complementarias contienen referencias de activi- H dades adicionales que se realizarán por medio deDlas Tecnologías USA LAS TKIC de la Información y Comunicación (TIC) y que pueden reforzar Para conocer más acerca del reparto proporcional y ver los contenidos tratados. A lo largo del libro, y como parte de las sugerencias didácticas, algunos ejemplos, visita la hemos incluido la sección: pá ina http://www.ditutor. com/proporcionalidad/ • Recursos y materiales, aquí hemos referido algunas sugeren- repartos_proporcionales. html cias de materiales y páginas de Internet en las que los alumnos pueden ampliar el trabajo del contenido estudiado en clase. Glosariora tener en cuCeonntafrecuencia se ofrece la deﬁnición de aquellas palabras que pudieran presentar alguna diﬁcultad porque se desco- nozca su signiﬁcado. Al encontrar en la lectura este recurso le sugerimos: Bisectriz. Es la recta que, partiendo de un vértice, • encionarlas cuantas veces sea necesario, a que en divide a un ángulo en la medida en la que se utilicen de manera natural los dos partes iguales. estudiantes podrán apropiarse del lenguaje especíﬁco de la asignatura.PRACDTeÍCmAaLnOera adicional, al ﬁnal de cada página se incluye la sección “Bitácora pedagógica”, que es un espacio donde el profesor podrá llevar un registro de cada una de las sesiones que tenga con sus alumnos. Este tipo de información es muy útil para recabar datos sobre los avances y elementos por profundizar en el aprendizaje de los estudiantes. Evaluación a partir de la prueba PISA Cuando evalúe el aprendizaje, debe considerar un conjunto de acciones a ﬁn de recabar la in- formación necesaria que permita apoyar las decisiones que tome en relación com las situaciones didácticas, el plan de acción dentro el aula y el empleo de materiales, entre otros. Asimismo, la evaluación le provee información sobre el grado de avance que cada alumno tiene en diferentes etapas del proceso de enseñanza-aprendizaje. Como se ha remarcado a lo largo de estas páginas, algo fundamental en el enfoque que plan- tea la RIEB 2011, es la evaluación de los aprendizajes esperados y las competencias, a través de los estándares curriculares, y la prueba PISA (Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos por sus siglas en inglés) de la OCDE, ofrece los elementos necesarios para tal ﬁn; es decir, permite conocer el nivel de desempeño de los alumnos ya que evalúa algunos de los conocimientos y habilidades necesarios que deben tener para desempeñarse de forma com- petente en la sociedad del conocimiento. La prueba PISA se ha convertido en un consenso para los países que pertenecen a la OCDE, entre ellos México, que perﬁla las sociedades contemporáneas a partir de tres campos de desarrollo en la persona: la lectura como habilidad superior, el pensamiento abstracto como base del pensamiento complejo, y el conocimiento objetivo del entorno como sustento de la interpretación de la realidad cientíﬁca y social. Los estándares curriculares, como ya se describió, expresan lo que los alumnos deben saber y ser capaces de hacer en los cuatro periodos escolares: al concluir el preescolar; al ﬁnalizar el XIX

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MATEMÁTICAS 1 tercer grado de primaria; al término de la primaria (sexto grado), y al concluir la educación secundaria. Cabe mencionar que cada conjunto de estándares, correspondiente a cada perio- do, reﬂeja también el currículo de los grados escolares que le preceden. Los niveles de desempeño que contempla la prueba PISA para matemáticas son:Nivel 6 • os alumnos que alcanzan este nivel son capaces de ormar conceptos, eneralizar utilizar in ormaci n a partir de investigaciones y modelos de situaciones problémicas complejas. Posee un pensamiento y razonamiento matemático avanzado, además de desarrollar nuevos enfoques y estrategias para abordar situaciones nuevas.Nivel 5 • os adolescentes, cuando lo ran este nivel, son capaces de ormar conceptos, eneralizar utilizar in or- mación a partir de investigaciones y modelos de contextos complejos. Formulan y comunican con exacti- tud sus acciones y reﬂexiones relativas a sus hallazgos, y a su adecuación a las situaciones originales.Nivel 4 • os estudiantes traba an con e cacia los modelos matemáticos en situaciones comple as concretas, uti- lizan habilidades bien desarrolladas y razonar con ﬂexibilidad y con cierta perspicacia en estos contextos. Pueden elaborar y comunicar explicaciones y argumentos basados en sus interpretaciones y acciones.Nivel 3 • os alumnos realizan procedimientos descritos con claridad, incluso los que se relacionan con decisiones secuenciales. Pueden seleccionar y aplicar estrategias de solución de problemas sencillos. Saben interpretar y usar representaciones basadas en diferentes fuentes de información y razonar directamente a partir de ellas. Pueden elaborar escritos breves exponiendo sus interpretaciones, resultados y razonamientos.Nivel 2 • os estudiantes pueden interpretar reconocer situaciones en conte tos que solo requieren una in erencia directa. Saben extraer información relevante de una sola fuente y hacer uso de un único modelo de repre- sentación. Pueden utilizar algoritmos, fórmulas, convenciones o procedimientos elementales. Son capaces de efectuar razonamientos directos e interpretaciones literales de los resultados.Nivel 1 • os estudiantes saben responder a pre untas relacionadas con conte tos amiliares, en los que está pre- sente toda la información relevante y las preguntas están claramente deﬁnidas. Son capaces de identiﬁcar la información y llevar a cabo procedimientos rutinarios siguiendo instrucciones directas en situaciones explícitas. Pueden realizar acciones obvias que se deducen inmediatamente de los estímulos presentados.Por debajo • os estudiantes cu o desempeño se sit a por deba o del nivel 1 son incapaces de tener é ito en las tareas más básicas que busca medir PISA.del Nivel 1 Fuente: http://www.pisa.sep.gob.mx/ PLANIFICADOR MENSUAL Fecha de consulta: 18 de junio de 2012. Como se señaló con anterioridad, en las evaluaciones tipo PISA que se incluyen al ﬁnal de cada bloque se contempla la estructura de esta prueba, a ﬁn de que el alumno pueda aplicar y valorar sus competencias y aprendizajes esperados a partir de los estándares curriculares.XX

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AGOSTO 2012 PLANIFICADOR MENSUAL Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Curso de formación Curso de formación Curso de formación Curso de formación Curso de formación continua continua continua continua continuaSemana 1 19 20 21 22 23 24 25Semana de Inicio de cursoinducción yevaluaciónpreparatoria PLANIFICADOR MENSUALSemana 2XXI 26 27 28 29 30 31Bloque 1Contenido 1

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SEPTIEMBRE 2012 PLANIFICADOR MENSUAL Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 1Semana 2Semana 3 23 4 5 6 7 8Contenido 2Semana 4 9 10 11 12 13 14 15Contenido 3Semana 5 16 17 18 19 20 21 22Contenido 4 Suspensión programadaContenido 5 por sucesión de días inhábilesSemana 6 23/30 24 25 26 27 28 29Contenido 5 XXII

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OCTUBRE 2012 PLANIFICADOR MENSUAL Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 1 2 3 4 5 6 Semana 7 Contenido 6 Semana 8 78 9 10 11 12 13 Contenido Semana 9 14 15 16 17 18 19 20 Contenido 8 Semana 10 21 22 23 24 25 26 27 Contenido 9 Semana 11 28 29 30 31 Evaluación parcialXXIII

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NOVIEMBRE 2012 PLANIFICADOR MENSUAL Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 1 3Semana 11 2 Suspensión de labores docentesSemana 12 45 6 7 8 9 10Bloque 2Contenido 1Semana 13 11 12 13 14 15 16 17Contenido 2Semana 14 18 19 20 21 22 23 24Contenido 3 Suspensión de labores docentesSemana 15 25 26 27 28 29 30Contenido 4 XXIV

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DICIEMBRE 2012 PLANIFICADOR MENSUAL Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 1 Semana 15 Semana 16 23 4 5 6 7 8 Contenido 5 Contenido 6 Semana 17 9 10 11 12 13 14 15 Contenido Semana 18 16 17 18 19 20 21 22 Vacaciones Vacaciones 29 Evaluación Suspensión programada 26 parcial por sucesión de días Vacaciones 27 28 inhábiles Vacaciones Vacaciones 23/30 24/31 25 Vacaciones VacacionesXXV

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ENERO 2013 PLANIFICADOR MENSUAL Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 1 2 3 4 5 Vacaciones Vacaciones Vacaciones VacacionesSemana 19 67 8 9 10 11 12Bloque 3Contenido 1Semana 20 13 14 15 16 17 18 19Contenido 2Contenido 3Semana 21 20 21 22 23 24 25 26Contenido 4Semana 22 27 28 29 30 31Contenido 5 XXVI

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FEBRERO 2013 PLANIFICADOR MENSUAL Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 2 Semana 22 1 Solicitud de preinscripción 2013- 2014 Semana 23 34 5 67 89 Contenido 6 Suspensión de labores docentes Semana 24 10 11 12 13 14 15 16 Contenido Semana 25 17 18 19 20 21 22 23 Contenido 8 Semana 26 24 25 26 27 28 Evaluación parcialXXVII

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MARZO 2013 PLANIFICADOR MENSUAL Semana 26 Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 1 2Semana 27 34 5 6 7 8 9Bloque 4Contenido 1Semana 28 10 11 12 13 14 15 16Contenido 2Semana 29 17 18 19 20 21 22 23Contenido 3 30 Suspensión de labores 27 28 29 docentes Vacaciones Vacaciones Vacaciones 24/31 25 26 Vacaciones Vacaciones XXVIII

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ABRIL 2013 PLANIFICADOR MENSUAL Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 2 3 4 5 6 1 Vacaciones Vacaciones Vacaciones Vacaciones Vacaciones Semana 30 78 9 10 11 12 13 Contenido 4 Contenido 5 Semana 31 14 15 16 17 18 19 20 Contenido 6 Semana 32 21 22 23 24 25 26 27 Contenido Semana 33 28 29 30 Evaluación parcialXXIX

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MAYO 2013 PLANIFICADOR MENSUAL Semana 33 Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 2 3 4 1 Suspensión de labores docentes.Semana 34 56 7 8 9 10 11Bloque 5 Suspensión programadaContenido 1 por sucesión de días inhábilesSemana 35 12 13 14 15 16 17 18Contenido 2 Suspensión de labores docentes.Semana 36 19 20 21 22 23 24 25Contenido 3Semana 37 26 27 28 29 30 31Contenido 4 XXX

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JUNIO 2013 PLANIFICADOR MENSUAL Semana 37 Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 1 Semana 38 23 4 5 6 7 8 Contenido 5 emana acional de Evaluación Semana 39 9 10 11 12 13 14 15 Contenido 6 Semana 40 16 17 18 19 20 21 22 Evaluación parcial Semana 41 23/30 24 25 26 27 28 29 RepasoXXXI

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JULIO 2013 PLANIFICADOR MENSUAL Dom. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sáb. 1 2 3 4 5 6Semana 42 Fin de cursoEvaluación ﬁnal 78 9 10 11 12 13 Vacaciones Vacaciones Vacaciones Vacaciones Vacaciones 14 15 16 17 18 19 20 Vacaciones Vacaciones Vacaciones Vacaciones Vacaciones 21 22 23 24 25 26 27 Vacaciones Vacaciones Vacaciones Vacaciones Vacaciones 28 29 30 31 Vacaciones Vacaciones Vacaciones XXXII

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Arriaga • Benítezpor competencias 1

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MATEMÁTICAS 1 Datos de catalogaciónAutores: Arriaga Robles, Alan, Páginas: 272 Marcos Manuel Benítez CastanedoMatemáticas 1. Por competenciasPrimer grado, educación secundaria1a EdiciónPearson Educación, México, 2012ISBN SEP: 978-607-32-1232-8ISBN: 978-607-32-1233-5Área: SecundariaFormato: 20.5 x 27cmEsta edición en español es la única autorizada.Matemáticas 1. Por competenciasEl proyecto didáctico Matemáticas 1. Por competencias es una obra colectiva creada por encargo de la editorial Pearson Educación de México,por un equipo de profesionales en distintas áreas, que trabajaron siguiendo los lineamientos y estructuras establecidos por el departamentopedagógico de Pearson Educación de México.Especialistas en Matemáticas responsables de los contenidos y su revisión técnico-pedagógica:Obra original: Arriaga Robles, Alan y Marcos Manuel Benítez CastanedoRevisor Técnico: Hugo Salcido DuránDirección general: Laura Koestinger ■ Dirección K-12: Santiago Gutiérrez ■ Gerencia editorial K-12: Rodrigo Bengochea ■Coordinación editorial: Jorge Luis Íñiguez ■ Coordinación de arte y diseño: Asbel RamírezDirección K-12 Latinoamérica: Eduardo Guzmán BarrosDirección de contenidos K-12 Latinoamérica: Clara AndradeEditado por: EDIMEND, S.A de C.V ■ Director General: Francisco Méndez Gutiérrez ■ Director editorial: Alberto García Rodríguez ■Gerente de contenidos responsable: Luz Ma. González Torres ■ Edición: Raúl Pérez Martínez y Ángela Cortés Figueras ■ Diseño yformación editorial: J. René Piedra Tenorio, J. Antonio Guzmán Maldonado y Mario Tenorio Murillo ■ Corrección de estilo y editorial:Pamela Vicenteño Bravo ■ Diseño de portada: J. René Piedra Tenorio y J. Antonio Guzmán Maldonado ■ Ilustraciones: Marcelino ArandaFlores, Ma. Eugenia Vázquez Cano y Javier Perdomo Muñoz ■ Fotografías: Shutterstock, Beatriz Mendoza Alvarez y Karla Flores ChozaISBN SEP: 978-607-32-1232-8 D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.ISBN LIBRO IMPRESO: 978-607-32-1233-5 Atlacomulco 500, 5° pisoISBN E-BOOK: EN TRÁMITE Col. Industrial Atoto, C.P. 53519ISBN E-CHAPTER: EN TRÁMITE Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 1031Impreso en México. Printed in Mexico Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, foto- químico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.2

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PresentaciónLa sociedad de la que formamos parte es cada día más exigente, obliga a laactualización constante y a la aﬁrmación de los conocimientos matemáticos enmuchos contextos de la vida cotidiana. La tecnología avanza y ofrece sin cesarnuevas rutas hacia la información y la comunicación. Internet, las redes socialesy en general las nuevas tecnologías, que deﬁnen el campo de acción de las per-sonas de este siglo.En una sociedad en permanente cambio resulta indispensable que en las escuelasse formen ciudadanos competentes que en el futuro puedan asumir de maneraresponsable las tareas de participación social, den respuestas asertivas y perti-nentes a la problemática que se presenta día a día y que también desarrollenconocimientos y habilidades intelectuales para continuar aprendiendo a lo largode su vida.Los libros, la escuela y la tecnología deben formar un equipo sólido, que sea ge-nerador de aprendizajes y conocimientos del desarrollo como competencias y lasestrategias que deﬁnirán su camino en la vida diaria. Los libros son, sin duda, elcontacto más inmediato que los estudiantes tienen con el mundo y con sus opor-tunidades. En ellos se pueden aprender, no solamente procedimientos y teorías,sino estrategias, capacidades, habilidades y aptitudes para enfrentar el día a día.El estudio de las matemáticas en la educación secundaria está orientado a lograrque los alumnos aprendan a plantear y resolver problemas en distintos contextos,a justiﬁcar la validez de sus procedimientos y resultados y a utilizar de forma ade-cuada el lenguaje matemático. Bajo esta perspectiva, se espera que este libro seaun material de apoyo útil para resolver los distintos problemas que se presenten,aprovechando los conocimientos previos y sus inquietudes para el desarrollo decompetencias, actitudes y habilidades matemáticas.Con este libro se busca ofrecer un gran apoyo que, junto con prácticas como eldiálogo, la reﬂexión crítica, el uso de técnicas de las Tecnologías de la Informacióny la Comunicación, el debate y el análisis para la toma de decisiones con el ﬁn delograr que sean los estudiantes quienes, en forma colaborativa y crítica, presentenpropuestas individuales o grupales que les posibiliten mejores aprendizajes. 3

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MATEMÁTICAS 1 Al alumno(a): En tu libro Matemáticas por competencias 1, encontrarás retos que te ayudarán a resolver situaciones particulares. Durante el desarrollo de las actividades que se presentan, te darás cuenta que para resolverlas, necesitas aplicar tus conoci- mientos previos para adquirir nuevos signiﬁcados, sin la necesidad de ajustarte a modelos prescritos, y tendrás la posibilidad de integrar y aplicar las matemáticas de manera propia. Es decir, si bien este libro está realizado para ser una guía en la obtención de aprendizajes esperados, deseamos que las actividades que se pre- sentan las puedas resolver por ti mismo o en equipo, a través de la reﬂexión y el análisis de enunciados, fórmulas, símbolos y signos bajo la guía de tu profesor. Las diferentes secciones que conforman la secuencia didáctica de este libro motivan a que utilices tus estrategias y resuelvas los planteamientos de la misma manera en que lo hacen quienes emplean la teoría de las matemáticas. ¡Te damos la bienvenida a tu primer grado de secundaria y esperamos que hagas de esta etapa una de las más exitosas de tu vida! Al profesor(a): El libro Matemáticas por competencias 1 tiene como ﬁnalidad ser un apoyo en el aula y un recurso elaborado para facilitar el aprendizaje de sus alumnos y la comprensión de los temas de esta asignatura. La propuesta de este libro es centrar la atención en el alumno, tratándolo de acuerdo con sus necesidades, intereses y habilidades; con el propósito de que sea competente, respetando sus capacidades, destrezas y temperamentos. Para lo anterior, es conveniente promover el trabajo individual, en equipo y grupal, ya que la interacción entre los alumnos fortalecerá la responsabilidad, la retroa- limentación y la motivación para seguir aprendiendo. En la organización del tra- bajo es importante que considere el intercambio de experiencias con los demás docentes, aproveche la vinculación de los contenidos con los de otras asignaturas y realice un trabajo interdisciplinario; de esta manera favorecerá el desarrollo in- tegral de los alumnos y posibilitará que alcancen uno de los principales propósitos de la educación secundaria: la formación de individuos capaces de aprender de forma autónoma. Los autores 4

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Estructura de tu libroLas secciones que conforman la estructura didáctica de Matemáticas por competencias 1 fueron creadaspensando en jóvenes como tú, que requieren y hacen uso de conocimientos útiles y precisos para desarro-llar sus competencias al máximo. Para alcanzar estos objetivos y aprovechar en su totalidad los recursos deesta obra.Bloque 2 Contexto histórico –350 –321 Declive del imperio babilonio. Construcción de la Gran Muralla China. –1350 –1100 –448 Los egipcios usan relojes Inicio de la guerra de Troya. Construcción del Partenón. solares. –1500 –1200 –900 –600 –350 0Aprendizajes esperados Hechos matemáticos –260 Se desarrolla la• Resolver problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. –600 –300 numeración arábiga.• Resolver problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las altu- En su recorrido por el mundo, Tales de Mileto Se acepta el sistema hindú contribuyó con el desarrollo de la geometría. (brahmi) de numeración. ras, medianas y mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.64 65 Entrada de bloque Línea del tiempo En este apartado se establecen El propósito de esta sección es los aprendizajes que se espera mostrar los vínculos históricos que desarrolles con el trabajo entre el desarrollo de la de cada secuencia didáctica. sociedad y las matemáticas. 5

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ÍndicePresentación ......................................................................................................................................................... 3Al alumno(a) ......................................................................................................................................................... 4Al profesor(a) ......................................................................................................................................................... 4Estructura de tu libro ................................................................................................................................................ 5Dosiﬁcación de contenidos........................................................................................................................................ 9BLOQUE 1 .................................................................................................................................................... 12Contenido 1. Conversión de fracciones decimales y no decimales a su estructura decimal y viceversa ................... 14Contenido 2. Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas 21 informaciones, analizando las convenciones de esta representación ................................................. 27Contenido 3. Resolución y planteamiento que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones ... 33Contenido 4. Construcción de sucesiones de números o de ﬁguras a partir de una regla dada en lenguaje común. 38 Formulación en lenguaje común de expresiones generales que deﬁnen las reglas de sucesiones con 44 progresión aritmética o geométrica, de números y de ﬁguras........................................................... 51Contenido 5. Explicación del signiﬁcado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números 58 generales con los que es posible operar ............................................................................................ 62Contenido 6. Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría .................................... 66Contenido 7. Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo .................................................................................................................................Contenido 8. Resolución de problemas de reparto proporcional ............................................................................Contenido 9. Identiﬁcación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles .............................................................Evaluación .........................................................................................................................................................BLOQUE 2 .................................................................................................................................................... 68Contenido 1. Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos 70 y compuestos ................................................................................................................................... 75 82Contenido 2. Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común 86 múltiplo ........................................................................................................................................... 94 101Contenido 3. Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales 112 en distintos contextos, empleando algoritmos convencionales ......................................................... 118Contenido 4. Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales ..................................................................Contenido 5. Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo .....................................................................................Contenido 6. Justiﬁcación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de ﬁguras .........................................................................................Contenido 7. Identiﬁcación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios ............................................................Evaluación .........................................................................................................................................................BLOQUE 3 .................................................................................................................................................... 120Contenido 1. Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos 122 contextos, utilizando el algoritmo convencional ............................................................................... 126Contenido 2. Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional ............................................................................................... 7

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MATEMÁTICAS 1Contenido 3. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer 134 grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios ...................................................................... 138 147Contenido 4. Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, 154 del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia 159 y el polígono inscrito en ella ............................................................................................................ 167 170Contenido 5. Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares ......Contenido 6. Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas ........................................................................................Contenido 7. Anticipación de los resultados de una experiencia aleatoria, su veriﬁcación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias .................................................................Contenido 8. Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa ..........................................................................................................................................Evaluación .........................................................................................................................................................BLOQUE 4 .................................................................................................................................................... 172Contenido 1. Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, 174 fraccionarios o decimales positivos y negativos ................................................................................ 180Contenido 2. Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no 185 alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas ........................................................................... 193 198Contenido 3. Justiﬁcación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo 204 gráﬁca y algebraicamente. Explicitación del número (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro ......................................................................................................... 210 220Contenido 4. Análisis de la regla de tres empleando valores enteros o fraccionarios ..............................................Contenido 5. Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala ......................................................................................................................Contenido 6. Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para veriﬁcar los resultados ..............................................................................................................Contenido 7. Lectura de información representada en gráﬁcas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráﬁca más adecuada ...........................................................................Evaluación .........................................................................................................................................................BLOQUE 5 .................................................................................................................................................... 222Contenido 1. Resolución de problemas que impliquen el uso de sumas y restas de números enteros .................... 224Contenido 2. Uso de la notación cientíﬁca para realizar cálculos en los que intervienen cantidades grandes 229 o muy pequeñas .............................................................................................................................. 238Contenido 3. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) 248 y la potencia exponente natural de números naturales y decimales ................................................. 256 261Contenido 4. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritméticaContenido 5. Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del circulo en la resolución de problemas ...Contenido 6. Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple ...................................................................Evaluación ......................................................................................................................................................... 268Bibliografía para el alumno........................................................................................................................................ 270Bibliografía para el docente ....................................................................................................................................... 271Bibliografía consultada .............................................................................................................................................. 2728

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DOSIFICACIÓN DE CONTENIDOSPara el desarrollo del programa y el logro de los propósitos planteados se cuenta con 200 días de trabajo. Se propone la siguiente distribuciónde tiempos:10 sesiones para el diagnóstico inicial por apertura de curso 102 sesiones para aplicación y revisión de exámenes al ﬁnalizar cada bloque 101 sesión en cada bloque para desarrollar la sección de Aplicaciones 51 sesión en cada bloque para desarrollar la sección de Exploración de TIC 515 sesiones al ﬁnalizar el curso para repaso general y reforzamiento de aprendizajes 15 Dosificación Eje Tema Subtema Número de sesiones por bloque9 Números y sistemas B1 B2 B3 B4 B5 Sentido Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura 4 numérico y de numeración decimal y viceversa. 4pensamiento Representación de números fraccionarios y decimales en la recta nu- algebraico Problemas aditivos mérica a partir de distintas informaciones, analizando las convencio- 1 nes de esta representación. 3 Patrones y ecuaciones Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distin- 2 ción entre números primos y compuestos. 2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo co- 1 mún divisor y el mínimo común múltiplo. Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización 3 de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. 2 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones 2 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números 3 fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algo- ritmos convencionales. 2 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros. Construcción de sucesiones de números o de ﬁguras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que deﬁnen las reglas de sucesiones con pro- gresión aritmética o geométrica, de números y de ﬁguras. Explicación del signiﬁcado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolu- ción de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c núme- ros naturales, decimales o fraccionarios. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una suce- sión con progresión aritmética

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MATEMÁTICAS 1Número de sesiones por bloque10 B1 B2 B3 B4 B5 Eje Tema Subtema 2 Problemas multiplicativos Sentido Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división 4 numérico y Figuras y cuerpos con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algo- pensamiento ritmos usuales. 3 algebraico Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números 5 decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencio- 4Forma, espacio nal. y medida Resolución de problemas que impliquen la división de números deci- 2 males en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. 3 Uso de la notación cientíﬁca para realizar cálculos en los que intervie- nen cantidades muy grandes o muy pequeñas. 1 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números 3 naturales y decimales. Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geo- 2 metría Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatri- ces y bisectrices en un triángulo. Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un án- gulo. Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informacio- nes (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella. Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etcétera) o que cumplan condicio- nes dadas.

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Eje Tema Subtema Número de sesiones por bloque Forma, espacio Medida B1 B2 B3 B4 B5 Justiﬁcación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regula- y medida Proporcionalidad res, con apoyo de la construcción y transformación de ﬁguras. 2 y funciones Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el Manejo de la área de polígonos regulares. 1 información Nociones de probabilidad Justiﬁcación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferen- Análisis y representación cia y el área del círculo (gráﬁca y algebraicamente). Explicitación del 4 número ␲ (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y de datos el diámetro. 1 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas. 1 Resolución de problemas de reparto proporcional. 2 Identiﬁcación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constan- 1 tes fraccionarios. Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva 2 de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. 2 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcio- 3 nalidad, en particular en una reproducción a escala. 3 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple. Identiﬁcación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los 3 resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resulta- 1 dos posibles. Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su veriﬁcación 1 al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias. 3 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimien- tos. Búsqueda de recursos para veriﬁcar los resultados. Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa. Lectura de información representada en gráﬁcas de barras y circula- res, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunica- ción de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráﬁca más adecuada.11

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MATEMÁTICAS 1 Bloque 1 Aprendizajes esperados: • C onvierte n meros raccionarios a decimales viceversa. • C onoce utiliza las convenciones para representar n meros raccionarios decimales en la recta numérica. • epresenta sucesiones de n meros o de uras a partir de una re la dada viceversa. 12 Qué observar Comente con sus alumnos los aprendizajes esperados que lograrán al término del bloque. Es importante que sepan qué conocimientos, habilidades y actitudes adquirirán, además de enfatizar la importancia que tienen en su vida cotidiana.12

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BLOQUE 1 Contexto histórico –3500 –2785 –2750 –1790Invención de la rueda Construcción de Construcción de las Hammurabi, rey intelectual pirámides de Gizeh Stonehenge de Babilonia –1900 –1500–3500 –3100 –2700 –2300 –1800 Numeración cuneiforme –3000 Hechos matemáticos babilónica (base 60) Se inventa el ábaco –2000 aprox. Numeración jeroglífica Numeración decimal cuneiforme asirio-babilónica 13Cómo enriquecer la actividadLa línea del tiempo tiene la intención de presentar los avances que lasmatemáticas han tenido en las distintas épocas, contextualizándolos de manerahistórica.Aproveche esta información también para practicar el cálculo mental. Preguntepor ejemplo:• ¿ ace cuantos si los se invent la rueda?• ¿Qué di erencia de tiempo se presenta entre la invenci n del ábaco la numeraci n cunei orme babil nica? 13

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Números y sistemas de numeración Contenido 1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversaQué observar ACUÉRDATE DE...En este apartado 1. Observen detenidamente las fracciones que aparecen encerradas en un círculo y coloreen de manerase espera que los semejante aquellas que tienen características similares.estudiantes aprendana diferenciar entre 3 1 1 6 25 3 5 2 2 3 1 3 11fracciones decimales 2 3 5 74 5 9 8 10 2 100 1000con respecto a las nodecimales. De la misma • ¿Qué tipo de racciones encontraron en el con unto? i tas, propias, impropias decimales.manera, que aprenda arealizar las conversiones • Expliquen cuáles son las diferencias que permiten identiﬁcar los tipos de fracciones.entre estas. i contienen enteros si el numerador es ma or o menor al denominador, o si el denominador Desde la sección es una potencia de 10.“ACUÉRDATE DE…”,las actividades Fracción común. Es la • ¿Qué di erencia a entre una fracción común un n mero decimal?planteadas permitirán representaci n de la parte de que los alumnosparticipen a través un todo, se e presa en orma Que la racci n decimal debe tener en el Para tener en cuentade los aprendizajes dpee rdteivniesicen a l dnernuuompmoe ridnaeda doloorsr , denominador una potencia de 10.previos que revisaron números racionales. • ¿C mo se distin ue un n mero decimal de Para encontrar una racci n en primaria, así como equivalente debes multiplicarclasiﬁcar las fracciones una racci n com n?y las conversiones entre el numerador y el denomina-estas, para que seala parte introductoria a racci n com n puede tener cualquier n mero en el dor por el mismo número.para tratar este tema. denominador. • scriban cinco e emplos de cada tipo. 24 1 1 5 9 4 20 5 2 12 8 7 11 27 10 10000 13 1000 10 100 Compartan sus respuestas con el rupo, presenten una conclusi n eneral re ístrenla en su cuaderno. Para tener en cuenta ealizar una conversi n si ni ca que debes e presar una cantidad de una orma distinta, en el caso de las racciones consiste en encontrar una representaci n decimal a una racci n com n viceversa. PRACTÍCALO Actividad 1.1 1. De acuerdo con la situaci n de la secci n cuérdate de… , coloca en la tabla 5 fracciones que a as coloreado después discute lo que se pide. Fracción Característica Nombre 3 1 ntero racci n propia. i ta 2 Numerador menor al denominador. Propia 1 Numerador mayor al denominador. Impropia El denominador es potencia de 10. Decimal 3 El denominador es potencia de 10. Decimal 6 5 1 100 1 1000 14 Bitácora pedagógica14

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Bitácora pedagógica BLOQUE 1 Qué observar En esta sección se espera que los alumnos aprendan a realizar las conversiones de fracción común a fracción decimal, a partir del análisis de un contexto. Propicie que los alumnos participen de forma individual y colectiva, con la ﬁnalidad de que inﬁeran que los contextos planteados en las actividades no son ajenos a los que se presentan en la vida cotidiana de los estudiantes. 15

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 • pliquen ¿cuál ue el procedimiento que llevaron a cabo para trans ormar el denominador? Con base en el denominador, se busc un n mero que al multiplicarlo diera una potencia de 10. • ¿Qué racciones presentaron su denominador en 1000? in una ¿Por qué? El mayor denominador es 100. • ¿Cuáles ueron las racciones que cumplieron con esta característica? 1, 4 17 5 y 50 24 • ¿Qué racciones no la tuvieron? 1 y 3 ¿Por qué? 3 2 1 Porque 3 no es posible y 3/2 tiene 10 como denominador. Comparen sus respuestas con el resto del rupo con la asesoría del pro esor elaboren una conclusi n sobre los procedimientos que permiten trans ormar un denominador a 10, 100 1000. PRACTÍCALO Actividad 1.4 1. esuelvan la actividad después respondan las pre untas. nalicen el al oritmoCómo enriquecer a) 0.8 ‫؍‬ 8 ‫؍‬ 4 b) 1.24 ‫؍‬ 124 ‫؍‬ 62 ‫؍‬ 31 c) 0.056 ‫؍‬ 56 ‫؍‬ 28 ‫؍‬ 14 ‫؍‬ 7la actividad 10 5 100 50 25 1000 500 280 125Pida a los alumnos, d) 0.76 ‫ ؍‬76 ‫ ؍‬38 ‫ ؍‬19 e) 2.72 ‫ ؍‬272 ‫ ؍‬136 ‫ ؍‬68 f) 15.8 ‫ ؍‬158 ‫ ؍‬79según vayan 100 50 25resolviendo la actividad, 100 50 25 10 5que expliquenpor qué eligieron g) 0.244 ‫؍‬ 224 112 56 h) 0.6 ‫ ؍‬6 ‫ ؍‬3 184 92 46ese denominador. ‫؍‬ ‫؍‬ 10 5 i) 0.184 ‫؍ ؍ ؍‬Pregúnteles si eldenominador resultante 1000 500 250 1000 500 250es el menor común delas fracciones. Veriﬁque • i el n mero decimal que quieren trans ormar en racci n com n tiene enteros, ¿el procedimiento que los alumnos para su conversi n es el mismo que utilizarían en un decimal sin enteros? Nose acostumbren a s conveniente primero convertir la racci n mi ta a impropia para tener claramente identi cado trabajar con estetipo de operaciones al denominador.con fraccioneshomogéneas, y • Comenten su respuesta con el rupo con a uda de su pro esor determinen la orma de convertir que practiquen un n mero decimal a racci n com n.la conversión de Se ubica el punto decimal al ﬁnal de la cantidad para representarla como entera y el denomina-fracciones a uncomún denominador. dor se obtiene colocando tantos ceros como lu ares recorridos por el punto.Recuerde que uno delos objetivos es lograr 16que los alumnos sepanencontrar la fracción Bitácora pedagógicairreducible de maneracorrecta.16

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BLOQUE 1 PRACTÍCALO BLOQUE 1 Actividad 1.5 s importante saber di erenciar los procedimientos de conversi n. l realizar operaciones el resultado se puede Qué observare presar de muc as ormas. labora en tu cuaderno una descripci n de los procedimientos que se presentanen cada tabla. Los alumnos analizarán la forma correcta de1. bserva los e emplos contesta las pre untas. convertir una fracción común a un númeroracci n com n operaci n Número racci n operaci n Número mixto decimal; de una fracción 0.75 decimal impropia 3 impropia a un número 3 3 1 mixto y de un 4 43 0.75 7 27 2 número mixto a una 30 2 1 fracción impropia. 10 0 Veriﬁque que los alumnos describanNúmero mixto operaci n racci n Para leer más con sus propias impropia palabras los algoritmos1 2 (5) (1) +2 Para convertir un decimal a racci n com n de conversión para 5 5 7 se coloca el número sin punto decimal en el que relacionen la 5 numerador y en el denominador se coloca interpretación con una potencia de 10, con tantos ceros como la secuencia de dí itos se encuentren después del punto. operaciones. • plica ¿qué proceso se llev a cabo para convertir una racci n impropia a un n mero mi to? Se divide el numerador entre el denominador sin calcular decimales. El entero es el cociente; el nume- rador es el residuo y el denominador el divisor. • ¿Cuál es el n mero decimal de las racciones impropias que se convirtieron a mi tas? l decimal es el mismo, a que se trata de la misma cantidad, no cambia si se e presa de orma impro- pia, mi ta o decimal. • plica ¿qué proceso se llev a cabo para convertir una racci n mi ta a una impropia? Para obtener el numerador, se multiplica el denominador por el entero se suma el numerador, mien- tras que el denominador se conserva. • ¿Cuál es el n mero decimal de las racciones mi tas que se tras ormaron a impropias? l n mero decimal no cambia, aunque se modi que el orden de la conversi n de impropia a mi ta o de mixta a impropia.Compara tus resultados con el resto del rupo con la asesoría del pro esor elaboren una conclusi n eneral para las trasformaciones de fracciones a decimales y viceversa. 17Bitácora pedagógica 17

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar PRACTÍCALO Actividad 1.6Los alumnos analizarán En parejas resuelvan la actividad.que a la hora deconvertir una fracción • isten al unos n mreesruoltsa ddeoceims ales2 .q3u3e3 n..o. so n¿d ee aqcutéo so,t prao ro ermema pselo p, uael dceo neveprrteirs alar erla rcecsiulnta d37oa?impropia a fracción número decimal eldecimal, esta notiene un resultado Colocando una pequeña línea a partir de donde se empieza a repetir el n mero decimal.exacto, por lo que esde suma importancia ¿C mo se nombra a este tipo de e presi n? mencionar que el valores PERIÓDICO; es Decimal peri dico.decir, que se repite demanera inﬁnita. • i se encuentran un n mero de este tipo, ¿puede e presarse nuevamente en orma de racci n com n? SíCómo enriquecerla actividad n los si uientes e emplos, descri- Se escribe el C ban en cada recuadro el paso que se n mero asta Que los alumnos si ui para las trans ormaciones donde inicia su Se le resta lapropongan situaciones periodo. parte enteraque se presentan en a n n mero peri dico en ori inal.sus vidas cotidianas, racci n com n. donde utilicen losnúmeros fraccionarios. 2.6666 = 2.6 EPida que justiﬁquenla manera en cómo lo B 26 − 2 = 24 Se simpliﬁca laabordarían para que el racci n.resultado obtenido sea Se escribe comolo más cercano posible entero. 24 = 8a lo que se desea 9 3encontrar. DTransversalidad Se coloca como denominador la mismaVeriﬁque que los cantidad de nueves como dígitos tiene elalumnos aprendan a número antes del periodo, en este caso eltrabajar con este tipo periodo inicia en el 6 y “antes˝ solo hay unde expresiones, ya que dígito (2), por lo tanto, solo se coloca un 9.las encontrarán en otrasáreas del conocimiento b n n mero semiperi dico Se escribe el Se le resta lacomo la geografía. en racci n com n. n mero asta cantidad que seAlgunos de los temas donde inicia su encuentra antesque se relacionan con periodo. del periodoesta actividad son los de como entero.población, índice de 2.8333 = 2.83desarrollo humano y 283 − 28 = 255 Se simpliﬁca laactividades económicas, racci n.por mencionar algunos.Pida al profesor de la Se escribe como 255 = 17asignatura de Geografía entero. 90 60que trabaje en conjuntopara que los alumnos Se colocan tantos 9 como dígitos tenga el periodopuedan desarrollar agregando tantos ceros como dígitos tenga elun proyecto dondeapliquen el uso de anteperiodo. En este caso, antes del periodo hay unfracciones comunes en dígito (8) por lo que en el denominador se coloca unsituaciones de la vida solo (9) y como el anteperiodo solo tiene un dígito (2)cotidiana. solo se coloca un cero (0). 18 18 Bitácora pedagógica

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BLOQUE 1 BLOQUE 1 omando en cuenta los e emplos anteriores. Demuestren que . es i ual a 131 .1 es i ual a 169.Comparen sus resultados con los demás compañeros de rupo unto con la asesoría del pro esor veri quen sus resultados.Para tener en cuentaPara redondear una racci n a enteros, observa el numerador, si es i ual o ma or a la mitad del denomina-dor, sube al si uiente entero si es menor ba a al entero anterior. bserva1 4 redondeado a enteros es 2 1 3 redondeado a enteros es 2 1 2 redondeado a enteros es 1 6 6 6 PRACTÍCALO Actividad 1.7Doña upe va a comprar in redientes para preparar mole 1 0 de c iles anc os, 12 de c iles mulatos, 1 1 12 de itomates randes maduros, 0 de almendras, 1 2 cebolla mediana y 4 de tablilla de c ocolate. doña upe le usta tener la equivalencia de las cantidades que va a comprar anotadas en su lista. uden Qué observara doña upe completando la tabla. Los alumnos analizarán situaciones donde Ingredientes Decimal en kg Fracción común es conveniente realizar conversiones mixtas;Chiles anchos 0.15 3 es decir, de fraccionesChiles mulatos 0.125 20 decimales a fraccionesJitomates 0.5 1 comunes y viceversa.Almendras 0.05 8 Veriﬁque que losCebollas 1.5 1 alumnos expliquenChocolate 0.25 2 cómo lo realizaron para 1 encontrar el resultado 20 esperado. 3 2 Curiosidades, 1 acertijos y más 4 Las proporciones de • pliquen por qué es conveniente realizar estas conversiones. un cuerpo en el arte Para que, en este caso, doña upe no ten a problemas al comprar los in redientes para pre- clásico se dan en parar el mole, a que cuando va al mercado, se utilizan ambas e presiones racci n com n función de la medida de y número decimal). la cabeza, la cual debe esestra17tudrae.l ¿tonta ql udée olatras • ¿Qué estrate ia utilizaron para representar las cantidades en decimales? situaciones como esta, e debe realizar la divisi n de las racciones comunes asta obtener el decimal que le corres- o como en el caso de la receta del mole, es ponde divisi n con punto decimal . importante el uso de las racciones?Compartan su tabla con las de los demás equipos comenten sus procedimientos. ue o, en rupo, elaboren una conclusi n eneral. 19Bitácora pedagógica 19

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar LO QUE APRENDÍVeriﬁque que los 1. ustavo tiene un mecánica en la colonia donde vive, el papá de uis llev su carro a revi-alumnos realizan demanera adecuada el si n durante el traba o que realizaba escuc que ustavo le pedía a su a udante que le dieraprocedimiento para dteen83ía, munaarcdaedo41convertir fracciones varias erramientas de di erentes medidas, entre ellas escuc una llave , una dedecimales a comunes 0116.2. observarla el n meroy viceversa. Caminando por la orilla del taller encontr una llave al m. o que a uis le caus dudas. • ¿ qué se re ere ustavo cuando le pide a su a udante la llave de 3 ? la medida de la llave. 8 • ¿ ste mismo criterio, aplicaría para las demás llaves? Si • ¿C mo representarías en orma decimal la medida de cada llave? aciendo una divisi n, calculando también la cantidad en decimales. 6 • en orma raccionaria, ¿c mo representarías la medida de la llave que encontr uis? 25 • ¿Qué representaci n racci n com n o decimal consideras que ubiera sido más ácil para uis para que comprendiera me or las medidas de las llaves? racci n com n ¿Por qué? La mayoría de las llaves se identiﬁcan con fracciones comunes. • Compara tus respuestas con el resto del rupo unto con su pro esor conclu an acerca de c mo las racciones se aplican en di erentes conte tos la importancia en conocerlas en su forma decimal o viceversa. n la vida cotidiana ambas ormas se utilizan constantemente, por lo que es mu importante saber calcular la equivalencia entre ambas. Desarrolla tus habilidades n la tienda de Don amuel una señora pide 3 de uevo. Don amuel 4 introduce los uevos en una bolsa de plástico los lleva a la báscula electr ni- ca la señora observa detenidamente que esta marca 0. 0 , por lo que le USA LAS TIC pide a don amuel que le e plique por qué esa cantidad si ella nicamente le isita la pá ina ttp 3 www.aaamatematicas. pidi 4 de uevo no 0. 0 . com ra. tm topic1 donde encontrarás muc a • ¿Quién tiene la raz n, don amuel o la señora? Don Samuel in ormaci n e emplos acerca de las fracciones. • De acuerdo con lo que aprendiste, ¿c mo podrías e plicar con tus pro- pias palabras el ar umento que don amuel le debe dar a la señora? 0.750 es lo mismo que 3 . La báscula únicamente mide con decimales y 4 usted me indic la cantidad como una racci n com n. 20 Bitácora pedagógica20

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BLOQUE 1 BLOQUE 1Eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraicoTema Números y sistemas de numeración Representación de números fraccionarios y decimalesContenido 2 en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación ACUÉRDATE DE... Qué observar1. n la ima en se muestran en desorden los nombres las características de las racciones unto con al unos Es importante que los e emplos. r aniza en la tabla los nombres, características e emplos de cada una. alumnos recreen la idea de fracción y logrenracci n eleEdsl emnnueomnmoeirrnaqadduooerr Su duennadoepmo1it0neandcoiar imrparcocpi ian mraicxctia n Ndúemciemroal establecer la diferenciapropia es entre fracción común, fracción decimal y0.25 Nombre Característica Ejemplo número decimal. La4 racci n propia intención es aprovechar 9 ds elae uc leanprauap cnrrtetaeoscriicdzinae cnlpiin moer asaell. racci n impropia El numerador 4 las situaciones para la racci n mi ta es menor que 9 representación Número decimal el denominador. numérica de cada 1 racci n decimal 8 una de ellas. Lo más 100 El numerador 5 importante en este es mayor que contenido es que el edEslemnnuoammyoeinrraaqdduooerr el denominador. 2 3 realicen un buen uso 5 de la recta numérica. racci n Un entero y una decimal fracci n propia. Cómo enriquecer la actividad presi n lineal de 0.25 una racci n, tiene Asegúrese de que8 Unraecncitenro pyroupniaa 2 3 punto decimal. 1 los alumnos:5 5 100 • ean escriban Su denominador es una potencia de 10. sin diﬁcultad los números fraccionarios • as racciones también se pueden representar por medio de un dibu o, esquema o recta numérica. y los decimales. bserva la tabla que completaste responde ¿Consideras que es posible representar una racci n • Conviertan expresiones sencillas impropia teniendo solo un entero? usti ca tu respuesta. de números decimales a o, porque una racci n impropia siempre contiene más de un entero. fracciones y viceversa. • n eran que tipo de • ¿C mo puedes saber cuántos enteros necesitas para representar la racci n impropia oc o quin- números son solo tos en una recta numérica? una extensión de los Con un entero se tienen cinco quintos como se necesitan oc o, entonces se requiere un entero números enteros. más, por lo que la representaci n se debe acer con dos enteros. • plica de qué manera se puede dividir una recta numérica en partes i uales, si tuvieras que repre- sentar una racci n propia cu o denominador es . idiendo la recta, esto se divide entre el n mero de enteros necesarios lue o se mide cada entero y se divide en nueve partes. 21Bitácora pedagógica 21

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MATEMÁTICAS 1Qué observar MATEMÁTICAS 1Es importante que los PRACTÍCALO Actividad 2.1alumnos encuentrenen la recta numérica, n pare as ubiquen en estas rectas, las racciones que se señalaron en la secci n cuérdate de de la pá ina 21. 4las fracciones que a racci n 9se piden, así como 01 2 3 4 5 6 7 8 1 8 99999999aquellas que son b racci n 5 01234167892equivalentes, por 5555 5555 14es‫؍‬im0p.2o5rt.anteejemplo: c racci n 2 3 0 1 2 3 4 1 6 7 8 9 2 11 12 13 14 3Asimismo 5 5555 5555 5555que se observe que el d racci n 0.25alumno ubique ambos 0 123456789 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10números en el mismo ora analicen contesten lo que se pide.punto sobre la recta. • pliquen el procedimiento que si uieron para ubicar la racci n 1100 en la recta numérica. e divide 10 partes se señala de orma apro imada la décima parte de la primera. • ¿Qué otras racciones se encuentran en el mismo lu ar que ? in una, todas son distintas.Cambiando números • ¿Qué nombre reciben las racciones que se encuentran en el mismo punto en una recta numérica? EquivalentesPida al alumno que Expliquen unque se escriban distinto, si se ubican en el mismo punto, son equivalentes.dibuje una rectanumérica para que • ¿ isten racciones que no se ubiquen en la recta numérica? Noubique la última Expliquen unque sea de orma apro imada, siempre pueden representarse.fracción del ejercicio“ACUÉRDATE DE...”. Comparen sus repuestas con el resto del rupo unto con su pro esor discutan las razones por las cuales e is- ten racciones que se encuentran en un mismo punto aunque su e presi n sea di erente. PRACTÍCALO Actividad 2.2Cambiando números 1. Con base en la tabla anterior, completen el cuadro analicen el e emplo.La fracción que el Parte Parte Parte fraccionaria El número entera fraccionaria en fracción común se leealumno debió ubicar Número en decimal 1fue 100 . 0.46Cambiando números 25.46 25 0.156 46 Veinticinco enteros 847.156 847 100 con cuarenta y seisIndique al alumno que 0.2341 centésimos 156la fracción sobre la 0.6542 1 000 c ocientos cuarenta siete enteros con cientocual debe ubicar a las 3457.2341 3457 2341 cincuenta seis milésimos 4 10 000demás, es la de 9 . Tres mil cuatrocientos 6542 cincuenta y siete 48.6542 48 10 000 enteros con dos mil trescientos cuarenta un diezmilésimos Cuarenta oc o enteros con seis mil quinientos cuarenta dos diezmilésimos 22Curiosidades, Bitácora pedagógicaacertijos y más aciendo la menor cantidad de cortesrectos en la siguiente ura, ¿c mo arían para tener ochoporciones i uales?22

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BLOQUE 1 BLOQUE 1 Qué observar1. Con base en cada ura, escribe la racci n com n que representa la parte coloreada encuentra su Es importante que los ubicaci n en la recta n merica. alumnos comprendan que una fracción esFigura Representación Representación en la recta numérica un conjunto de partes en la forma a/b iguales que conforman a un entero, el cual ha 2 ‫؍‬ 1 0 1 2 3 1 sido dividido. 4 2 4 4 4 0 1 1 Cómo enriquecer 3 1 la actividad 4 ‫؍‬1 0 1 1 1 Veriﬁque que los 24 ‫؍‬ 6 ‫؍‬ 2 ‫؍‬ 6 2 1 alumnos, una vez que 2 1 sean capaces de dividir 0 2 un entero en partes 1 iguales, puedan ubicar 6‫؍ ؍‬9 0 3 cada fracción en la 16 ‫ ؍‬2 ‫ ؍‬2 ‫؍‬ 0 1 recta numérica. 2 Proponga otras situaciones semejantes para que los alumnos, en sus cuadernos las representen sobre una recta numérica. Cambiando númerosa) ¿C mo iciste para dividir cada recta en partes i uales? Midiendo cada recta y dividiendo entre el Compruebe con número de partes. estas fracciones lasb) plica ¿c mo ubicaste los n meros en la recta numérica? e ubica la racci n irreducible el denominador ubica las partes del entero el numerador señala la parte de la racci n. representaciones en la ac) epresenta 3 8 0 en la si uiente línea, piensa c mo debes dividirla para localizar el punto. forma b : 12 ‫؍‬ 6 ‫؍‬ 3 ‫؍‬ 1 24 12 6 2 12 3 3 3 Cambiando númerosComparte con tus compañeros el procedimiento que se uiste. 4 Bitácora pedagógica Utilice estas fracciones para la representación 23 de esta ﬁgura en la a forma b : 6 ‫؍‬ 3 ‫؍‬ 18 9 Cambiando números Para representar en la lbaaslasigﬁugiuernatedsada, forma utilice fracciones: 8 ‫؍‬ 4 ‫؍‬ 2 ‫؍‬ 1 16 8 4 2 23

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar PRACTÍCALO Actividad 2.3Veriﬁque que los 1. n las rectas se an señalado al unos puntos como A, B y C. Determina a qué n mero corresponde cada alumnos puedan punto escríbelo como n mero decimal o racci n com n. Compara tus resultados con los del rupo. encontrar el valor deuna fracción que se a) A 1 B2 C 3 A: 1 B: 1 4 C: 2 1ubica en una recta 0 A 3 6 2numérica, y queexpliquen la manera b) 1B 2 C 3 A: 1 B: 1 3 C: 2 6en cómo llegaron a su 0 4 12 12resultado. Al ﬁnal dela actividad, pida al c) A1 B2C 3 A: 2 B: 1 2 C: 2 1grupo que establezca 0 3 3 3una conclusión quele permita encontrar d) 2 C3 A: 2 B: 1 1 C: 2 3de una manera más 0 A 1B 4 4 4apropiada estasfracciones. e) A 1 B2 C 3 A: 2 B: 1 6 C: 2 5 0 10 10 10Cómo enriquecerla actividad • ¿Qué criterio utilizaste en cada inciso? Fracciones propias y mixtas. • ¿Por qué ele iste este tipo de representaci n? Por ser las más sencillas de ubicar.Observe qué números Comenta tus resultados rente al rupo, elaboren una conclusi n re ístrenlo en su cuaderno.les cuesta más trabajoubicar en la recta PRACTÍCALO Actividad 2.4numérica, y pida algrupo que proponga 1. n cada recta numérica a señalados dos n meros raccionarios, decimal o racci n com n. Determina más números de estetipo para que los el n mero intermedio que se debe encontrar e actamente a la mitad entre estos an talo en el lu ar practiquen.En caso de que ya correspondiente.no haya espacio paraubicar estos números a) 123 1 2 ambién puede ser 1 o 0.5en el libro, pida a los 0 444 2alumnos que losubiquen en sus b) 0.5 0.875 1 1.25 2 ambién puede ser 7cuadernos de notas. 0 8 c) 0.3 0.85 1 1.7 2 ambién puede ser 17 0 20 d) 0.8 1 1.125 1.7 2 ambién puede ser 5 o 1 1 0 4 4 e) 0.7 1 1.5 2 2.3 ambién puede ser 3 o 1 1 0 2 2 • ¿Cuál ue el procedimiento que se uiste para encontrar las respuestas? Se suman las fracciones y el resultado se divide a la mitad. • ¿ plicaste el mismo proceso para los incisos a b ? í, es el mismo. • ¿Consideras que es la nica orma para resolver este e ercicio? No Explica tu res- puesta. ambién se puede contar encontrar la mitad de la di erencia entre las racciones 24 Bitácora pedagógica24

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BLOQUE 1 PRACTÍCALO BLOQUE 1 Actividad 2.51. scribe el símbolo ma or que , menor que o i ual , en el recuadro de cada pare a de n meros. a) 1 > 2 d) 5 3 > 22 g) 45.25 > 45.075 2 3 4 8 Cómo enriquecer b) 5 9 e) 0.25 1 h) 16 > 9 la actividad 9 5 2 5 3 Pida a un alumno• ¿¿cCQomumép caod)r iaseec4r ipe.5nnu ced>idaee 4 dc.0aoo5sm depenac riemalr apulrenosac? eLcrdaaaidscmfcaf)riiaeccinnfcrt iaooc1odn 40peemsladrc>aoen cm cic93mouonmanel .psuasner adcroe mcdiompsa aralr?nacmciui)oltnipelsic ac64nodmouyn0loe.6ss6 d6ceo6cnim raelesspaecptaor tiar dlae voluntario que pase al• presando ambas como decimal o racci n com n. pizarrón a resolver cada uno de los incisos. Discute tus respuestas elabora una conclusi n para comparar los distintos tipos de racciones. scríbela en Los demás alumnos observarán el criteriotu cuaderno. utilizado y, de forma respetuosa, realizaránPara tener en cuenta las observaciones pertinentes.Para comparar dos racciones es til multiplicar en orma dia onal. bserva las Que los alumnos establezcan másec as de colores 12 fracciones con estas características en sus 23 cuadernos, y luego justiﬁquen su resultado (1)(3) = 3 (2)(2) = 4 frente al grupo.l acerlo puedes determinar claramente el si no que les corresponde. Recursos y materiales LO QUE APRENDÍ Utilice el programa1. espondan lo que a continuaci n se pide. 1 Geogebra (de uso a s la orma de escribir un milésimo como una racci n decimal. 1000 libre) para realizar la ubicación de losb s la orma de escribir un centésimo como n mero decimal. 0.01 números racionales en una recta numérica.c ¿ qué potencia se debe elevar el n mero 10 para que represente el valor de una centena de millar? Este software podrá descargarlo de la la potencia 105 ‫ ؍‬100 000 página: http://www.geogebra.d s la orma correcta de escribir con n mero la cantidad dos enteros con trescientos veinticinco org/cms/ milésimos . 2.325e s la orma correcta de escribir con n mero la cantidad doscientos treinta dos enteros con cinco décimos . 232.5f) ¿Qué racci n se encuentra señalada en la recta numérica? impli cada . 3 0 14 ¿Qué racci n se encuentra e actamente a la mitad entre las dos ec as? 5 0 1 26 25Bitácora pedagógica 25

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar ¿ a racci n 56 es ma or, menor o i ual que 1 7 3 ? usca en la tabla de respuestas el si no que corresponde. menor queEnfatice que la posiciónde un número en i) ¿ a racci n 11 28 es ma or, menor o i ual que 32 ? usca en la tabla de respuestas el si no que corresponde.comparación con otro i ual quedetermina si es mayor,menor o igual. Si está a j) epresenta en la recta numérica la cantidad 0.la derecha, es mayor ya la izquierda, menor. 0 0.7 1 k) epresenta en la recta numérica la cantidad .Cambiando números 012 3 3.4 4Pida al alumno que l) epresenta en la recta numérica la cantidad 0.8identiﬁque en unarecta numérica si las 0 0.83 1fracciones dadas son“mayor que” o eri quen con su pro esor sus respuestas elaboren una conclusi n sobre la orma correcta de identi car “menor que”. una racci n en una recta numérica.Recursos Desarrolla tus habilidadesy materiales n equipo, encuentren dos n meros decimales que se localicen entre los que En la página web:http://bibliotecadigital. se indican.ilce.edu.mx/sites/telesecundaria/ Respuesta libretsm01g01v01/u02t03s02.html 0.5 0.8encontrará sugerenciasdidácticas para el Respuesta libreuso de númerosfraccionarios. 0.1 0.2 Respuesta libreReﬂexión 0.21 0.22La responsabilidadcolectiva juega un USA LAS TIC • pliquen la manera en c mo encontraron los n meros en la recta. papel importante para e encuentran los n meros entre ambas racciones se seleccionan dos de ellos, que un grupo cumpla Para practicar en línea la cualesquiera.sus metas. Por lo tanto, ubicaci n de racciones hay que respetar su en la recta numérica • ¿ iempre se puede encontrar un n mero entre dos decimales? Sícompromiso con los visita la pá ina ttp Justiﬁquen su respuesta. Porque se pueden dividir de forma inﬁnita.demás, actuar en www.juntadeandalucia.equipo, saber escuchar es averroes tml • nvesti uen qué es la propiedad de densidad de los números fraccionarios ylas ideas del otro, adjuntos/2007/12/05/0005/ decimales y escríbanla en el espacio.etcétera. racciones menuu1. tml iempre e iste otro racional entre dos racionales dados, lo que indica que 26 este con unto de n meros racciones comunes decimales es denso . 26 Bitácora pedagógica

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BLOQUE 1 BLOQUE 1Eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraicoTema Problemas aditivosContenido 3 Resolución y planteamiento que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones ACUÉRDATE DE... Qué observar1. n equipos de tres personas resuelvan la situaci n. En este contenido, los alumnos analizarán y art a ue al mercado compr 1 1 de az car 1 1 de am n, 3 de queso panela y un kilo- resolverán cada una de ramo de uevo. 4 2 4 . las situaciones que se 4 1 presentan, las cuales • ¿Cuánto pesa la bolsa que contiene los productos? 2 podrán resolver con aprendizajes obtenidos • i pas a de ar todo el queso 1 de am n a casa de su tía raciela, ¿cuánto pesa a ora la bolsa? desde primaria. 1 2 . 3 4 Desde la sección “ACUÉRDATE PRACTÍCALO Actividad 3.1 DE…”, propicie la participación activa1. ee la si uiente situaci n contesta lo que se pide. de los alumnos, ya sea en forma individual o n los ue os Panamericanos realizados en uadala ara, alisco, en el 2011, se obtuvieron los cinco lu a- colectiva. res en salto de lon itud. Los problemas Competidor Nacionalidad Longitud (m) planteados no son ajenos a sus vidas Suslaidy Girat Cuba 6 3 cotidianas, por lo que 5 podrán resolverlos sin Keila Costa Brasil ninguna diﬁcultad. Shameka Marshall Estados Unidos 6 37 Catherine Ibarguen Colombia 100 Maggi Maurren Brasil 617030 661030 64570 • ¿Quién se llev la medalla de oro? a i aurren • ¿Quién se llev la medalla de plata? ame a ars all • ¿Quién se llev la medalla de bronce? Cat erine bar uen • plica la manera en c mo obtuviste los anadores de las medallas. Comparando las racciones. • ¿Qué di erencia se present entre el anador de la medalla de bronce con el anador de la meda- lla de oro?_____0_._3_1__m_____ Justiﬁca tu respuesta. . a i ؊ . Cat erine ‫ ؍‬0.31 • ¿Cuál es la di erencia entre el ltimo lu ar el anador de la medalla de plata? 0.36 • plica c mo obtuviste tu resultado. e resta a . de ame a . de elia. • i se sumaran los saltos del pen ltimo ltimo lu ar, ¿serían i ual a la suma del se undo el pri- mer lu ar?_____N_o_____ ealiza la operaci n para usti car tu respuesta. 6.6 ؉ 6.37 ‫ ؍‬12. ltimos 6.73 ؉ 6.94 ‫ ؍‬1 . Primeros dos lu aresCompara tus respuesta con el resto de tus compañeros la asesoría de tu pro esor conclu an sobre la mane-ra correcta de c mo se realizan las sumas restas de racciones. 27 Bitácora pedagógica 27

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 3.2 PRACTÍCALOCómo enriquecer 1. esuelve los problemas de adici n sustracci n de racciones Para tener en cuentala actividad de i ual denominador. Cuando sumas o restas racciones con Refuerce la idea de que a 45anmdr ad ec olims9tpnr r o43o.m ¿ Cdueá lnisttosn mazeutlr,o s41 dme l idste lnis tconm vperrd ee n el mismo denominador, simplemente se estas son las sumas total? 4 suman o restan los numeradores y el de-de fracciones más nominador se conserva.sencillas, ya que enlos siguientes temas, ¿Qué operaci n tuviste que realizar para lle ar a tu resulta-como en la suma y do? Suma de fracciones.resta de fracciones condistinto denominador, b scar izo una bandera de 12 m de lar o drián izo su bandera de 4 m de lar o. el propósito será 5 5transformar lasoperaciones dadas en • ¿Quién izo la bandera más lar a? Oscar ¿Por cuántos metros es más lar a? 1.6 mfracciones sencillas. • ¿Cuál ue el planteamiento que realizaste para obtener el resultado? Resta ¿ iste otra mane-Qué observar ra de obtener el mismo resultado? SiVeriﬁque que los • Explica. e puede obtener aciendo un conteo trans ormando la racci n com n a n mero decimal.alumnos comprendenla diferencia entre Compara tus resultados los planteamientos con el resto de tus compañeros con tu pro esor analicen el procedi-factores primos miento más adecuado para lle ar al resultado de adiciones sustracciones de racciones con i ual denominador.comunes y no comunesy que relacionen este Para leer másalgoritmo con elhecho de que deben l mínimo com n m ltiplo mcm de los denominadores es el procedimiento multiplicar “todos” los que más se utiliza para encontrar el denominador común.factores, sean comuneso no. 1 ,3,5 243 2 El mcm es: 2 43 123 2 (2)(2)(3)ϭ12 113 3 111 o que indica que los medios, cuartos tercios se deben convertir en doceavos 1 en doceavos es 12 2 1 , o sea 6 2 12 43 en doceavos es 12 , o sea 9 12 35 en doceavos es 12 20 o sea 2102 PRACTÍCALO Actividad 3.3 1. Paco constru un uarda ropa para su recámara, de la madera que compr us 1 para cajones y 2 para la estructura. 3 5 • ¿Qué racci n representa la cantidad de madera que sobr ? 4 1 15 • i necesita 5 de la madera para construir una repisa, ¿le alcanzará con la madera restante? Si i se divide un entero en quinceavos estos a su vez en cinco rupos, cada uno contiene Justiﬁca tu respuesta. 3/15 y como tiene cuatro si le alcanza. 1 • ¿Cuánta madera le sobra? 15 4 3 3 • plica c mo obtuviste este resultado. Sobraban 15 menos 15 resta 15 Discute con tus compañeros las respuestas con su pro esor veri quen sus procedimientos. 28Curiosidades, Bitácora pedagógicaacertijos y másUna jarra con lecheestá llena hasta lamitad de su capacidad,si se le agregan 2 litroscmaápsa,clildegada .a ¿C34 udáentsau lec e le cabe a la arra? 28

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BLOQUE 1 BLOQUE 12. espondan • ¿Piensan que encontrar el denominador com n más pequeño de un rupo de racciones se puede realizar de otra manera? Sí . Justiﬁquen su respuesta.Comparando el con unto de m ltiplos de cada n mero.• i tuvieran que sumar al uno de estos rupos de racciones, ¿podrían acerlo de manera directa? Sí Expliquen su respuesta. s posible acer la operaci n mentalmente, aunque en esencia el procedimiento es el mismo.• Comenten sus respuestas con sus compañeros su pro esor. ntre todos elaboren una e plicaci n eneral an tenla. Para poder sumar o restar dos o más racciones, es conveniente e presarlas con un denominador com n, la suma e presarla de manera irreducible. PRACTÍCALO Actividad 3.51. Resuelvan lo que se les pide.• l día de su cumpleaños, upita se compr dos pizzas, una dividida en partes la otra en 8. Deci- i su 1234erman, a¿ cseu ácnotma ipi z61zad lee lqauperdim eerna tyot83al dae luap sieta?u 1n21d41a, di compartirla con su ermana ul . Cómo enriquecer¿cuánta pizza se comi su ermana? la actividad• pliquen cuál ue el procedimiento que si uieron para lle ar al resultado. Veriﬁque que los alumnos comprendenl dividirlo en partes i uales, el denominador es 2 sumando da 1 , como son dos pizzas, la relación que hay entre un entero yentonces sobran 35 o bien 1 11 una fracción de él 24 24 mismo, así como la interpretaciónComparen sus respuestas con las de sus compañeros veri quen sus resultados. correcta de sumar dos fracciones conPara tener en cuenta denominador distinto.Para sumar 1 83 2 21 También es conveniente destacarPrimero debes convertir los n meros mi tos en racciones impropias que el resultado de una suma o resta de 1 3 (8)(1) + 3 11 fracciones se debe 8 8 8 expresar en su forma “irreducible”. 2 1 (2)(2) + 1 5 2 2 2sí, en realidad la suma que debes resolver es 11 ؉ 5 ‫؍‬ 8 2 29Bitácora pedagógica Reﬂexión Sobre la honestidad Si nos equivocamos al decir o hacer algo, hay que admitirlo. Solo así podremos aprender de nuestros errores y no los repetiremos. 29

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 3.6Qué observar PRACTÍCALOAnalice junto con el 1. esuelvan los problemas. impli quen sus resultados compárenlos con los de sus compañeros.grupo cada uno de lassituaciones planteadas. a ulián corri 1 de il metro el primer día de entrenamiento el se undo día corri 1 de il metro Pida que en equipo 4 4las resuelvan y que el tercer día corri 3 de il metro. n total, ¿cuántos il metros corri ?expongan de manera 4ordenada y respetuosala manera en que 1 ؉ 1 ؉ 3 ‫؍‬ 5 ‫؍‬ 1 1 ecorri un il metro un cuarto.abordaron cada una 4 4 4 4 4para llegar al resultadocorrecto. b lena utiliz 3 de taza de az car para acer un pastel, lue o us 1 taza más para otra receta. ¿Qué 4 2Cómo enriquecer cantidad de az car utiliz en total?la actividad 3 ؉ 1 ‫؍‬ 3 ؉2 ‫؍‬ 5 ‫؍‬ 1 1 tiliz una taza un cuarto.Pida a los alumnos 4 2 4 4 4que propongansituaciones a las que c pPaabralo p daisatrri blau me snus usauleidldaod ddee luan sai cuáimenatrea oortmoar á32c ap aqruae p caomarp lra m. ¿eQnusuéa lriadcacdi dne dseu sauu tsou el d11o2 umtiális-se ha enfrentado en su z para e ectuar sus pa os?vida cotidiana y dondepuedan emplear una 2 ؉ 1 ‫؍‬ 8؉1 ‫؍‬ 9 ‫؍‬ 3 tiliz tres cuartas partes de su sueldo.o más operaciones 3 12 12 12 4de sumas y restas defracciones. Después, d na panadería produce 200 bolillos. urte a dos restaurantes al p blico en eneral. n restauran-entre todo el grupo, pter ocdoumcpidros c0o mboplrilaloros,n e llo sse reustnaduora n52te, s? el resto lo adquiri el p blico. ¿Qué racci n de los bolillos analicen la forma decómo resolver cada ste problema se puede resolver de varias maneras, una sería encontrar la cantidad de bolillos que una de los casos 200planteados. compr el se undo restaurante , 5 ‫؍‬ 40 por 2 ‫؍‬ 80 bolillos.Pase a un alumno alpizarrón a justiﬁcar Entonces en total se consumieron 60 ؉ 80 ‫ ؍‬140 bolillos.su planteamientoy resolución de la 1 0 de 200 equivale a 7 del total, que es la racci n que representa lo que compraron lossituación a la que se ha restaurantes. 10enfrentado. 30 Bitácora pedagógica30

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BLOQUE 1 BLOQUE 1e l epl erreistdoi cpoa rma uarcatli vdideastdines re83c rdeea tsivua es.s p¿aQcuioé ppaarrate n doetilc piaesr iindteicron accoiorrneaslpeos,n d82e paa ersatanso tilctiiamsansa? cionales PERIÓDICO MURALNacional Internacional 3 Qué observar 8 Esta sección está • ¿Qué tipo de operaciones realizaste para resolver los problemas? Una resta diseñada con la ﬁnalidad de que los • ¿Qué características tienen las racciones presentes en los problemas? Todas son propias. alumnos apliquen lo que aprendieronComparen sus resultados con el resto del rupo con la asesoría de su pro esor veri quen que estos sean durante este apartado.correctos. Veriﬁque que los LO QUE APRENDÍ Actividad 3.7 alumnos desarrollen su capacidad den equipo analicen resuelvan estas situaciones análisis para proponer el planteamiento1. •t oo¿nrnCr eaulaaáendn, aatdod.u eroraornr ttaeiee nl ace o é1mp2op0cr ac aedbnee ztlolautsva dila ees l caoanmnaapddroae r o1d? u r41a nttoe7n l78eal aédpaosc a dene slae qéupíoa ccao mdep rraí o co21mtpornae l2a da81s de correcto y las de operaciones adecuadas, que planteen frente• pliquen la manera en la que lle aron al resultado. Las fracciones mixtas se convierten a al grupo la resolución de ejercicios oimpropias, se realiza la suma de racciones. problemas para que usted valore el nivel• i las épocas de sequía río duraran más tiempo del que se prevé el anado requiere alimentarse de comprensión de los 1 alumnos. de 8 más de orra e para ambas épocas, ¿cuánto orra e se consumiría en total? 7 Curiosidades,6 8 acertijos y más• pliquen la manera en la que lle aron al resultado. la época de sequía se le suma 1 al i ual Pida a los alumnos 8 que midan la distancia entre susque a la época de río, se realiza la suma de racciones. brazos extendidos horizontalmente desde2. n tinaco con a ua está lleno asta su capacidad, el primer día se consume un 1 , el se undo día 1 la punta de los dedos y el tercer día 2 partes. 3 6 y después que midan su estatura. Pida que 5 7 de a ua. dividan la medida de• ¿Qué racci n representa la cantidad de a ua que se a consumido? 10 la base (distancia entre sus brazos) entre• ¿Cuál es la operaci n que realizaron para obtener el resultado? Suma de fracciones. la estatura. Si el resultado 3 es aproximado a 1.618• ¿Qué racci n representa la cantidad de a ua que queda en el tinaco? 10 Expliquen su (proporción áurea), Se realiza una resta 7 3 entonces forman parte procedimiento. 1؊ 10 ‫؍‬ 10 del grupo de personas cuya apariencia es másComparen sus respuestas con el resto del rupo e pon an sus planteamientos resultados a su pro esor armónica a la vista.para veriﬁcar que sean correctos. ¿Qué similitudes o 31 diferencias encuentran entre estas medidas?, Bitácora pedagógica ¿ocurre lo mismo para todos los alumnos? Pida que investiguen qué es la proporción áurea. 31

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MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer MATEMÁTICAS 1la actividad Desarrolla tus habilidadesAsegúrese de que losalumnos entiendan 1. Completa los cuadrados de manera que en cada ren l n, columna dia onalcómo formar el cuadro se obten a la misma suma. ntenta realizarlo mentalmente. Compara tusmágico. resultados con los de tus compañeros cercanos.Observe que resuelvansin diﬁcultad el primer 11 6 7 51 3cuadrado y deje que la 55 5 22 4actividad sea resueltaen casa, ya en clase 4 8 12 1 35pida que le muestren 555 2 22los resultados y que loscomprueben. 9 10 1 351Pida a los alumnos que 5 5 222propongan nuevoscuadrados mágicos, • m¿Ceuráclueasdlaror?acc2i54n que debe obtener en cada ren l n, columna dia onal del pri-que los presenten 9ante el grupo y en sus • ¿Cuál es la racci n que se debe obtener en el se undo recuadro? 2cuadernos busquen lasolución. • Explica el procedimiento que utilizaste para resolver cada uno de los recuadros.Cambiando números e suman las racciones dadas. Posteriormente se calcula la di erencia asta Intercambie la fracción completar el resultado de la primera suma.odbete43npeor rla23m,ispmaraasuma en cada renglón, 2. 1n dtaoenqsauese,cdeolendsuíaamssiei sutai1ecniodtneeasreiaosceodsnetsálu oam q43iuerepoqanrutee72ds dd.eelsuacsaqpuaecidqaude,del primer día se consumicolumna y diagonal. d5e del día anterior el díaQué observar • 3 de as que contenía el tanque al nal del primer ¿dQíau?é2110racdcei n indica la cantidadVeriﬁque que los as.alumnos realicenoperaciones de • Explica qué planteamiento utilizaste. 3 se le resta la racci n que se consumifracciones con 4diferente denominador, 1para poder así resolver el primer día, o sea, 5 de as al acer la resta de ambas racciones el resulta-situaciones comolas indicadas en esta do es 11 de as.sección. 20 • ¿Qué racci n representa la cantidad de as restante del se undo día? 37 140 • ¿ l planteamiento será el mismo que el propuesto en la primera pre unta? Sí • Explica ora a la cantidad de as que qued del primer día se le resta la rac- ci n que se consumi el se undo día que es de 2 de as. 7 • ¿Qué racci n indica la cantidad de as que se consumi durante los tres días? 86 105 • ¿Cuál es la operaci n que realizaste para encontrar el resultado? Una suma • ¿Por qué? Porque si se quiere saber cuánto as se consumi durante los tres días se suman las fracciones 1 ؉ 1 ؉ 1 . 5 7 3 Comparte tus resultados con el rupo unto con el profesor analicen los procedimien- tos que si uieron veri quen cuál de ellos ue el más e ciente. 32 Bitácora pedagógica32

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BLOQUE 1 BLOQUE 1Eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraicoTema Patrones y ecuacionesContenido 4 Construcción de sucesiones de números o de ﬁguras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que deﬁnen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de ﬁguras. ACUÉRDATE DE... os alumnos de un rupo de primero de secundaria están or anizando una entre a de despensas para perso- Qué observarnas necesitadas de su comunidad cada despensa contiene una bolsa de 2 de az car, un paquete con dos dbeo lsaesl adtein ar,i ouln d pea 1q uet cea cdoan u n ala, tuans dpea qaut ente c ounn p abqoulseatse dceo na rro bzo dlseas21 de p caastdaa p uanraa, suonp ap.aquete con sobres En la sección “ACUÉRDATE DE…”, l rupo consta de 0 alumnos cada dos inte rantes van a ormar una despensa. Completen la tabla respon- los alumnos deberándan lo si uiente identiﬁcar la lógica que lleva a la construcciónProductos D D P de la sucesión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 numérica, ya que esta z car 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 será importante paraFrijol 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 que más adelante 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 puedan construir rroz 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 sucesiones de númerosGelatina 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 o ﬁguras con base en 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 una regla dada. tnSopa Cómo enriquecer la actividadComo abrán notado, al armar las despensas se orman series de n meros distintas para cada producto. Pida a algún alumno • ¿Cuántos ilo ramos de az car se utilizaron para armar 11 despensas? 11 . Si tuvieran que que describa los armar 50 despensas, ¿c mo calcularían la cantidad de az car que se necesitaría? conocimientos y habilidades que se i se utiliza 1 ilo ramo por despensa, entonces serían 0 ilo ramos. pretenden desarrollar en este tema a • i el ilo ramo de ri ol tiene un precio de 18.00, ¿cuánto dinero se ast en bolsas de ri ol para 1 partir de la situación despensas? 8.00 , ¿cuánto dinero se tendría que invertir para armar, 1 , 1 18 despensas si planteada en la sección cada paquete cuesta lo mismo que el ri ol? 18.00 pliquen c mo lle aron al resultado. “ACUÉRDATE DE…” e multiplica cada despensa por 18.00 se suman los productos. Observe la manera • ¿C mo obtendrían la cantidad de elatina, at n pasta para sopa necesarias para armar 20 despensas? en que encuentran Cada despensa tiene elatinas, latas de at n paquetes de pasta. Cada cantidad se multiplica los valores para llenar por 20 despensas . la tabla propuesta. Pida que expliquen 33 con claridad la forma en que obtuvieronBitácora pedagógica los resultados para completarla. 33

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 4.1 PRACTÍCALOCómo enriquecer 1. bserven la sucesi n de los primeros 1 n meros pares contesten las pre untas.la actividad SUCESIÓN: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30Desde la actividad LUGAR: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15previa, es importantedarle al grupo tiempo a ¿Cuál es el término de la secuencia que ocupa el cuarto lu ar?para que observe 8la regularidad conse obtienen las b ¿Cuál ocupa el décimo lu ar? sucesiones. Permita 20que inicialmenteestablezcan reglas c ¿Cuál ocupa el décimo quinto lu ar? sencillas y pídales 30que observencon qué número d ¿Cuál es el término que ocupa el lu ar n mero 20 en la secuencia? inicia la sucesión ycuántas unidades va 40aumentando cada e ¿Qué lu ar ocupa el término 00 de la secuencia? número siguiente. 1000Pre unte ¿Qué ¿Qué di erencia constante encuentras entre cada término su consecutivo? relación encuentranentre los elementos a di erencia entre cada término es dos.de la regla y de la Discutan sus respuestas con las del resto del rupo. bten an un enunciado sobre la re la de sucesi n? sucesi n. n tenla.Qué observar l primer término es 2 para obtener el consecutivo se suman 2.Lo más importante es Para tener en cuentaque los alumnos logrenestablecer la diferencia De la tabla de la actividad cuérdate de... utilizaremos la secuencia de la entre los elementos elatinaconsecutivos dela sucesión para , 8, 12, 1 , 20, 2 , 28, 2, , 0determinar si escreciente o decreciente. uan obtuvo la secuencia asíAdemás, hallar ϩ4 ϩ4 ϩ4 ϩ4cualquier valor de lasucesión dado el lugar 4 8 12 16 20en que se encuentran Paola la encontr de la si uiente manerasus elementos. Ϫ4 Ϫ4 Ϫ4 Ϫ4Constate que lesresulte clara la relación 48 12 16 20de suma y de resta con Perla opt por esta opci nreferencia al elementoantecesor de las 4ϫ2 4ϫ3 4ϫ4 4ϫ5sucesiones. 2 8 12 16 20Permita que los alumnos Como observaste se presentaron tres ormas di erentes de obtener una comenten y analicen secuencia. s decir, mediante una suma, una resta una multiplicaci n.para que descubranla mejor estrategia. Si ¿ e podrá obtener una secuencia mediante una divisi n? Sino lo logran, realicelas observaciones 34pertinentes. Bitácora pedagógica 34

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BLOQUE 1PRACTÍCALO BLOQUE 1 Actividad 4.21. n cada secuencia encuentren los si uientes tres términos.a)1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 1 , 1 , 1 c) 17, 15, 13, 11, 9, , , b)1, 4, 7, 10, 13, 16, 1 , 22, 2 d) 3.5, 6, 8.5, 11, 13.5, 1 , 18. , 212. pliquen qué re la utilizaron para resolver cada inciso. n cada inciso se calcul la di erencia entre términos consecutivos.Para leer más Expresión algebraica. Combinaci n de n meros l valor numérico de una expresión algebraica se obtiene sustituyendo cada letras li adas por letra por un valor determinado resolviendo las operaciones. bserva operaciones como suma, ncontremos el valor numérico de la e presi n n – 4 sustituyendo en n los resta, multiplicaci n, divisi n, valores 1, 2, . potencia, etcétera.Para el 1 queda 1 0Para el 2 queda 2 8 Para el queda 12 8Para el queda 1 12PRACTÍCALO Actividad 4.31. n errero constru e una vi a en el tec o de una vivienda en orma trian ular, el primer trián ulo tiene Cómo enriquecer tres vi as seis remac es, para construir los si uientes a re a dos vi as cuatro remac es. i la vi a la actividad requiere cinco trián ulos Pida a los alumnos • ¿Cuál es la sucesi n que representa el n mero de vi as por cada trián ulo? que realicen una representación , , , , 11... esquemática de esta situación, con la• ¿Cuál es la sucesi n que representa el n mero de remac es por cada trián ulo? ﬁnalidad de que les , 10, 1 , 18, 22... quede claro cómo es que se forma la• ¿Qué relaci n se presenta entre el n mero de vi as remac es con el n mero de trián ulos? sucesión. l término que corresponde a cada sucesi n es equivalente al n mero de trián ulos que se orman Pida a uno de los en la vi a. equipos que pase a• ¿Qué relaci n a entre el n mero de remac es el n mero de vi as? exponer la estrategia que llevaron a cabo l n mero de remac es es el doble que el n mero de vi as. para obtener las• pliquen la manera en c mo encontraron las sucesiones. Con la a uda de una representaci n respuestas a las preguntas realizadas. esquemática se pueden encontrar el n mero de vi as el de remac es. Destaque la 35 importancia de indicar la correspondenciaBitácora pedagógica entre la sucesión, su representación esquemática y la expresión algebraica que contiene. 35

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 4.4 PRACTÍCALO 1. bserva las secuencias de puntos, orma las tres uras anota entre paréntesis el n mero de pun- tos de cada una.Cómo enriquecerla actividad a)Inicie esta actividad (1) (3) (6) ( 10 ) ( 15 ) ( 21 )en el salón y observe b)que su resoluciónno presente mayor (1) (4) (9) ( 16 ) ( 25 ) ( 36 )diﬁcultad para los c)alumnos. Si así resulta,déjela de tarea; cuando (2) (6) ( 12 ) ( 20 ) ( 30 ) ( 42 )resuelvan en el pizarrón d)cada uno de los incisos,pida que argumentensus respuestas. (5) (9) ( 13 ) ( 17 ) ( 21 ) ( 25 ) 2. Compara con un compañero tu procedimiento. • ¿Qué e presi n matemática les permitiría obtener las sucesiones de una manera más ácil? y ‫ ؍‬4x ؉ 1 Justiﬁquen su respuesta. a di erencia entre términos sucesivos es cuatro, si se suma 1 se obtiene la secuencia dada.Recursos • ¿Qué venta as tiene reconocer la re la correspondiente a una secuencia? y materiales Que permite conocer cualquier término de la secuencia.En la página de Red Con la asesoría de tu pro esor obtén una conclusi n acerca de la manera correcta de plantear resolver Escolar, encontrará una sucesi n aritmética o eométrica.actividades consucesiones numéricas: Para leer máshttp://redescolar.ilce. n ran matemático que cre una de las sucesiones más amosas ue ibonacci edu.mx/redescolar/act_ eonardo de Pisa . nvesti a, lee conoce acerca de esta sucesi n la relaci n permanentes/mate/ que tiene con el cuerpo umano, el nacimiento de los cone os la naturaleza. lugares/mate2o.htm a sucesi n es sencilla. Para obtener cada término simplemente se le suma el término anterior, observa 1, 1, 2, , , 8, 1 , 21, , ... 36 Bitácora pedagógica36

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BLOQUE 1 BLOQUE 1 LO QUE APRENDÍ1. Completa la tabla. Cantidad de unidades Explica la regla Valor del Qué observar de las siguientes de la sucesión vigésimo Imagen de dos ﬁguras: término Veriﬁque que el la sucesión alumno comprendió 58 la manera de obtener 10 y 13 cuadros Se suma un cuadro en ambos una sucesión a partir extremos y uno en la parte de ﬁguras geométricas superior. donde entran en juego varios elementos, como 7 y 9 cuadros e suma un cuadro a la derec a 39 los vértices, los enteros, uno acia arriba. las líneas, etcétera. Compruebe que 17 y 21 puntos Para construir cada pentá ono 81 los alumnos sean se a re an cuatro vértices. capaces de encontrar el enésimo valor de Desarrolla tus habilidades una sucesión. En caso contrario, pida al n pare as observen las si uientes sucesiones encuentren la re la para cada alumno que proponga una de ellas. situaciones para que se trabajen comoUSA LAS TIC ucesi n e la tarea. En la clase 8, 1 , 18, 2 , 28, Se suman cinco. siguiente entre todo 0, , , , 12, Se suman tres. el grupo, analicen las 1, , , 1 , 2 , Es el cuadrado de los naturales. respuestas y realicen 1, 1. , 2, 2. , , Se suman 0.5. una conclusión para 2, , 12, 20, 0, Se suma la diferencia anterior más 2. encontrar el enésimo valor.Para conocer al unas • ¿C mo calcularían el término n mero 20 de la primera sucesi n? e uir sumando asta el término 20. Curiosidades,curiosidades acerca de acertijos y más • Calculen el término 0 de la ltima sucesi n. 2550la sucesi n de ibonacci, • ¿Qué icieron para comprobar sus resultados? Usando la calculadora. Las sucesiones de Fibonacci tambiénvisita la pá ina ttp . • ¿Cuántas operaciones tuvieron que realizar en cada inciso para pueden observarse en encontrar el orden de las sucesiones? Respuesta abierta. la naturaleza, ya searedescolar.ilce.edu.mx/ en la reproducción • ¿Consideran que e ista otro método para resolver la actividad? Sí de las plantas, eneducontinua mate ima ina • Justiﬁquen su respuesta. Quizás por medio de una rmula. los patrones de crecimiento de lasmate q. tm ramas de los árboles o en la distribución de las para que conozcas más hojas de una alcachofa.acerca de las sucesiones, series y secuenciasmatemáticas, visita lapá ina electr nica ttp .disfrutalasmatematicas.com/al ebra sucesiones series. tml. 37Bitácora pedagógica 37

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MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer MATEMÁTICAS 1la actividad a Comparen su construcci n con las de sus compañeros.Es recomendable que Escriban sus observaciones.los alumnos que fueron Respuesta abiertamás eﬁcientes al trazar,expongan ante el b) ¿ a un trián ulo di erente cu os lados ten an esas mismas medidas? pliquen.grupo sus técnicas de Noconstrucción. Solicítelesque calquen y recorten c) ¿C mo son entre sí todos los trián ulos cu os lados midan 8 cm, cm cm?sus ﬁguras para que Con ruentesmediante superposición,de manera rápida d) ¿C mo son entre sí todos los trián ulos que ten an sus lados correspondientes de la misma medida?veriﬁquen la exactitud Con ruentesde los demás alumnosen el trazo. e) Comparen sus respuestas con otras pare as. . Con los si uientes se mentos, constru an un trián ulo cu os vértices sean P, Q . Cómo enriquecerla actividad P PQAnalice cada PRconstrucción: las que QRresulten congruentescon las medidas QRdadas y las quetengan diversidad a i PQ P , se trata de un trián ulo s celesde respuestas. a a b) Comparen su ura con las de sus compañeros. ¿Qué observan? odos son i uales.que los alumnosestablezcan diversas c) Con estos tres se mentos de recta, ¿cuántos trián ulos se pueden ormar? conjeturas y que Unolleguen a conclusiones. . partir de los si uientes se mentos, constru an un trián ulo es un vérticeInduzca a susalumnos a utilizar el MN Nlenguaje propio de lageometría, así como MPacostúmbrelos a utilizarsiempre la notación M Pcorrespondiente. a Comparen su construcci n con las de sus compañeros. b ¿ ubo al unos trián ulos di erentes? Sí c ¿Cuántos trián ulos se pueden ormar a partir de estos dos se mentos? uc os Justiﬁquen su respuesta. o está de nido el trián ulo. d Comparen sus respuestas con las del rupo con a uda del pro esor re istren una conclusi n. Respuesta abierta 46 Bitácora pedagógica46

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BLOQUE 1 BLOQUE 1. l se mento es la base del trián ulo los án ulos de sus e tremos ad acentes . Constru an el trián ulo. Qué observar A C Que los alumnos utilicen B de manera correcta sus instrumentos de AB geometría. B Ábrales la posibilidada) noten sus observaciones comenten. de no solo medir Conociendo un lado los án ulos de sus e tremos es posible construir un trián ulo nico . los ángulos con el transportador. Tal vez. Dados dos lados el án ulo entre ellos, orma un trián ulo. C requieran de algún AB B ejemplo para reproducir AC un ángulo igual a otro utilizando nada más A regla y compás.a Comparen su construcci n con las de tus compañeros. noten sus comentarios. Cómo enriquecer esultaron i uales la actividadb i se les proporcionan las medidas de dos de los lados de un trián ulo el án ulo que orman, Cuestione a los ¿podrán construir un trián ulo? Sí alumnos acerca de cómo reproduciríanc ¿C mo son entre si dos trián ulos que tienen, respectivamente, dos lados i uales el án ulo que un ángulo igual a otro orman? si no cuentan con Con ruentes transportador.d Comparen sus resultados con los del rupo re istren una conclusi n. Reﬂexión Respuesta abierta Es necesario tener 47 presente la importancia de la socialización delBitácora pedagógica conocimiento a través de la exposición de los alumnos. En ocasiones conviene hacer participar al alumno que tiene menos habilidad, eso le dará conﬁanza y elevará su autoestima. Reﬂexión Sobre la creatividad y el estudio El extraordinario físico Albert Einstein, quien revolucionó la física clásica el siglo pasado, aﬁrmó: “Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber”. Pida a los alumnos reﬂexionar y mencionar algunos casos en los cuales esta frase puede aplicarse. 47

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer Para tener en cuentala actividad Alturas del triánguloLuego de que los a altura de un trián ulo es la perpendicular trazada desde un lado al vértice alumnos analicen el opuesto.recuadro, solicítelesque en cada uno de los hh htriángulos hechos hasta hahora tracen las tresalturas. Observe que las hhtracen correctamentey que identiﬁquen con Cclaridad el lado queestán considerando . Con los si uientes elementos constru an un trián ulo.como base. CCómo enriquecerla actividad D BPlantear preguntas al a ¿Cuál es la medida de la base? AB ‫ ؍‬2.7 cm rupo, como ¿qué b Comparen su ura con las de sus compañeros anoten sus observaciones.hubiera sucedido si se Respuesta abiertatoma como base alse mento C?, ¿sería c ¿C mo resultaron todos los trián ulos? este triángulo idéntico Respuesta abiertaal primero?, ¿por qué? Comparen sus respuestas con el rupo establezcan conclusiones con su pro esor. scríbanlas en su cuaderno. PRACTÍCALO Actividad 6.3 1. labora cada una de las si uientes construcciones az lo que se pide. Compara tus trazos tus respues- tas con las del rupo. a eproduce los trián ulos que orman cada ura. Con los cuatro trián ulos de cada una, orma un cuadrilátero.Cómo enriquecer b bserva el traba o de tus compañeros. ¿Coincidieron en cada caso las respuestas? Respuesta abiertala actividad c ¿Cuántos cuadriláteros di erentes se obtuvieron en cada caso? Respuesta abierta d De ellos, ¿cuáles son paralelo ramos? Comenta. Respuesta abiertaPlatique sobre laposible diversidad 48de ﬁguras que seobtienen, justiﬁcandolas respuestas demanera no axiomática.Explíquelo medianteejemplos. Bitácora pedagógica48

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BLOQUE 1 BLOQUE 1 Cómo enriquecer la actividad e ¿Qué características tienen en com n los cuadriláteros ormados? Respuesta abierta Permita que los alumnos expliquen f) ¿Qué nombre reciben los cuadriláteros que tienen las características que señalaste en la pre unta frente a grupo el anterior? ejercicio 2. Pida que Respuesta abierta de forma respetuosa realicen nuevas2. a dia onal de un cuadrado mide 8. cm. Constru e el cuadrado correspondiente. preguntas, no solo las DC que se plantean en el libro, permita que 8.5 cm ahonden en el análisis de cada caso. Se espera 8.5 cm B que deduzcan las propiedades a partir dela ¿C mo son entre sí las medidas de las dia onales de un cuadrado? uales razonamiento lógico.b) ¿Qué án ulo orman entre sí las dia onales del cuadrado? Recto de 90c) ¿ n qué punto se cortan las dia onales del cuadrado? n los vértices, en su punto medio.. os lados de un rectán ulo miden . cm, respectivamente. Constru e el rectán ulo. DC 3 cm Qué observar 5.5 cm B Otra de las ﬁguras que el alumno identiﬁca dea bserva la ura. nota dos características de los lados opuestos del rectán ulo. primera intención es el rectángulo. Permitauales paralelos. que los alumnos resuelvan librementeb ¿C mo son entre sí los án ulos del rectán ulo? uales los cuatro án ulos. estas actividadesc ¿Cuánto mide cada uno de los án ulos de un rectán ulo? 90 observando las formas de ejecución de lasd i trazas las dia onales, ¿qué puedes comentar en relaci n con los án ulos que se orman? construcciones y las uales 2 a 2. respuestas de las preguntas propuestas.e rmaci n as dia onales de un rectán ulo se cortan en su punto medio . Discute este enunciado con tus compañeros anota una conclusi n que lo usti que. Respuesta abierta. a dia onal el lado ma or de un rectán ulo orman un án ulo de 0 . Constru e el rectán ulo cu o lado Curiosidades, mayor mide 8 centímetros. acertijos y más 49 Siempre que sea posible, proponga algún acertijoBitácora pedagógica o actividad recreativa con los conocimientos estudiados, como por ejemplo: en la ﬁgura, el área del cuadrado es menor a 4 cm2. ¿Qué área tiene el cuadrado ma or? 49

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar a ¿Cuánto mide el án ulo que se orma entre la dia onal el lado menor? 60 b ¿Cuánto mide el lado menor del rectán ulo? 4.6 cm aproximadamente.Permita que los c Comenta brevemente el procedimiento que se uiste para construir el rectán ulo solicitado.alumnos apliquen losconocimientos que ormar el án ulo de 0 levantar una perpendicular asta cortar la dia onal adquirieron en este completar con las paralelas.contenido para poderrealizar esta actividad. LO QUE APRENDÍVeriﬁque que losconocimientos 1. as instrucciones de esta actividad están dadas en orma de mensa e secreto, desci ren cada mensa e para adquiridos fueron conocer su contenido y realicen lo que se les pide.aplicados deforma correcta; en a C—o n—s tr—u y—e u—n t—r iá—n —u l—o c—o n l—o s s—i —u i—e nt—e s s—e —me—n t—o sCd—e r—e c—t a. Ccaso contrario, permita Da los alumnos proponernuevos ejercicios. AB B CC ARevise en grupo susresultados y la forma B d . cmen que llegaron al b) D—i b—u j—a u—n c—u a—d r—a d—o s—i —s u d—i a—o—n a—l m—i d—e 4.5 u—n i—d a—d e—s .resultado, permita la Blibre expresión. • Describe el procedimiento que empleaste para trazar las uras de a b . e traza un án ulo de 0 después se traza la dia onal de . cm, posteriormente se levantan líneas paralelas asta el punto de la dia onal. • n caso de no contar con el equipo de eometría, ¿c mo realizarías la actividad? Respuesta abierta Desarrolla tus habilidades 1. Traza en la cuadrícula tres cuadrados tres trián ulos separados entre sí, que ten an el ma or perímetro posible. Respuesta abiertaRecursos USA LAS TIC ¿Qué procedimiento utilizaste para trazar las seis uras sin que se unieran? y materiales Respuesta abierta sta pá ina electr nica En la página Geometría es e celente, te a udará Compara tus uras con el resto de tus compañeros, analicen unto con su Activa, en su apartado muc o a que también pro esor sus procedimientos comprueba quién obtuvo las uras con de “Cuadrilátero”, en la puedes visitar primero mayor perímetro.actividad Construcción, la secci n de eometría. se ofrecen ejemplosinteractivos para ttp .t atquiz.or esconstruir paralelogramos.http://mimosa. 50pntic.mec.es/clobo/geoweb/1eso.htm. Bitácora pedagógicaCon esta página podráenriquecer su labordocente.50

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BLOQUE 1 BLOQUE 1Eje temático Forma, espacio y medidaTema Figuras y cuerposContenido 7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo ACUÉRDATE DE...naliza estas construcciones a Qué observar A Es importante que desde BC D b c d Segmento. Parte de una la sección “ACUÉRDATE línea comprendida o limitada DE…”, los alumnos Figura 1 Figura 2 entre dos puntos. manejen de manera natural el lenguaje y lo Perpendicular. Son dos líneas conceptos geométricos, que se tocan o cortan entre para que al referirse sí formando un ángulo de a las propiedades se 90º. disminuya la distracción con el uso de los1. n la ura 1 términos propios de este a ¿Cuál es el segmento que orma la base del trián ulo? BD eje de contenidos. b ¿Cuál es el punto que divide a la mitad la base del trián ulo? C c ¿Qué medida tiene el án ulo que se orma entre la base del trián ulo la línea punteada? 90 rados. d l án ulo que se encuentra en el vértice a , ¿consideras que está dividido e actamente a la mitad por el C? se lee se mento ac Sí2. n la ura 2a ¿C mo se llama la línea que representa ? lturab ¿ erá C perpendicular de ? Sí ¿Por qué? Porque se intersectan en el vértice a , ormando un án ulo de 0 rados entre ambas.Para tener en cuentaPara encontrar la altura de un trián ulo, se traza una línea perpendicularque va desde un lado asta el vértice opuesto. 51Bitácora pedagógica 51

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MATEMÁTICAS 1Qué observar MATEMÁTICAS 1Permita que el alumno PRACTÍCALO Actividad 7.1trace las alturas de lostriángulo propuestos, y 1. racen las alturas de los trián ulos.propicie la reﬂexióny la argumentación a) B b) E c) Gen forma individualy colectiva acerca A C DF HIdel concepto,representación y • Describan el procedimiento que utilizaron para encontrar las alturas.signiﬁcado de la altura. e trazan líneas perpendiculares asta ormar un án ulo de 0 con la base.Cómo enriquecer • ¿Cuál es el lado que deben tomar como base para marcar la altura más pequeña?la actividad os se mentos C, D , .Proponga nuevos PRACTÍCALO Actividad 7.2ejercicios para que alos alumnos les quede 1. raza los trían ulos indicados por cada punto encuentra las medianas.claro el concepto dealtura en un triángulo. a) b b) c) cQué observar aaPermita el análisis para c c b abque los alumnos, de e traza una línea desde cada vértice asta el punto medio manera individual, • Describe el procedimiento que utilizaste. de cada lado.puedan trazar lostriángulos y las medianas • Compara tu resultado con uno de tus compañeros describan cuál es la mejor forma de tra-correspondientes.Proponga a los zar la mediana de un trián ulo. Respuesta abiertaalumnos nuevos tiposde triángulos y que • pon an sus respuestas conclusiones rente al rupo con a uda del pro esor veri quen tracen en su cuadernolas alturas y medianas. corrijan sus procedimientos si es necesario. Mediana. e mento trazado Para tener en cuenta desde un vértice asta el punto medio del lado opuesto. Para encontrar la mediana de un trián ulo debes localizar el punto medio de un lado trazar una línea desde este punto asta el vértice opuesto. PRACTÍCALO Actividad 7.3 1. Con re la compás, traza en tu cuaderno la mediatriz de cada se mento de recta. Observa el recuadro para recordar c mo se realiza el trazo, o si conoces otro procedimiento, coméntalo con tus compañeros. Mediatriz. Es la línea a) P Q perpendicular trazada en el punto medio de cada lado. AB 52 AB Bitácora pedagógica AB52

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BLOQUE 1 BLOQUE 1 F A Ca) G Cómo enriquecer la actividad AB Es importante que unab) A B vez que hayan trazado las mediatrices de la J B actividad, los estudiantes K comenten lo quec) A signiﬁca la mediatriz y cómo se traza. B D • a ilustraci n muestra el procedimiento para trazar una mediatriz utilizando el compás, analízalo y contesta ¿de qué otra orma se pudo aber trazado? Descríbela. Respuesta abiertaCompara tus resultados procedimientos con al unos de tus compañeros, analízalos re istra tus conclusiones. PRACTÍCALO Actividad 7.4 c1. raza las mediatrices de los trián ulos. Cómo enriquecer la actividada) b) b c) a a La localización del circuncentro permitirá bc ac b observar rápidamente la precisión de losb ¿Qué sucedi con las tres mediatrices de cada trián ulo? trazos hechos por los alumnos. ConsolideSe cortan en un punto. en esta actividad la precisión de los trazosc ¿C mo son entre sí las distancias desde ese punto a los vértices del trián ulo? y el concepto de uales circuncentro, mediante la observación que losd Con tu compás, aciendo centro en ese punto, traza una circun erencia que pase por los tres vértices. alumnos hacen sobre La respuesta se dio en el inciso a) al trazar la circunferencia. el buen manejo de su juego de geometría.e ¿Qué medida tiene el radio de cada una de esas circun erencias? a 2. cm, b 2.2 cm c cm apro imadamente. Recursos y materiales Compara tus resultados con los del rupo con la asesoría de tu pro esor re istra una conclusi n en tu cuaderno. En la página Geometría Activa, en su artículo de 53 “triángulos: mediatrices, circuncentro”,Bitácora pedagógica encontrará animaciones interactivas con las que sus alumnos podrán trabajar este concepto. http://mimosa. pntic.mec.es/clobo/ geoweb/1eso.htm 53

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 7.5 PRACTÍCALOCómo enriquecer 1. n la si uiente ura, es la mediatriz de es el punto de intersecci n. Completen o contesten lo la actividad que se pide.Durante la realización Rde esta actividad, Fbusque la participaciónde todo el grupo. AM BPropicie la reﬂexión y Gla argumentación paraque de una manera Hrespetuosa encuentren Slas respuestas a laspreguntas que a ¿Cuánto mide el ѯ ? 90º , ¿ el ѯ ? 90ºse plantean en laactividad. b ¿C mo son entre sí ? PerpendicularesProponga situacionessobre todo en c ¿C mo son entre sí las lon itudes de ? ualesconstrucciones dondelos alumnos puedan d Por ello, resulta ser el punto medio de .analizar y contestarcuestionamientos e ¿C mo son entre sí ? uales. ¿ ? ualescomo los propuestos. i es un punto cualquiera de la mediatriz, ¿cuáles son las distancias a los e tremos del se mento?Recursos HA y HB ¿c mo son entre sí sus medidas? ualesy materiales De lo anterior, ¿cuál es su conclusi n? Todo punto de la mediatriz está a la misma distancia de losEn la página Geometría e tremos del se mento dividido.Activa, en sus artículosde “Elementos de ¿Qué puntos resultan simétricos con respecto a la mediatriz ?Geometría Plana: Mediatriz de unsegmento y bisectriz de i De acuerdo con sus án ulos, ¿qué tipo de trián ulos son ѯ , ѯ ѯ ? s scelesun ángulo”, encontrará ¿Por qué? Porque es un trián ulo que tiene dos lados i uales.animacionesinteractivas sobre las tilicen su compás encuentren en la ura al menos un punto sobre la mediatriz tal que al trazar sus distintas formas de distancias a los e tremos del se mento se orme un trián ulo equilátero. ealicen el trazo usti quen.trazar la mediatriz y labisectriz. í, tomando una distancia i ual al se mento dividido.http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/ ¿Podrían encontrar un punto tal sobre la mediatriz que, al trazar sus distancias a los e tremos del se -geoweb/1eso.htm mento, se orme un trián ulo escaleno? usti quen su respuesta veri íquenlo en el trazo. 54 o, cualquier punto está a la misma distancia de los e tremos del se mento dividido. 54 Bitácora pedagógica

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BLOQUE 1 BLOQUE 1PRACTÍCALO Actividad 7.61. tiliza tu transportador para medir los si uientes án ulos. T S C ѯ UTS ‫ ؍‬138º ѯ ABC ‫؍‬ 95º R Cómo enriquecer A la actividad U Ponga especial atención en esta actividad, ya FB M ѯ RHK ‫ ؍‬83º H que muchos alumnosѯ HGF ‫ ؍‬46º no saben cómo utilizar E ѯ DEM ‫ ؍‬33º el transportador. Si este es el caso de su grupo,GH DK permita que los que sí saben utilizarlo les• Describe la forma en la que resolviste la actividad. expliquen a los demás Por medio del transportador. la manera en cómo debe colocarse y leerse.• Compara tus resultados con al unos de tus compañeros de rupo, ¿las medidas que obtuvieron son i uales? No ¿C mo pueden saber quién obtuvo la medida más e acta? tilizando un transportador adecuado tomando la medida con la técnica correcta.Comenten sus observaciones. Para tener en cuenta Bisectriz. Es la recta que, partiendo de un vértice,Para trazar una bisectriz es divide a un ángulo ennecesario dividir un án ulo dos partes iguales.a la mitad, para ello puedes utilizar tu transportador o tucompás. bserva la ima en.PRACTÍCALO Actividad 7.71. Con re la compás, tracen la bisectriz de cada uno de los si uientes án ulos. bserven el recuadro para recordar c mo se realiza el trazo, o si conocen otro procedimiento, coméntenlo con sus compañeros. • eri quen la e actitud del trazo midiendo con el transportador. ¿Pudieron dividir los án ulos por Qué observar la mitad? Sí Al trazar las bisectrices • ¿Cuál es el me or instrumento para encontrar la bisectriz, un transportador, un compás o ambos? pida a los alumnos • pliquen su respuesta. mbos, pero depende muc o de utilizarlos correctamente. que justiﬁquen susCompartan sus respuestas con sus compañeros con a uda del profesor escriban una conclusi n de este tema. trazos. Indúzcalos a que observen que el 55 trazo de la bisectriz es también el trazo de la Bitácora pedagógica mediatriz del segmento delimitado por un arco trazado desde el vértice del ángulo en referencia. 55

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MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecerla actividadEsta actividad estádiseñada paraveriﬁcar la precisiónde los trazos de losalumnos, mediantela localización delincentro.Pídales que realicenen sus cuadernos,a manera de álbumde geometría, mástrazos de bisectrices enotros triángulos y quecorroboren que estánlocalizados el incentro.Qué observarDé el tiempo necesariopara analizar elproblema planteado.Veriﬁque que losalumnos realicen biensus razonamientos yque justiﬁquen susresultados. Bitácora pedagógica 56

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BLOQUE 1 BLOQUE 1b n un plano cartesiano se encuentra un trián ulo cu os vértices están ubicados en las si uientes Qué observar coordenadas 1,2 ,1 C , . ocalicen los puntos, constru an el trián ulo encuentren las bisectrices. Permita que los alumnos apliquen• Expliquen el procedimiento que 7 los conocimientos utilizaron. Se marcaron las 6 acerca del trazo de las coordenadas y se trazaron las bisectrices para poder bisectrices de cada án ulo. resolver esta actividad.• ¿Cuál es la orma que conside- Cómo enriquecer la actividadran más sencilla para resolver 5este e ercicio? Descríbanla. 4 Permita a los alumnos que propongan más tilizando una re la un ejercicios para quecompás. los resuelvan en su cuaderno de notas,Comparen sus resultados con sus com- 3 asegúrese que suspañeros, analicen sus procedimientos. 2 respuestas seanCon la a uda del pro esor redacten 1 correctas.una conclusi n para esta actividad.Respuesta abierta Recursos y materiales 0 1 2 34 5 67 En la página GeometríaDesarrolla tus habilidades Activa, en su artículo “Triángulos: Bisectrices, n el si uiente tablero traza cuatro trián ulos. o deben unirse. cada trián ulo así nale una letra del Incentro”, encontraráabecedario. animaciones interactivas en las • n el trián ulo traza de color ro o B que los alumnos las tres alturas. podrán trabajar estos C conceptos. • n el trián ulo traza de color verde http://mimosa. las tres medianas. pntic.mec.es/clobo/ geoweb/1eso.htm • n el trián ulo C traza de color azul las tres mediatrices. • n el trián ulo D traza de color ne ro las tres bisectrices. e nete con otros dos compañeros entre los tres comparen los trián ulos que trazaron los métodos que utilizaron para trazar las rectas solicitadas. ¿ os trián ulos que trazaron son i uales? No¿Por qué? Porque se tomaron vértices distintos. D e istren sus conclusiones respecto a esta actividad. Respuesta abierta 57Bitácora pedagógica 57

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje temático Manejo de la información Tema Proporcionalidad y funciones Contenido 8 Resolución de problemas de reparto proporcionalQué observar ACUÉRDATE DE...Es importante que n equipo, analicen resuelvan el problema Reparto proporcional.los estudiantes analicen Divisi n de un n mero en si la situación a srael, ric ario salieron de paseo ario ast 1 00 srael, 0, ric partes equitativas respecto aresolver implica 2 00. i srael llevaba 00 para el via e ric 200, ario 2 000, ¿el as- otros números.un reparto proporcional. to de cada uno ue proporcionalmente i ual? reparto proporcional . r u-Lo medular en menten su respuesta.las actividades deeste apartado es la í, astaron de orma proporcional. Porque todos astaron el de la canti-seguridad y conﬁanzaque vayan alcanzando dad de dinero que llevaban para el viaje.los alumnos al presentarsus procedimientos de PRACTÍCALO Actividad 8.1resolución. Observeque al presentar los 1. esuelve los problemas. Compara tus resultados con los que obtuvieron tus compañeros. Comenten los resultados incluyan las procedimientos que utilizaron.unidades de medidaque correspondan a a n la escuela se ele irán 12 personas para inte rar el comité de representantes de la sociedad de la solución de cada alumnos. l acer las votaciones, los alumnos de tercero obtuvieron 0 votos a avor los de se un-problema. do 2 0 los de primero 0. l rupo de representantes debe estar compuesto por alumnos de los tres rados. Cómo enriquecerla actividad b) De acuerdo con las votaciones, ¿cuántos alumnos de cada rado tendrá el comité? 1 cuatro , 2º tres y 3º cincoAnalice con el grupo elproblemas planteado, • plica la estrate ia que utilizaste para lle ar a las proporciones de alumnos de los di erentes ra-cuestione a los alumnos dos que conformarán al comité. e calcula primero los porcenta es con base en los votos lue oacerca de la estrategiade solución “antes” de se obtiene el porcentaje con base al número de personas.resolverlo y pida queexpliquen los motivos • i las cantidades ueran para 1 2 0 votos, 2 0 votos 0 votos, ¿las proporciones de estu-de cada planteamiento. diantes por rado serían i uales o di erentes? Diferentes Explica. e undo lePosteriormente,pueden participar los corresponde el porcenta e de tercero a primero el de se undo, a tercero el de primero.alumnos resolviendolas operaciones frente • ¿C mo quedarían con estas votaciones representados los alumnos de cada rado en la sociedad? al grupo para poder Para primero, tres alumnos para se undo, cinco alumnos para tercero cuatro alumnos.analizarlas. Por último,cuestione acerca de si c n el equipo de basquetbol, uan Pedro son los u adores que por lo re ular se encar an de e ec-consideran que es la tuar los tiros de casti o uan encesta tres de cada cinco tiros Pedro encesta cinco de cada oc o tiros. forma más sencilla de i el si uiente lanzamiento uera el decisivo para anar el ue o.resolver las situaciones. 58 Bitácora pedagógica58

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BLOQUE 1 BLOQUE 1• ¿ qué u ador ele irías para que e ect e el tiro? Pedro• ¿Qué planteamiento matemático realizaste para tomar esta decisi n? na proporci n• ¿Por qué al otro u ador no lo ele iste para que realizara el tiro? Su porcentaje es menor.d ntre cuatro ami os compraron un boleto de 0 para la ri a de 10000 como premio ma or. no de ellos aport 12 otro 1 el tercero, 1 el cuarto el resto. i el boleto result ser el premiado• ¿Cuánto dinero debe recibir el que aport el resto para comprar el boleto? 2000• no de ellos recibi 2 00, ¿a qué ami o le correspondi esta cantidad? l primero• ¿Qué cantidad de dinero del premio recibieron los que aportaron 1 12? 2 00 000• plica la estrate ia que utilizaste para encontrar la cantidad de dinero que le corresponde a cada uno. Se calcula el porcentaje con base en el precio del boleto; y posteriormente se calcula la cantidad de cada porcentaje con respecto al premio.• ¿ l reparto del premio ue proporcional? Sí Justiﬁca tu respuesta. Qué observarl dinero se reparti de acuerdo a la cantidad de dinero aportado para el boleto. Este problema permite, sobre todo, reaﬁrmarCompara tus resultados con el resto del rupo veri quen con su pro esor que sean correctos, después ana- la forma de hacer unlicen los procedimientos que utilizaron para lle ar a los resultados. planteamiento, así como los algoritmosPara tener en cuenta necesarios para encontrar las l reparto proporcional es la divisi n equitativa de una cantidad dada, entre soluciones.ciertos números llamados índices de reparto. En el reparto proporcional seconsideran la cantidad a repartir, los índices del reparto el cociente del Cómo enriquecerreparto. la actividadPRACTÍCALO Actividad 8.2 Pida a los alumnos que expliquen cómo1. r anicen un equipo de traba o de tres o cuatro inte rantes, en con unto lean analicen cada uno de resolverían este los problemas planteados en su cuaderno realicen las propuestas, esquemas operaciones que con- tipo de problemas. sideren necesarios para resolverlos. s mu importante que elaboren una usti caci n o e plicaci n del Analice junto con procedimiento utilizado del resultado que obtuvieron por cada problema. l nal e pon an sus ellos las operaciones resultados rente al rupo con a uda del pro esor elaboren sus conclusiones. que realizaron. Para concluir, analice Problema 1 situaciones similares de la vida cotidiana donde n una escuela secundaria, por la tarde se dan asesorías de distintas materias. a maestra Claudia tra- este conocimiento sea ba esta semana 10 oras de clases, el maestro drián 1 oras el maestro íctor 20. l maestro útil para los alumnos. icardo, que es el director, retir del banco 000 que debe repartir entre los tres maestros, depen- diendo de las oras traba adas Reﬂexión a ¿Cuánto le pa a a cada maestro por ora de traba o? 200 Es importante concientizar a los Claudia 2000 drián 000 participantes acerca de la responsabilidad b ¿Cuánto le pa a la maestra Claudia? ¿Cuánto al maestro drián? ¿ al maestro íctor? íctor 000. que adquieren al estar frente a un grupo. c ¿Qué estrate ia utilizaron para encontrar las respuestas? ualar el total de oras de clases a 000 calcular la proporci n por oras traba adas. a que sensibilizarlos 59 sobre la aceptación de comentarios, preguntasBitácora pedagógica y dudas de los demás compañeros, así como la disposición que se ha de tener para responder en la medida de sus conocimientos. 59

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Sumando la cantidad que le correspondeQué observar d ¿C mo pueden comprobar que sus resultados son correctos? a cada maestro.Es importante que e) ¿Consideran que el maestro icardo reparti proporcionalmente el pa o? Sí pliquen ¿por qué? destaque la utilidad deconocer la cantidad Porque lo reparti de acuedo a las oras traba adas por cada maestro.por unidad referente acada situación y cuáles Problema 2serían sus aplicacionesen la vida cotidiana, así os 0 alumnos de un rupo de secundaria están colaborando en un pro ecto de re orestaci n, en 1 como veriﬁcar que los días an lo rado plantar 00 arbolitos. Con base en esta in ormaci n respondanalumnos comprendanla relación entre el a ¿Cuántos arbolitos planta cada alumno por día? Dos ¿De qué manera encontraron el resultado? valor unitario y elalgoritmo del reparto Dividiendo el n mero de árboles entre la cantidad de días, el resultado entre el n mero de alumnos.proporcional. b) ¿Consideran que emplearon el procedimiento más práctico? Respuesta abierta pliquen por qué. Respuesta abierta c i nita decidi colaborar durante cinco días orm su propio equipo de re orestaci n de perso- nas, ¿cuántos arbolitos plantarán? 50 árboles d ¿C mo pueden comprobar que sus resultados son correctos? 5 alumnos plantan 2 árboles por día en 5 días da como resultado 50 árboles. PRACTÍCALO Actividad 8.3 1. Resuelve las situaciones. 0 2 a n la tienda de la colonia me cobran 0 pesos si me llevo una lata de puré de tomate de por la de 2 0 . ¿Cuál resultaría conveniente comprar? a lata de puré de 2 0 . b n una eria a dos ue os en los que observo que ten o la misma oportunidad de anar en el pri- mero de ellos me cobran 2 por participar me pa arían en el se undo ue o, por cada me darían . ¿ n cuál me conviene u ar? n el primer ue o. • ¿Cuál ue el procedimiento que utilizaste para resolver cada uno de los problemas? n el primero, se calcul el precio por ramo en el se undo, se dividi el pa o entre el cobro del ue o. • ¿Crees que e ista otro procedimiento para resolver ambos problemas? Sí Justiﬁca tu respuesta. Calculando los porcenta es. • Compara tus resultados con el resto del rupo ba o la supervisi n de tu pro esor obtén una con- clusi n. n tala. Respuesta abierta • ¿Consideras que estos problemas tienen características comunes? Sí plica por qué. Porque en ambos es útil conocer la cantidad por unidad. • ¿Cuál es la conveniencia de saber resolver estos problemas en la vida cotidiana? Respuesta abierta 60 Bitácora pedagógica60

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BLOQUE 1 BLOQUE 1 LO QUE APRENDÍ1. Respondan las si uientes situaciones.a a l es anadero, vende queso que él mismo abrica, pero solo usa la lec e de sus 2 me ores vacas Qué observar cada una produce 2 litros de lec e al día, con la cual se elaboran de queso diario. a l vende el ilo ramo en 0. a lec e que producen sus 0 vacas restantes 1 litros c u la vende a .8 por Esta actividad requiere litro a la ente de su comunidad. un análisis profundo y buen razonamiento por• ¿Cuántos litros diarios de lec e se producen en total? 1,1 0 litros de lec e. parte de los alumnos. Veriﬁque que esto se• ¿Cuántos ilo ramos de queso se elaboran en una semana? , ¿cuántos en un mes? lleve a cabo de manera adecuada, ponga1, 0 de queso. especial atención a los planteamientos• ¿Cuánto dinero recibe a l diariamente por la venta de queso? 1 0 mostrados, las operaciones realizadas• ¿Cuántos litros de lec e necesita para elaborar un ilo ramo de queso? 2.7 litros. y la secuencia en que• ¿Cuánto dinero obtiene por la venta diaria de lec e? 2 8 se llevaron, veriﬁque los resultados junto con• i a l empleara la lec e que producen todas las vacas, ¿cuántos ilo ramos de queso obtendría? los alumnos. Propicie la participación individual2 . de queso. y colectiva.2. Comparen sus resultados con los del resto del rupo con a uda del pro esor re istren sus conclusiones.Respuesta abierta. • ¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar las respuestas? nálisis del problema, planteamiento de de operaciones su realizaci n. • ¿C mo puedes saber que el procedimiento que empleaste ue adecuado que tus resultados son correctos? través de la comprobaci n de las operaciones. • ¿Por qué es importante saber resolver problemas de reparto proporcional? Porque en la vida cotidiana este tipo de situaciones son frecuentes.Desarrolla tus habilidadesn empresario tiene un terreno de 0 m de rente por 0 m de ondo, necesita dividirlo en cuatro partes 1 para o cinas, 1 para bode a 3 para maquina-ria y 2 para estacionamien10to. 5 10 5 mide todo el terreno? 2000 m2 , ¿cuántos m2 se utilizaron¿Cuántos m2para o icinas? 200 m2 , ¿cuántos m2 para la bode a? 400 m2 ,¿cuántos m2 para la maquinaria? 600 m2 ¿ cuantos m2 para elestacionamiento? 800 m2Con los datos obtenidos, en el si uiente esquema divide con di erente color el terreno de la forma que creas más conveniente. Respuesta abierta 50 m USA LAS TIC 40 m Para conocer más acerca delCompara tus resultados con el resto de tus compañeros observa si tienes la misma orma de distribuci n en el terreno del empresario. reparto proporcional y ver al unos e emplos, visita la pá ina ttp .ditutor. com/proporcionalidad/ repartos_proporcionales. tml 61Bitácora pedagógica 61

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar Eje temático Manejo de la información TemaVeriﬁque que los Nociones de probabilidadalumnos comprendan Contenido 9por qué los juegos Identiﬁcación y práctica de juegos de azar sencillos y registroplanteados son justos. de los resultados. Elección de estrategias en función delAnalice junto con análisis de resultados posibleslos alumnos por quépresentan más o ACUÉRDATE DE...menos posibilidadespara que un jugador n equipo de tres inte rantes realicen esta actividad.gane, así como la Comenten cuáles son las re las de cada uno de los si uientes ue os los materiales que utilizan idea general depoder determinar las onedas de cara o cruz volados , ruleta lotería.posibilidades que se • ¿ n qué ue o una persona tiene más posibilidades de anar? Volados , ¿en cuál es menos pro-tienen para ganar. bable que ane? Lotería , usti quen su respuesta. Por los resultados posibles de ambas. • laboren una de nici n que describa el concepto de azar. Experimento con resultado desconocido.Cómo enriquecer • ¿Consideran que una persona puede saber cuántas posibilidades tiene de anar en un ue o de azar? la actividad Sí • Justiﬁquen su respuesta. Conociendo todas las posibilidades las que son avorables.Esta actividadpuede representarse Comparen sus respuestas con el resto del rupo veri quen con su pro esor que sean correctas.físicamente con laparticipación de Experimento aleatorio: Para tener en cuentaalgunos alumnos, Resultado que se obtiene delpida que se coloquen azar, es decir de una manera El espacio muestral está formado por todos los resultados posibles que puedenfrente al grupo y que casual o fortuita. ocurrir durante la realizaci n de un experimento aleatorio.representen a lospersonajes de la PRACTÍCALO Actividad 9.1situación y con laparticipación del 1. En parejas realicen esta actividad.grupo respondan loscuestionamientos. Por el aniversario de una pequeña empresa, se van a ri ar varios artículos entre los traba adores. n el depar-Pida a los alumnos tamento de ventas traba an rnesto, ulieta, eatriz, osé, icardo, Claudia, Diana Carmela, para su depar-que argumenten sus tamento se van a ri ar tres artículos un autom vil, donde participan todos, una televisi n de ltima tecnolo ía respuestas. de 0 para los ombres para las mu eres un tratamiento de belleza en una de las me ores clínicas. • ¿Quién tiene más posibilidades de anar el autom vil, un ombre o una mu er? Una mujer Justiﬁ- quen su respuesta a poblaci n de mu eres es ma or. • icardo le encantaría anar el autom vil, ¿qué posibilidades tiene de anarlo? 1 de 8. 2. Expliquen el procedimiento que utilizaron. a comparaci n entre el n mero de ombres de mu eres. • ¿Cuántas posibilidades tiene cada mu er de anar el tratamiento? 1 de 5. Justiﬁquen su respuesta. Porque el tratamiento se rifa solo entre las mujeres. • ¿Cuántas posibilidades tiene cada ombre de anar la televisi n? 1 de 3. Expliquen su procedi- miento. Porque la . . se ri a solo entre los ombres. • ¿Cuántas posibilidades a de que nin n ombre ane un re alo? 1 de 3. Justiﬁquen su respuesta. Porque nicamente un ombre se quedaría sin re alo. • ¿Cuántas posibilidades a de que nin una mu er obten a un re alo? 2 de 5. Justiﬁquen su respuesta. Porque nicamente mu eres se quedarían sin re alo. evisen sus respuestas con sus compañeros con la asesoría de su pro esor establezcan conclusiones. 62 Bitácora pedagógica62

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BLOQUE 1 PRACTÍCALO BLOQUE 1 Actividad 9.21. ee con atenci n lo que sucedi en este ue o responde las pre untas. Cómo enriquecer a ntonio u o me invitaron a u ar con un dado de colores dos caras son ne ras, dos blancas la actividad dos ro as. Con orme salía un color, avanzaba la c a correspondiente. an el que lle primero a la meta. Permita que en parejas, los alumnos resuelvan b ntes de iniciar el ue o se me ocurri lanzar el dado en varias ocasiones re istré los resultados esta actividad; observe , , , , , , , , , , , , , , que organicen en una tabla la información de • i quisiera anar, ¿qué color convendría ele ir? l ne ro los lanzamientos previos • ¿Con los resultados obtenidos al lanzar el dado se puede pensar que todas sus caras tienen la misma posi- al juego. A pesar de la incertidumbre, haga bilidad de salir? No precisamente que pongan en juego la • i se mantuviera la misma proporci n de resultados, ¿cuál es el n mero posible de caras ro as que se proporcionalidad para responder los incisos. obtendrá en 0 lanzamientos del dado? Seis • ¿Cuántas veces es posible que a a salido cara blanca en 2 lanzamientos? co PRACTÍCALO Actividad 9.31. Resuelve este caso. Cómo enriquecer la actividada n una urna a 10 c as ne ras 10 blancas. uan o u amos por turnos a sacar sin ver una c a en cada De ser posible, propicieocasi n. l primer u ador saca una c a la conserva. i el se undo u ador saca una c a es del mismo que efectúen con ﬁchas y una urna la actividadcolor que la del primer u ador, el primero ana, en caso contrario el se undo u ador será el anador. para ser más objetivos¿ s este un ue o usto? No Explica tu respuesta l se undo u ador tiene una probabilidad con sus comentarios.de 10 de anar 9 de perder. Curiosidades, 19 19 acertijos y más• ¿ ería usto un ue o si, después de que el primer u ador saca una c a, re istra el color la re resa A través de acertijosa la urna? Sí permita que los alumnos Explica tu respuesta. odos tendrían la misma probabilidad de anar o perder. analicen su posible solución, por medio de• i t ubieras creado las re las del ue o, ¿c mo te podrías ase urar de que son ustas para ambos una lluvia de ideas. u adores? ¿Cuántas veces necesitas extraer una bola de Que cada u ador re resará la c a a la urna para que sea usto el ue o. color de una urna que contiene 5 bolas 63 negras y 5 blancas para tener la plena seguridadBitácora pedagógica de que tienes un par del mismo color? 63

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar LO QUE APRENDÍVeriﬁque que los 1. amos a simular que están participando en una carrera de caballos para ello utilizarán una calculadoraalumnos entiendan cientí ca, que ten a unci n para enerar n meros de orma aleatoria. usquen la tecla andom re u-que la generación de larmente se abrevia D, los n meros los pueden cambiar pulsando la tecla i ual . Con recuencia,números aleatorios con las calculadoras en esta unci n asi nan triadas, es decir, series de tres n meros, ustedes nicamente con-la calculadora es justa siderarán el pen ltimo dí ito . Participan 10 caballos avanza una casilla el caballo que corresponda al para todos los dígitos, n mero de cada tirada, si sale cero avanza el caballo 10. ora, a u aren esta actividades casi seguro que n la tabla, lleven el conteo de las tiradas que realizan para los caballos asta obtener los tres primeros lu a-todos los resultados res representen en la rá ca el n mero de tiradas los caballos anadores.van a ser distintos,es conveniente que Nombre Número de tiradaal ﬁnal se analicenlas similitudes que ypresentan así como número 1 2 3 4 5 6 7la igualdad decondiciones, y por qué 1. lazándebe tomarse como unjuego justo. 2. ura . lastor 4. Tornado 5. El moro 6. Bayo 7. Pampero 26 8. Dandy 24 22 9. Finito 20 18 10. Imperial 16 Número de tiradas 14 12 10 8 Respuesta abierta 6 4 2 0 1er 2o 3er lugar lugar lugar 64 Bitácora pedagógica64

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BLOQUE 1 BLOQUE 1a ¿Cuál caballo ue el anador? Respuesta abiertab ¿ odos los caballos tienen la misma oportunidad de anar? Respuesta abiertac ¿Cuál es la oportunidad de cada uno? Respuesta abiertad ¿Cuántas tiradas tuvieron que realizar para obtener al caballo anador? Respuesta abiertae i repiten la carrera, ¿ anará otra vez el mismo caballo? Respuesta abierta Justiﬁquen su respuesta. Respuesta abierta2. n una tienda departamental se sortea una batería de cocina a través de un ue o, este consiste en sacar tres Cómo enriquecer pañoletas del mismo color de una urna que contiene tres de color ro o, tres verdes, una ne ra dos blan- la actividad cas. l premio también se otor a si se sacan dos pañoletas blancas, pero si es ne ra pierden el premio. La situación marcada a) ¿Cuál consideran que sería la me or elecci n para anar? No con el número 2 es muy sencilla deb) Expliquen su respuesta. Porque no se re resa la pañoleta a la urna. representar de manera física: lo ideal es tomarc) ¿Qué consideran que sea más posible, que sal an tres pañoletas del mismo color o una blanca? una caja y meter varias pañoletas, pero si no seSí tienen a la mano se puede utilizar unad) ¿Por qué? Porque la probabilidad de sacar tres del mismo color es de 3 y de sacar una blanca es de 1 . bolsa de plástico y 9 9 papeles de colores o con los nombres dee) ¿Qué posibilidad a que se pierda el ue o sacando la pañoleta ne ra? 1 de 9. cada color escritos, esto también permitef) Justiﬁquen su respuesta. Porque solo a una pañoleta ne ra de las nueve que a en la urna. realizar el experimento las veces que sea ¿Qué color de pañoleta tiene más oportunidad de salir en el primer intento? Roja y verde necesario, sobre todo para su correctoExpliquen su respuesta. Porque ambas tienen la misma probabilidad de 3 análisis. 9i) Discutan sus respuestas con el resto de los equipos. Respuesta abiertaDesarrolla tus habilidades USA LAS TIC n una ermés se coloc una ruleta circular dividida en seis partes numeradas ¿ atemáticas o ma ia? por cada ue o participan dos personas, cada una con cinco c as. ¿Qué probabilidad e istirá de que una computadora • i los u adores ue an con una a cinco c as, ¿qué n mero tiene más adivine un número que oportunidad de anar? solo se encuentra en tu pensamiento?, si quieres • i cada uno ue a con una c a de dos n meros distintos, ¿qué es más averí ualo visita la pá ina posible, que ane o que pierda? ttp .aulademate. • i un u ador decide u ar a la vez con tres c as con tres n meros pares, com contentid 2. tml ¿qué oportunidad tiene de anar? 65Bitácora pedagógica 65

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MATEMÁTICAS 1Qué observar MATEMÁTICAS 1Recuerde que la sección Evaluación“Evaluación” pretendehacer que los alumnos Resuelve las siguientes situaciones y escribe en el paréntesis de la derecha la letra que con-se autoevalúen; esto tenga la respuesta correcta. Al ﬁnalizar, revisen en grupo esta prueba, sus resultados y loses, que aprendan a procedimientos.reconocer qué es lo queya saben hacer, qué 1. bserva las si uientes uras eométricas.más están aprendiendoy en qué contenidos 1. ¿Cuánto suman las partes coloreadas de las tres uras? anecesitan esforzarse bmás. Cuando hagan la a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 bpuesta en común de los 58 6 54 64 bresultados, observe que alas dudas se aclaren 2. ¿Cuánto suman todos los trián ulos de las uras? y, si lo considerapertinente, que registren a) 3 b) 5 c) 2 d) 4la caliﬁcación que 4 4 4 4alcanzaron en estapágina. 3. ¿Cuál es la di erencia entre la super cie sombreada del trián ulo del rectán ulo? a) 1 b) 1 c) 3 d) 7 4 8 8 4 4. ¿Cuánto suma la super cie coloreada del cuadrado más la super cie del rectán ulo? a) 8 b) 9 c) 7 d) 5 9 8 8 8 5. ¿C mo se e presa en n mero decimal el resultado de la pre unta anterior? a) 1.125 b) 1.45 c) 1.251 d) 1.215 6. ¿C mo se e presa en n mero decimal la racci n com n de la parte de color de la superﬁcie del trián ulo? b a) 0.65 b) 0.75 c) 0.7 d) 0.25 2. Carlos traba a en una tienda, cada cuatro días debe entre ar un reporte de productividad que inclu e nes de semana, traba ados o no. ste mes inici el lunes . 1. ¿Qué sucesi n representa los días que Carlos debe b entre ar reporte? a) , , 1 , 21, 2 b) , , 1 , 1 ,21, 2 , 2 c) , 10, 1 , 21, 2 d) , 8, 11, 1 , 1 , 20, 2 66 Bitácora pedagógica66

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BLOQUE 1 BLOQUE 1Evaluación2. ¿Qué día deberá entre ar el reporte del mes de octubre? d ca) Domin o 2 b) iércoles c) Lunes 2 d) Martes 4 Cómo enriquecer d) 8 reportes la actividad3. ¿Cuántos reportes abrá entre ado Carlos en el mes de septiembre? Motive a los alumnosa) 5 reportes b) 6 reportes c) 7 reportes para que resuelvan esta evaluación de3. bserva las líneas de color que se encuentran en el trián ulo forma honesta; procure que comprendan la1. ¿Cuál es el color de la bisectriz en el trián ulo? c importancia de esto y la utilidad que puedea) a línea punteada ne ra b) La línea roja tener para mejorar su nivel de conocimientos.c) La línea verde d) La línea morada Procure que tomen la evaluación como2. ¿Cuál es el color de la mediatriz en el trián ulo? b algo habitual, bueno y sano; es decir, comoa) La línea roja b) La línea morada parte del proceso de aprendizaje de lasc) a línea punteada ne ra d) La línea verde matemáticas.3. ¿Cuál es el color de la altura en el trián ulo? ba) La línea morada b) a línea punteada ne ra c) La línea verde d) La línea roja4. ¿Cuál es el color de la mediana en el trián ulo? c d) a línea punteada ne raa) La línea verde b) La línea morada c) La línea roja4. n una eria a un ue o llamado C icos o randes , el cual consiste en tirar dos dados predecir que sale un n mero ma or o menor que siete claro que también se puede u ar a que va a salir 7 exacto).1. ¿Quién tiene más posibilidades de anar? aa) Los que predicen que sale un número menor que 7.b) Los que predicen que sale un número mayor a 7.c) Los que predicen que sale el número 7.d) Los que no predicen que sale el número 7.2. i solo ue a una persona apostando a un n mero ma or que , ¿quién tiene más posibilidades de anar, el u ador o la casa? ba) ienen i ual posibilidad de anar b) La casac) l u ador d) ienen i ual posibilidad de perder 67Bitácora pedagógica 67

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MATEMÁTICAS 1 Bloque 2 Aprendizajes esperados • esolver problemas utilizando el má imo com n divisor el mínimo com n m ltiplo. • esolver problemas eométricos que impliquen el uso de las propiedades de las altu- ras, medianas mediatrices bisectrices en trián ulos cuadriláteros. 68 Qué observar Observe si al comenzar este nuevo bloque los alumnos cumplen con las competencias requeridas, por ejemplo: la formulación de criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7; cálculo de máximo común divisor y el mínimo común múltiplo; resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionas y decimales; la multiplicación y división con números fraccionarios; trazo de la mediatriz y bisectriz; la justiﬁcación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares y la resolución de problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”.68

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BLOQUE 2 Contexto histórico –350 –321 Declive del Imperio babilonio Construcción de la Gran Muralla China –1350 –1100 –448Los egipcios usan Inicio de la guerra de Troya Construcción del Partenón relojes solares–1500 –1200 –900 –600 –350 0 Hechos matemáticos –260 Se desarrolla la –600 –300 numeración arábiga En su recorrido por el mundo, Tales de Mileto Se acepta el sistema hindú contribuyó con el desarrollo de la geometría (brahmi) de numeración 69 Cómo enriquecer la actividad Al continuar con la práctica del cálculo mental, pregunte a sus alumnos: • ¿Cuántos años transcurrieron entre el inicio de la uerra de ro a la construcci n de la uralla C ina? • Desde ace cuantos años se introdu o el sistema ind bra mi de numeraci n? Pídales, además, que investi uen sobre la vida de ales de ileto la comenten ante el grupo. 69

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar Eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraicoEsta actividad tiene Tema Números y sistemas de numeracióncomo propósito de queel alumno comprenda Contenido 1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7.las características Distinción entre números primos y compuestosmás importantesde los números ACUÉRDATE DE...naturales, así como suclasiﬁcación. Veriﬁque 1. En equipos de tres personas resuelvan esta actividad. Números naturalesque las preguntas se Son inﬁnitosrespondan de manera En el cuadro se describen algunas características de Son la base de nuestro sistema decimalclara y concisa. los números naturales; como verán, no tienen nin- gún orden. Decidan cuál es la mejor manera deCómo enriquecer ordenarlas, regístrenlo en su cuaderno y expliquenla actividad por qué lo consideran así.Motive a los alumnos Ahora transformen cada frase en una pregunta Se usan para contara que razonen y anteponiendo a cada una un ¿Por qué...? Expli-reﬂexionen sobre quen lo que signiﬁca y, si es posible, den un Algunos solo se pueden dividir entre dosla relación que ejemplo. números y otros entre tres o mástiene la multiplicación Pueden ser pares e imparescon la suma y con la Al concluir expongan su respuestas frente al grupodivisión, eso será muy y con la ayuda del profesor, aclaren sus dudas. De Se pueden representar en una recta numéricaútil para abordar el ser necesario, realicen las correcciones pertinentes.tema Criterios de divisibilidad”. 2. Ahora hablemos especíﬁcamente de los números naturales, las multiplicaciones y las divisiones. Respondan las preguntas. a) ¿Cuáles son los primeros 5 múltiplos del número 2? 2, 4, 6, 8, 10 b) ¿Cuáles son los primeros 5 múltiplos del número 3? 3, 6, 9, 12, 15 c) ¿Y los primeros 5 múltiplos del 5? 5, 10, 15, 20, 25 d) O sea, para obtener los múltiplos de un número debemos multiplicarlo por el conjunto de números Naturales e) ¿Entre cuáles números se puede dividir el número 12? 12, 6, 4, 3, 2, 1 f) ¿Entre cuáles números se puede dividir el número 10? 10, 5, 2, 1 g) Y el 11, ¿entre cuáles números se puede dividir? 11, 1 h) Expliquen ¿qué diferencia existe entre un múltiplo y un divisor de un número? Un múltiplo resulta de multiplicar un número por otro, un divisor es un número que puede dividir a otro de manera exacta 70 Bitácora pedagógica70

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BLOQUE 2PRACTÍCALO BLOQUE 2 Actividad 1.11. Continúen trabajando en equipos de tres integrantes. Cómo enriquecer la actividad Completen la tabla escribiendo en cada intersección tres cantidades cualesquiera que se puedan dividir de manera exacta entre el número que se indica, observen el ejemplo: números de dos cifras, tres cifras, cuatro Motive a los alumnos cifras. Respuesta abierta pidiendo que expliquen sus estrategias y laNúmero de: Dos cifras Tres cifras Cuatro cifras manera en la queEntre dos 231, 159, 819 utilizan las sumas y lasEntre tres multiplicaciones en suEntre cinco vida cotidiana.Entre siete Procure observar las• scriban el procedimiento que utilizaron para encontrar las cantidades. Tomar cualquier número diferencias entre las y multiplicarlo por el número indicado. estrategias de los alumnos para resolver• Comparen su tabla con otro equipo veri quen si los resultados son correctos, comenten cuál ue el las situaciones y método que utilizaron ellos, compárenlo con el su o re istren sus observaciones en su cuaderno. coméntelas frente al grupo analizando sus• ora combinemos n meros deberán encontrar cantidades cualesquiera que cumplan con la indi- ventajas y desventajas. cación de cada intersección. Observen el ejemplo, en la primera casilla el 30, el 48 y el 54, se pueden dividir de manera exacta entre dos y entre tres. Completen la tabla. Respuesta abiertaNúmero de: Dos cifras Tres cifras Cuatro cifrasEntre dos y tres 30, 48, 54Entre tres y cincoEntre dos y cincoEntre tres y siete Ensayo y error o usando• pliquen brevemente el procedimiento que usaron para encontrar los n meros. los criterios de divisibilidad.• ¿Consideran que utilizaron el método más sencillo? pliquen su respuesta Respuesta abierta• ¿Cuál es el n mero menor que puede dividirse de manera e acta entre 2, , ? 210• ¿C mo encontraron el n mero? Multiplicando todos los dígitos.• ¿Consideran que e isten métodos distintos al que usaron para encontrarlo? Expliquen su respuesta. Usando ensayo y error, aunque el más sencillo es multiplicar los digitos.Con base en la primera tabla, respondan:• noten todos los n meros que encontraron divisibles entre dos Respuesta abierta ,observa su última cifra, ¿qué tienen en común? Terminan en cero o par.• n su cuaderno realicen lo si uiente sumen los dí itos de las cantidades que encontraron divisibles entre tres, por ejemplo de 819 sería 8+1+9=18, luego ordena los resultados de menor a mayor yobserven, ¿qué característica tienen en común? Que la suma da tres o un múltiplo de tres.• De los n meros que encontraron divisibles entre cinco, observen su ltima ci ra, ¿qué característica tienen en común? Respuesta abierta• ealicen en su cuaderno esta operaci n para cada uno de los n meros de tres cuatro ci ras que encontraron y son divisibles entre siete: se quita la última cifra, al número que sobra se le resta “el doble” del número que se quitó, ordenen sus resultados de menor a mayor, ¿qué característica en común tienen estos números? Respuesta abierta 71Bitácora pedagógica 71

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 • ¿Cuál consideran que es la orma más sencilla para saber rápidamente si un n mero se puede dividir entre dos? Observando si el último número es cero o par. • ¿C mo puede una persona saber ácilmente si un n mero se puede dividir entre tres? Si la suma de sus dígitos es 3 o un múltiplo de 3. • ¿Cuál es la orma de saber rápidamente si un n mero se puede dividir entre cinco? Si la suma de sus dígitos es 5 o cero. • ¿Cuál es la orma de saber si un n mero se puede dividir entre siete? i la di erencia de un n mero sin el ltimo dí ito menos el doble de esta ci ra es cero o m ltiplo de .Qué observar PRACTÍCALO Actividad 1.2Veriﬁque que los 1. Tomen las respuestas de la actividad anterior, compartánlas y compárenlas con el grupo; luego respondan.alumnos comprendieronde manera concreta y a) ¿Cuál es el criterio que se debe observar para saber a simple vista si un número es divisible o no entre dos?clara cuál es la esencia y Un número es divisible entre 2 cuando su última cifra es cero o un numero par.la utilidad de conocery dominar los criterios b) ¿Qué criterio aplican para saber si un número es divisible entre tres?de divisibilidad, sobre Un número es divisible entre tres cuando la suma de sus dígitos es 3 o un múltiplo de 3.todo como partede un proceso para c) ¿Cuál es el criterio para los números divisibles entre cinco?resolver problemas y Un número es divisible entre 5 cuando su último dígito es 5 o cero.operaciones. d) Por último, ¿Qué criterio sirve para saber si un número se puede dividir entre siete?Transversalidad n n mero es divisible entre cuando la di erencia del n mero sin el ltimo dí ito menos es doble del ltimo dí ito da o un m ltiplo de .Solicite a los alumnosque investiguen con Para leer mássu profesor de lamateria de spañol Números primos. Tienen solo dos divisores.la manera de realizar Números compuestos. Tienen más de dos divisores.una exposición y de quéforma pueden aplicarla Para tener en cuentaen este contenido deMatemáticas. Todos los números compuestos se pueden representar como una multiplicación de números primos. Observa.Reﬂexión Para descomponer el 60 (que es un número compuesto) en factores (números)Exponer un tema dmpcoirvoimmisdooeirnsee,tlnoint5nriceceeia2ssmnaploorisssmigqdouuivieelioddnaitéúe,nn3pd2i0crooimlo‫؍‬qoeu1,ne5ets,rpeedoled21c;e5irm6,y20ioansnt‫؍‬eohnast3cea0emp,ruoceesosdmddeiovidvidii3dvi0riidreliotrnoetdernenatvtr3ríeae; d1ss3oe5í sm,p‫؍‬puisaem5sdaoey-siempre resulta un Factores. Números que 5magniﬁco recurso para conforman una multiplicación. 5 ‫ ؍‬1, una vez que lle amos al 1 acabamos la descomposici n, por lo tanto, detectar y corregir atiempo los errores de 72 60 ‫( ؍‬2)(2)(3)(5).los alumnos. Permitaque ellos expongan Bitácora pedagógicadiferentes temas, yal ﬁnal retome ustedla situaci n para acer, si es necesario, uncierre pertinente. Enlas matemáticas laexposición permitecorregir errores sobreel manejo del lenguajeque se emplea, ya queeste es universal. 72

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BLOQUE 2PRACTÍCALO BLOQUE 2 Actividad 1.31. Descompongan los números compuestos en sus factores primos.Números compuestos Factores primos Qué observar 18 (2)(3)(3) 40 (2)(2)(2)(5) Es común que los 30 (2)(3)(5) alumnos busquen 64 (2)(2)(2)(2)(2)(2) descomponer un 27 (3)(3)(3) número sin respetar el orden de los númerosPRACTÍCALO Actividad 1.4 primos. Si esto ocurre, es conveniente analizar1. Los números naturales están formados por dos tipos de números: primos y compuestos. Para identiﬁcarlos con ellos su actividad y elaboren una tabla y complétenla según las instrucciones. justiﬁcar la importancia de respetar este orden. a) El número 1 solo tiene un divisor natural: “él mismo” por lo que no es primo ni compuesto, coloréen- lo de color gris. Cómo enriquecer la actividad b) Los números primos píntenlos de color rojo y los compuestos de verde. Pida a los alumnos c) El 2 es el único número par que es primo, por lo tanto, coloréenlo de rojo y todos sus múltiplos (4, 6, que elaboren una 8, 10, etcétera) de color verde. descripción y den algunos ejemplos de d) Vamos ahora con el 3, como únicamente se puede dividir entre 3 y entre uno, (entre sí mismo y la uni- las diferencias que dad), también es primo y le corresponde el color rojo mientras que todos sus múltiplos (6, 9, 12, 15, etcétera) van de color verde. a entre los n meros primos y compuestos, e epitan el procedimiento con los n meros , , 11 1 . también deberán explicar por qué los 12345678 9 10 eligieron y cuál su 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 utilidad. 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Cambiando números 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 57 55 56 57 58 59 60 Considere unto con 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 sus alumnos que el 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 número 54, es el que 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 debe de ocupar esta 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 casilla.f) Investiguen en matemáticas cómo se llama a esta tabla. Tabla de Eratóstenes. 73Bitácora pedagógica 73

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MATEMÁTICAS 1Qué observar MATEMÁTICAS 1Veriﬁque que 2. Observen que quedaron espacios sin colorear, tales casillas también son números primos y, por lo tanto,los alumnos deberán rellenarlos de color rojo.comprendieron cadauno de los criterios 3. Elaboren la lista de los primeros números de los primos contenidos en los primeros 100 números naturales.revisados en este 2, , , , 11. 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 1, , 1, , , , , 1, , 1, , , 8 , 8 , contenido. Revisede forma grupal las LO QUE APRENDÍrespuestas. 1. Completa la tabla escribiendo en cada casilla sí o no para indicar si el número es divisible o no entre el númeroVeriﬁque que los indicado, observa el ejemplo.alumnos sean capacesde desarrollar este Criterio 2357ejercicio con seguridady conﬁanza en ellos Númeromismos. 540 Sí, porque Sí, porque sus Sí, porque No, porqueCómo enriquecer termina en dígitos suman 9, terminan en al aplicar ella actividad cero. múltiplo de 3. cero. criterio no da un m ltiplo de .Si es necesario, 1112 Sí, porque No, porque sus No, porque nopermita que revisen terminan en dígitos suman 5, termina en 5 o No, porquede nuevo el ejercicio número par. no es múltiplo en cero. al aplicar elanterior ctividad Sí, porque de 3. criterio no da un1. para que quede terminan en m ltiplo de .bien asentado este 154 número par. No, porque sus No, porque noconocimiento. 1200 Sí, porque dígitos suman termina en 5 o Sí, porque al 105 terminan en 10, no es en cero. aplicar el criterio ambién solicíteles cero. múltiplo de 3. nos da unque propongan m ltiplo de .nuevas situaciones Sí, porque la Sí, porque No, porquedonde apliquen suma de sus terminan en al aplicar ellos conocimientos dígitos es 3. cero. criterio no da unrevisados. m ltiplo de . No, porque no Sí, porque sus Sí, porque Sí, porque alCuriosidades, termina en cero dígitos suman 6, terminan en 5. aplicar el criterioacertijos y más o par. múltiplo de 3. nos da un m ltiplo de .A partir de losconocimientos USA LAS TIC Desarrolla tus habilidadesadquiridos el alumnopodrá realizar En la página http: sauce. Piensa un número de tres cifras, multiplícalo por 1001, observa el resultado,operaciones como el pntic.mec.es/jdiego/ a ora divide entre , el resultado entre 11 por ltimo entre 1 ¿qué nume-siguiente: glosario/glosario.htm ro obtuviste?, ¿pasará lo mismo con otros números?, ¿por qué ocurre esto? encontrarás deﬁniciones Respuesta abierta“Piensa en un número muy interesantes y útilesentero que sea mayor que te pueden ayudar aa uno. Si este es par complementar este tema.divídelo entre dos, encaso de que sea impar 74multiplícalo por tres ysúmale uno. Repite esta Bitácora pedagógicaoperación una y otravez y al ﬁnal siempreobtendrás el mismoresultado, es decir, uno”. 74

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BLOQUE 2 BLOQUE 2Eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraicoTema Números y sistemas de numeraciónContenido 2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo ACUÉRDATE DE...1. Completa la tabla escribiendo los múltiplos de los siguientes números. Número Múltiplos Qué observar 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Proporcione el tiempo necesario para que de 6 12 18 2 0 2 8 0 2 manera individual, los alumnos encuentren 8 1 2 2 0 8 2 80 88 los múltiplos de los números que se dan en 9 18 2 2 81 0 108 esta sección. 10 20 0 0 0 0 0 80 0 100 110 120 Promueva el análisis y la reﬂexión para que 12 2 8 0 2 8 108 120 1 2 1 de manera conﬁable puedan contestar las 15 0 0 0 10 120 1 1 0 1 180 preguntas planteadas.2. Responde las preguntas. a) ¿Cuáles son los múltiplos comunes que tienen los números 5 y 6? 30 y 60 b) ¿Cuáles son los múltiplos comunes que tienen los números 6 y 12? 12, 2 , , 2 c) ¿Cuáles son los múltiplos comunes que tienen los números 5, 10 y 15? 30, 45 y 60 d) ¿Cuáles son los múltiplos comunes que tienen los números 8 y 9? 2 PRACTÍCALO Actividad 2.11. Encuentren “todos” los divisores de los números indicados, observen el ejemplo.Número Divisiones Divisores Qué observar12 12 ، 12 ‫ ؍‬1, 12 ، 6 ‫ ؍‬2, 12 ، 4 ‫ ؍‬3, 12 ، 3 ‫ ؍‬4, 12 ، 2 ‫ ؍‬6, 12 ، 1 ‫ ؍‬12 12, 6, 4, 3, 2, 1 Es importante que los alumnos analicen el15 15 ، 15 ‫ ؍‬1, 15 ، 5 ‫ ؍‬3, 15 ، 3 ‫ ؍‬5, 15 ، 1 ‫ ؍‬15 15, 5, 3,1 ejemplo y determinen18 18 ، 18 ‫ ؍‬1, 18 ، 9 ‫ ؍‬2, 18 ، 6 ‫ ؍‬3, 18 ، 3 ‫ ؍‬6, 18 ، 2 ‫ ؍‬9, 18 ، 18 ‫ ؍‬1 18, 9, 6, 3, 2, 1 la relación que se presenta entre los30 30 ، 30 ‫ ؍‬1, 30 ، 15 ‫ ؍‬2, 30 ، 10 ‫ ؍‬3, 30 ، 6 ‫ ؍‬5, 30 ، 5 ‫ ؍‬6, 30 ، 3 ‫ ؍‬10, 30 ، 2 ‫ ؍‬15, 30 ، 1 ‫ ؍‬30 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1 cocientes y divisores, para que resuelvan la46 46 ، 46 ‫ ؍‬1, 46 ، 23 ‫ ؍‬2, 46 ، 2 ‫ ؍‬23, 46 ، 1 ‫ ؍‬46 46, 23, 2,1 actividad y obtengan una conclusión que60 60 ، 60 ‫ ؍‬1, 60 ، 30 ‫ ؍‬2, 60 ، 20 ‫ ؍‬3, 60 ، 15 ‫ ؍‬4, 60 ، 12 ‫ ؍‬5, 60 ، 10 ‫ ؍‬6, 60 ، 6 ‫ ؍‬10, 60, 30, 20, 15, 12, deberán corroborar en 60 ، 5 ‫ ؍‬12, 60 ، 4 ‫ ؍‬15, 60 ، 3 ‫ ؍‬20, 60 ، 2 ‫ ؍‬30 y 60 ، 1 ‫ ؍‬60 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1 conjunto con su guía.80 80 ، 80 ‫ ؍‬1, 80 ، 40 ‫ ؍‬2, 80 ، 20 ‫ ؍‬4, 80 ، 16 ‫ ؍‬5, 80 ، 10 ‫ ؍‬8, 80 ، 8 ‫ ؍‬10, 80 ، 5 ‫ ؍‬16, 80, 40, 20, 16, 10, 80 ، 2 ‫ ؍‬40, 80 ، 1 ‫ ؍‬80 8, 5, 4, 2, 1 75Bitácora pedagógica 75

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BLOQUE 2 BLOQUE 2 d partir de la se unda tirada, el u ador avanzará la distancia que se obten a con la calculadora más la que le salió en el tiro anterior. e) El procedimiento se repite hasta que alguno de los dos llegue a la meta. f) Cada jugador deberá llevar el registro escrito de sus operaciones en su cuaderno. g) Al ﬁnal de la actividad compartan sus opiniones con el grupo, mencionen las diﬁcultades a las que se enfrentaron y expliquen sus conclusiones.Desarrolla tus habilidadesSi una pelota de basquetbol pesa 1 kilo, más la mitad de su propio peso, ¿cuántopesa? 20. Cómo enriquecer la actividadBitácora pedagógica Promueva entre los alumnos, nuevos 85 retos, para que con las erramientas que an adquirido durante este contenido, puedan resolverlas sin ninguna diﬁcultad. 85

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar Eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraico provec e la secci n Tema Problemas multiplicativos C D D ,para que cuando Resolución de problemas que impliquen la multiplicación ylos alumnos la Contenido 4 división con números fraccionarios en distintos contextos,lleven a cabo, usteddiagnostique el nivel utilizando los algoritmos usualesde conocimientosque tiene el grupo ACUÉRDATE DE...en relación con lamultiplicación y la Sugieran problemas en los que requieran una multiplicación o división de fraccio-división con fracciones. nes, como los siguientes: “Se tiene una caja con 24 frascos de mayonesa. Si cada 3 frasco pesa 4 kg, ¿cuál es el peso del contenido de la caja?”. Fracciones homogéneas. Las que tienen el mismo Recuerden que la multiplicación de fracciones homogéneas y heterogéneas se denominador. efectúa de manera similar: (numerador x numerador) y (denominador x denomi- Fracciones heterogéneas. Las que tienen distintos nador). Comenten cómo efectúan la división de fracciones. denominadores. Ϭ2 y Ϭ3 2 ؋ 3 ‫؍‬ 2x3 ‫؍‬ 6 ‫؍‬ 3 ‫؍‬ 1 Fracción irreducible 3 4 3x4 12 6 2 simpliﬁcación PRACTÍCALO Actividad 4.1 1. Con seguridad, en geometría aprendiste a calcular el área de un rectángulo, por ejemplo uno de 8 unidades de base por de altura, esto se puede representar utilizando un modelo eométrico. bserva 5u 40u2 8u (unidades) En este caso, las unidades son números naturales (enteros positivos) y como verás, tanto el 8 como el 5 representan unidades lineales (segmentos que miden una unidad), pero el resultado representa unidades cuadradas, es decir, unidades de super cie cuadritos . Pues bien, vamos a ora a ver que es posible utilizar estos modelos para entender mejor la multiplicación de números fraccionarios. Observa: 86 Bitácora pedagógica86

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BLOQUE 2 BLOQUE 2Vamos a crear un modelo geométrico para la multiplicacón 4 ϫ 1 = 145, como ambas fracciones son propias 5 3basta un entero para representarlas, en la primera, el entero se divide en cinco partes de las cuales se toman cua-tro y en la segunda, el entero se divide en tres partes y solo se toma una. Describe en los recuadros el procedi- Cómo enriquecer la actividadmiento que se llevó a cabo en cada una de las imágenes.Se dividieron los ejes x e y según los e localizaron los puntos que indica Se encontró el punto de intersección Propicie entre losdenominadores. cada numerador. de ambos puntos.11 1 11 1 11 1 alumnos el análisis y la2__2 2_ 2_2_ 2_ _2_2 2_ libre expresión, para33 3 33 3 33 31_1_ _1 _11_ _1 1__1 1_ que por sí mismos sean33 3 33 3 33 3 capaces de determinar los pasos que se dieron para justiﬁcar las unidades cuadráticas00 0 1__1 1_ 2__2 2_ 3_3_ 3_ 4_4_ _4 11 1 00 0 _1_1 1_ _22_ _2 3_3_ _3 _4_4 4_ 11 1 00 0 1_1_ 1_ 2__2 _2 3__3 _3 _44_ _4 11 1 a partir de unidades 55 5 55 5 55 5 55 5 55 5 55 5 55 5 55 5 55 5 55 5 55 5 55 5 lineales, las cuales se 4 1Se sombreó la superﬁcie que se forma Se comparó con la superﬁcie total, dan por 5 ؋ 3 .con los ejes. Son 4 unidades de superﬁcie. esto es 4 . Refuerce este 15 conocimiento con111 111 1 11 nuevas situaciones, e1 11 2 22 2 22 involucre a los alumnos3 33 3 33 3 33 para resolverlas.1 11 1 11 113 33 Recursos 333 44 1 11 y materiales000 111 222 333 444 111 000 111 222 333 444 111 333 44 En la página de Descartes encontrará 000 111 222 333 444 111 ejercicios relativos a este tema.En parejas analicen y resuelvan las siguientes situaciones. ttp recursostic.a) Don Pepe tiene un terreno, al frente quiere construir una tienda de abarrotes. Al decidir la cantidad de terre- educacion.es no para la tienda el arquitecto le dijo: Yo le recomiendo que sea la cuarta parte de la mitad de su terreno. descartes eb materiales didacticos 1 0 racciones 0 prod r ac. tml • ¿Qué fracción representa el terreno que ocupará la tienda con respecto a todo el terreno de don Pepe? 8 • Expliquen su planteamiento. Obteniendo la mitad de la mitad del terreno. • Si don Pepe quiere una tienda grande y propone que sean dos cuartas partes de la mitad de su terreno, ¿qué fracción representará? 1 4 • ¿La estrategia para resolver la situación sería la misma que cuando se proponía la cuarta parte de la mitad del terreno? Si. • usti quen su respuesta. Primero el terreno se divide a la mitad, luego la mitad en cuatro partes, cada una representa 1 , como don Pepe quiere que sean dos cuartas partes de la mitad de su terreno entonces 2 ‫؍‬ 1 . 8 8 4 87Bitácora pedagógica 87

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 b a mamá de art a compr una pieza de queso C eddar. a parti en tres partes, ella se llev una el res- to se lo re al a art a. enia, la me or ami a de art a, le pidi que le vendiera tres cuartas partes del que-Qué observar so que tenía. n representa la cantidad de queso que quiere enia? 1 de queso. • ¿Qué racci 2A partir de situacionescomo estas, observe • Expliquen la estrategia qué sugieren para poder resolver esta situación. Se multiplica la cantidad quelos planteamientos tiene art a por la cantidad que tiene enia.que realizan losalumnos. Veriﬁque • i enia se come el queso en cinco días en pedazos del mismo tamaño, ¿qué porci n de queso comería que puedan expresar 1 de queso, porque es la quinta parte de un medio.los planteamientos así cada día? usti quen su respuesta. 10como los argumentospara resolver estas Comenten con el resto del rupo los procedimientos que utilizaron por cada problema, las di cultades que cuestiones. enfrentaron y cómo las solucionaron, registren en su cuaderno las conclusiones que obtuvieron y junto con su pro esor escriban una conclusi n que indique la importancia de realizar correctamente un planteamiento la Cómo enriquecer relación que tiene con el desarrollo de operaciones.la actividad PRACTÍCALO Actividad 4.2Realice actividadescomo las que se El mapa del tesoroplantean en estaactividad para que los Un malvado pirata ha enterrado uno de los tesoros más grandes de la humanidad y su misión es encontrar-alumnos, de manera lo, para ello deberán seguir las instrucciones.lúdica, apliquen lo que Observen el mapa y descubran la ruta del pirata, deberán resolver las multiplicaciones de fracciones a partir an aprendiendo asta de la que indica la salida, recuerden siempre expresar el resultado en su forma irreducible ya que la pista queeste momento. sigue “inicia con el resultado de la anterior”. Conforme avancen, unan con una línea la ruta recorrida, al ﬁnal unan las letras y encontrarán el tesoro del pirata. Diviértanse. SALIDA (A) 3 2 = (S) 3 2= 4 5 14 (M) 3 5 = 10 2 4 1 (A) 5 2 = (I) 3 2 = 4 7 2 15Curiosidades, (D) 5 6 =acertijos y más (T) 3 4 = 7 5Cuando se multiplican números enteros porejemplo 2 ؋ 5 ‫ ؍‬10, se 88obtiene una cantidadma or, 10 que 2 , y cuando multiplicas dosfracciones propias por Bitácora pedagógicaseejeombptileon51e u؋na21c‫؍‬ant11i0da,d 1 1menor 10 < que 5 y 1que 2 .88

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BLOQUE 2 BLOQUE 2 • espondan ¿Cuál es el nombre del tesoro? Amistad , en la última multiplicación el resultado es un entero , en todas las demás multiplicaciones la fracción del resultado siempre es impropia , ya que el nume- rador es más menor que el denominador. Comparen su trabajo con algunos de sus compañeros, comenten las diﬁcultades que se les presentaron, observen las diferencias y registren sus observaciones en sus cuadernos.Para leer másConsejos para resolver un problema:1. Lee y entiende el problema, explícalo con tus palabras.2. Encuentra todos los datos.3. Encuentra todas las preguntas. . ealiza un planteamiento qué operaciones arás por qué .5. Resuelve operaciones y comprueba el resultado.PRACTÍCALO Actividad 4.3Lean, analicen y resuelvan las siguientes situaciones.a) Sofía tiene un frasco con 120 botones de diferentes colores, la mitad son negros. De los botones restantes, Cómo enriquecer una tercera parte son ca és otra verdes. na se ta parte son amarillos la otra azules. la actividad• ¿Cuántos botones de color negro hay en el frasco de Sofía? 60 botones Esta es una oportunidad para desarrollar la• ¿Qué operaci n realizarían para encontrar la racci n que representa a los botones de color ca é? competencia de 1 Planteamiento yMultiplicando 120 por 2 . resolución de problemas. Propicie la participación• pliquen el procedimiento que utilizaron para e presar la racci n de los botones de color ca é. de todos los alumnos, para que aprendan Los botones restantes son 60 de aquí una tercera parte son de color café. a comunicar sus procedimientos, 1 argumentar y mejorar sus técnicas de cálculo.• ¿Qué fracción representa a los botones cafés? 6 Provoque un debate• ¿Cuántos botones de color café hay? 20 acerca de lo importante que resulta el divisor,• ¿Cuántos botones de color verde hay? 20 y busque que el grupo llegue a una conclusión• Expliquen la forma de cómo obtuvieron su resultado. general. 1• ¿Qué fracción representa a los botones de color amarillo? 12• ¿ s la misma racci n para los botones de color azul? usti quen su respuesta. Si, porque 1 se divide entre 2. 6 89Bitácora pedagógica 89

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar b) Daniel vendió por la mañana 2 del total de periódicos que tenía. Por la tarde vendió la mitad de los que quedaban. 3 1La intención de estosproblemas es que a • ¿Qué fracción del total de periódicos representan los que Daniel vendió por la tarde? 6los alumnos les quede 1claro el por qué de sus • pliquen la estrate ia que utilizaron para calcular este resultado. Dividiendo 3 entre 2.respuestas. Para esodeben veriﬁcar que sus • i Daniel se qued con 20 peri dicos, ¿cuántos tenía al empezar la venta? 120 periódicos.justiﬁcaciones resultenclaras y, sobre todo, • ¿Cuántos peri dicos vendi Daniel por la mañana? usti quen su respuesta. lógicas durante sus 80, porque 1 equivale a 40 periódicos.exposiciones. 1 3 6Recursosy materiales • ¿Cuántos peri dicos vendi en la tarde? usti quen su respuesta. 20, porque es la mitad de 1Para que sus alumnos • ¿Cuál es la fracción de periódicos que vendió Daniel en la tarde? 6comprendan mejorlo comentado en la • ¿Cuál ue la operaci n que realizaron para lle ar al resultado? Una división.sección “Qué observar”solicite que rtevisen en • Expliquen. Se multiplica 1 por 1 , dando como resultado 1 .artículo: “Operaciones 3 2 6con fracciones,multiplicación y c) En una pequeña ﬁnca se cultivan tres variedades de café. A mayor altura de la plantación, mayor calidad endivisión”, en la página 2 1 la cosecha. Este año se cosecharon 885 kg. De menor altura 5 de la producción y de mayor altura 3 de la ttp . producción.sapiensman.commatematicas • ¿Cuántos kg de café de menor calidad se cosecharon? matematicas8. tm • ¿Qué operaci n realizaron para obtener el resultado? Una división y una multiplicación. • usti quen su respuesta. Primero se divide 885 entre 5 y después se multiplica por 2. • ¿Cuántos kg de café de mejor calidad se cosecharon? 2 • Expliquen cómo plantearon la operación para obtener el resultado Primero se divide 885 entre 3, dando como resultado 295. d onzalo vive en orelia decidi visitar a su ermano que radica en érida. l primer día recorri 2 del ¿dcisutáanntcoias;keillosmegeutrnodroecdoírariróeceol rprreim52er total de la de lo que falta. Si la distancia entre Morelia y Mérida es de 1,225 km, día? 0 m • Expliquen la manera de cómo obtuvieron su resultado. Dividiendo 1 22 entre multiplicándolo por 2. • ¿Cuántos kilómetros recorrió el segundo día? 0 m 0 m del primer día más 0 • noten la operaci n que utilizaron para encontrar los il metros recorridos. del se undo día nos da 00 m. • ¿Cuántos kilómetros le falta recorrer para llegar a su destino? 2 m • Expliquen la estrategia que usaron para saber los kilómetros faltantes. estando los 00 m recorridos a la distancia que a entre orelia érida. Comparen sus respuestas y procedimientos con el resto del grupo y veriﬁquen si sus resultados son los correctos. nalicen unto con su pro esor si los procedimientos que utilizaron ueron los más adecuados para obtener estos resultados. 90 Bitácora pedagógica90

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BLOQUE 2 PRACTÍCALO BLOQUE 2 Actividad 4.41. Has observado que al tener los denominadores iguales en la adición y en la sustracción de fracciones las ope- Qué observar raciones se simpliﬁcan. En la multiplicación no es necesario buscar que los denominadores sean iguales, pues esto no afecta el resultado. Practica resolviendo estos ejercicios. Completa la tabla de acuerdo con los Veriﬁque que los encabezados. alumnos realicen las conversiones con Operaciones Conversión Solución Solución ﬂuidez y seguridad, simpliﬁcada y que sean capaces de realizar el proceso 10 ؉ 1 ‫؍‬ 30 ؉ 8 ‫؍‬ 38 19 ‫؍‬ 1 12 completo asta lle ar a 8 3 24 24 24 12 la fracción irreducible. 4 ؉ 2 ؉ 1 ‫؍‬ 24 ؉ 20 ؉ 15 59 1 29 Reﬂexión 5 3 2 30 30 30 30 30 Hay varios tipos 8 ؊ 2 ‫؍‬ 24 ؊ 18 6 2 de familia, pero lo 9 3 2 2 2 9 importante es sentir que formamos parte 14 ؊ 8 ‫؍‬ 28 ؊ 21 24 24 de un núcleo social que 12 24 24 nos quiere, nos 6 1 apoya y nos protege. 3 x 2 ‫؍‬ No necesario 24 4 4 6 i tenemos padres uno 3 1 o ambos , o no los 1 x 3 x 1 ‫؍‬ No necesario 24 8 tenemos, si tenemos 3 4 2 ermanos, o no los a) En las dos últimas operaciones, ¿varió el resultado al convertir los factores a un común denominador? tenemos, si tenemos Explica tu respuesta. tíos o abuelos o una institución que nos No, porque siguen siendo fracciones equivalentes. cuida, esa es nuestra familia. La familiaPara tener en cuenta puede extenderse más allá de nuestrosDivisión 2 5 6 parientes directos 5 3 25 para abarcar a todasl unas personas realizan la divisi n de racciones multiplicando en orma cruzada ، ‫؍‬ las personas que amamos, respetamos yOtras personas preﬁeren multiplicar el primer factor por el recíproco del segundo, observa ayudamos, en quienes2 5 6 2 5 6 conﬁamos y que a su5 ، 3 ‫؍‬ 25, esto es igual a multiplicar 5 ؋ 3 ‫؍‬ 25 vez pueden contar con nosotros.Donde 2 es el recíproco de 5 ya que al multiplicarlos el resultado es 3 ؋ 5 ‫؍‬ 15 ‫؍‬ 1 5 3 5 3 15 91Bitácora pedagógica 91

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 4.5Qué observar PRACTÍCALOEsta actividad consta 1. esuelvan las divisiones aplicando los productos cruzados simpli quen los resultados.de dos partes: la Ejemplo:búsqueda de fracciones 6 ، 3 ‫؍‬ 2 ‫؍‬ 36 ‫؍‬ 18 ‫؍‬ 6 ‫؍‬ 2 ‫؍‬2 omo éneas unto 12 12 36 18 9 3 1con la práctica dela división; en la a) 15 ÷ 5 = 1 1 b) 6 ÷ 2 = 1 1 c) 45 ÷ 15 = 1segunda se ejercita 18 8 3 20 10 2 90 30la transformación afracciones mixtas. d) 3 ÷ 2 = 1 1 e) 5 ÷ 3 = 1 18 f) 9 ÷ 3 = 1 1 4 3 8 6 5 10 5 2 • ¿Consideran que todas las operaciones tienen el mismo nivel de diﬁcultad? Respuesta abierta, ¿qué incisos les costó más trabajo resolver? Respuesta abierta, ¿en qué incisos tuvieron que realizar opera- ciones adicionales para resolverlos? Respuesta abierta. Después de esta práctica, ¿consideran que ya serían capaces de resolver mentalmente algunas divisiones? Respuesta abierta, ¿qué incisos podrían contestar mentalmente? Respuesta abierta 2. Don Francisco tiene un terreno y lo dividió en 16 parcelas y quiere sembrar 3 del total del terreno. 4 3 12 parcelas.Cómo enriquecer • ¿Cuántas parcelas ocuparán las 4 partes del terreno?la actividad • ¿Qué operaciones realizaron para encontrar el resultado? Una multiplicación.Para que los alumnostengan más conﬁanza • usti quen su estrate ia. Al multiplicar 16 por 3 que es el terreno que quiere sembraral realizar calculos, 4como los de la secciónanterior, pídales que Nos da como resultado 12 parcelas.propongan situacionesvivenciales que tengan • ealicen un esquema que represente la divisi n de c mo quedaría la zona a sembrar por don rancisco.que resolver mediante Respuesta abiertaestas erramientas, así enriquecerán su • Compartan sus respuestas con otros equipos, comparen sus procedimientos y respuestas, veriﬁ-aprendizaje. quen si coinciden con las suyas. Por último, con ayuda del profesor, obtengan una conclusión acer- ca de esta actividad y regístrenla. Respuesta abierta 92 Bitácora pedagógica92

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BLOQUE 2 BLOQUE 2 LO QUE APRENDÍee, analiza resuelve cada una de las situaciones.a) Una serie de billetes de lotería ganó el premio mayor; del total del premio 2 le corresponden a don Damián, pero él le prometió a su esposa que si ganaba la 1 lo 5 lotería 3 guardaría de inmediato en el banco. 2 • ¿Qué racci n representa la cantidad que debe uardar en el banco? 15 Qué observar 2 1 2 • ¿Qué operaciones realizaste? 5 ؋ 3 ‫؍‬ 15 La ﬁnalidad de esta sección es que los • ¿Por qué? Para saber cuál es la tercera parte de dos quintos se debe hacer una multiplicación de alumnos puedan resolverla a partir de fracciones, no una división. los conocimientos que adquirieron sobre • ¿Qué racci n representa si don Damián en vez de 1 deposita en el banco una cuarta parte? 1 las operaciones con 3 10 fracciones. Veriﬁque que los planteamientos • ¿ l planteamiento sería el mismo que para la primera situaci n? y resultados sean correctos. • usti ca tu respuesta. La cuarta parte de dos quintos es dos veinteavos, simpliﬁcando es igual a un décimo.b) U• n¿rQecuiép ierancteciconn dtiee nlae caagpuaacihdaasdt ato54tald deeslu reccaippaiecnidtea datlotat apl.aSrai slelenleaqrlou?ita35la mitad del agua que contiene. • nota las operaciones que realizaste para lle ar al resultado. 4 2 2 2 5 2 3 Primero 5 ؊ 5 ‫؍‬ 5 Posteriormente 1 ؊ 5 ‫؍‬, esto es 5 ؊ 5 ‫؍‬ 5 • i en vez de quitar la mitad se quitara la tercera parte, ¿Qué racci n le altaría para llenarlo? 15 • ¿ l planteamiento es el mismo que el anterior? No • usti ca tu respuesta. Porque ahora hay que quitar una fracción y considerar lo que quedó en el recipiente para encontrar el resultado. 8 • ¿Qué racci n representa el a ua que queda en el recipiente? 15 4 1 4 • plica c mo obtuviste el resultado. Se multiplica 5 ؋ 3 ‫؍‬ 15 que fué lo que se quitó, ahora solo restan 8 , al entero se le resta lo que sobró 1 ؊ 8 ‫؍‬, esto es 15 ؊ 8 ‫؍‬ 15 15 15 15 15Compara tus resultados con el resto del grupo y veriﬁca junto con tu profesor si tus planteamientos son losadecuados. Desarrolla tus habilidades USA LAS TIC Cómo enriquecer la actividad naliza resuelve el si uiente problema. En esta página encontrarás una aplicación muy interesan- A través de actividadesUn pastor tiene tres hijos y su ganado consta de 11 ovejas. Próximo a morir, le dio te para practicar la multipli- como la que se sugiereal mayor la mitad de las ovejas, al mediano la cuarta parte del rebaño y al menor la cación de fracciones, visítala en esta sección, sesexta parte. Al no poder repartir con exactitud la herencia, un vecino les prestó una http://www.aplicaciones. pretende que losoveja, de manera que el mayor se llevó 6, el mediano 3 y el pequeño 2; sobrando info/decimales/fra05.htm alumnos sean capacesla oveja del vecino, quien la recuperó. ¿Está bien repartida la herencia? Argumenta de resolverla sintu respuesta. diﬁcultad.Respuesta abierta Proponga nuevas situaciones para que, 93 de manera colectiva, encuentren lasBitácora pedagógica respuestas. Aliente la exposición para la obtención de conclusiones. 93

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje temático Forma espacio y medida Tema Figuras y cuerpos Resolución de problemas geométricos que impliquen Contenido 5 el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo ACUÉRDATE DE... 1. Ya conoces los conceptos bisectriz y mediatriz en un triángulo, por eso vas a aplicarlos resolviendo las activi- dades que se indican.Qué observar a) Escribe con tus palabras las deﬁniciones de los conceptos. ediatriz Línea que divide a otra exactamente a la mitad formando un ángulo recto.Veriﬁque que los isectriz Línea que divide a un ángulo exactamente a la mitad.alumnos utilicen su b ealiza con tu ue o de eometría los trazos que se indican.equipo de geometríade manera adecuada, Traza la bisectriz del ѯb Traza la mediatriz del abrecomiéndeles que cse encuentre limpio yobserve que la forma aben la que apoyanlas escuadras, el batransportador o elcompás sea correcta. c raza en cada polí ono re ular una bisectriz una mediatriz se n se indica.Cómo enriquecer En el pentágono traza la bisectriz del ѯabc En el hexágono traza la bisectrizla actividad y la mediatriz del AB. del ѯabc y la mediatriz del AB.Complemente esta abactividad mencionandoa los alumnos algunas alíneas que se utilizan cen el dibujo técnico,como la línea de datos, bc dla línea oculta y la líneade resultados, con laintención de mejorar lacalidad de sus trazos. 94 Bitácora pedagógica94

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BLOQUE 2 BLOQUE 2Para tener en cuenta Qué observar os símbolos matemáticos son mu utilizados, por lo que es importante que De manera cotidiana, aprendas a leerlos. los alumnos trabajanEl símbolo ѯ signiﬁca “ángulo” y el símbolo AB se lee como “segmento AB” con símbolos matemáticos, observePRACTÍCALO Actividad 5.1 que los lean de manera adecuada y trate de1. na debe resolver al unos problemas de su tarea. no de ellos dice raza tres puntos que no estén alinea- que los expresen dos traza una circun erencia que pase por estos tres puntos . Para resolverlo le pidi a uda a su ermano, utilizando el lenguaje quien le dio estas instrucciones por teléfono. común en una frase bien elaborada. a) Marca los tres puntos, fíjate bien que no estén alineados ni tampoco muy juntos. b) Ahora ponle una letra a cada uno a, b, c. Cómo enriquecer c) Une con una línea los puntos a con b y con otra une b con c. la actividad d ora, con tu ue o de eometría, traza las mediatrices de las dos líneas en el punto donde se corten Existen programas estará el centro de la circunferencia. para computadora e) Por último, coloca tu compás en el punto de intersección, ábrelo hasta que toque cualquiera de tus tres como Geogebra, donde puede realizarse puntos traza tu circun erencia. una actividad similar a esta. Su ventaja es f ealiza los pasos que le indic el ermano a na resuelve con ella este problema. que pueden moverse los puntos, lo que B permitirá que los alumnos analicen C rápidamente distintas A situaciones en condiciones similares.• ¿Por qué siempre es posible realizar este procedimiento aunque los puntos se encuentren en distintas posiciones? Porque cualquier cuerda forma un triángulo isósceles con respecto al centro.• ¿De qué depende que el punto de intersección sea de verdad el centro de la circunferencia? Principalmente de hacer el procedimiento correcto y de manejar con precisión el equipo de geometría. 95Bitácora pedagógica 95

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 2. Dos águilas, representadas por los puntos A y B, están de cacería, cada una está en un árbol y un conejo tiene suQué observar madri uera unto a una cerca, a la ora en que el cone o sale, las dos á uilas se lanzan al mismo tiempo para cap-Permita que los turarlo suponiendo que ambas recorren la misma distancia, en el mismo tiempo lle an al mismo punto, trazaalumnos propongan el recorrido que realizaron localiza el lu ar donde se encuentra la madri uera del cone o, represéntalo como elel método de solución punto C.que consideren másadecuado, motive que Brelacionen la actividad Acon los procedimientosque ya conocen y Cencuentren la relación • ¿Qué instrumentos eométricos utilizaste para resolver este problema? Regla y compás.que tiene con el • plica el procedimiento que utilizaste para encontrar la madri uera del cone o. triángulo isósceles. e traza una línea entre las dos á uilas, se obtiene la mediatriz se ubica el punto que toca la cerca.Cómo enriquecer • ¿Qué nombre recibe la línea que trazaste para ubicar la madri uera del cone o? ediatrizla actividad Compara con el resto de tus compañeros la ubicación y procedimiento que seguiste para encontrar la madri- guera del conejo, comenten junto con su profesor si sus respuestas son correctas.Puede utilizar al menos . as carreteras Pueblo ie o Pueblo uevo cruzan por el Camino del indio, sobre él se quiere colocar una dos métodos para planta de luz que se encuentre a la misma distancia de ambas carreteras. ncuentra el punto donde deben encontrar la bisectriz: construirla traza la ruta en línea recta al punto donde se unen las carreteras.utilizando el compáso midiendo el ángulo • ¿Qué instrumentos eométricos utilizaste para resolver el problema? Regla y compás.con el transportador. • plica el procedimiento que empleaste para encontrar el punto donde se debe colocar la planta de luz.Pida a los alumnosque comprueben en e traza un arco en el vértice de las dos carreteras, se encuentra la bisectriz del án ulo que se orma entre este último ejercicio, si ellas se localiza el punto donde corta al camino del indio.los ángulos obtenidosson iguales. Al ﬁnal • ¿Qué nombre recibe la línea que ubica a este punto? isectrizsolicite que justiﬁquen Compara la ubicaci n donde se encontrará la planta de luz con el resto del rupo. Con la asesoría de tu pro e-y argumenten sus sor veriﬁca que las posiciones de los puntos en ambos problemas son correctas.resultado. 96 Bitácora pedagógica96

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BLOQUE 2PRACTÍCALO BLOQUE 2 Actividad 5.21. Aprendamos un poco de dibujo técnico. unto con un compañero resuelvan esta actividad. a) ¿Cómo se puede construir una perpendicular a una recta si solo se tiene indicado un punto sobre esta? Antes de continuar intenten resolverlo con sus ideas. a2. Observen el procedimiento y anoten en cada cuadro la acción que muestra la imagen. Se abre el compás a “cierta distancia” que Dibujo técnico. Sistema para Qué observar permita trazar una semicircun erencia. representar objetos de manera gráﬁca, con el ﬁn de obtener El objetivo de esta po ándose en el punto a se traza un arco que suﬁciente información para actividad es que los corte en dos puntos a la recta. analizarlos. alumnos interpreten cada imagen y Apoyándose en uno de los extremos se abre el elaboren una compás a mas de la mitad del diámetro de la descripción para que semicircunferencia. construyan la secuencia del procedimiento. Motive al grupo con preguntas para que reﬂexionen y comparen propuestas e ideas. e traza un arco de circun erencia procurando que pase aproximadamente por el punto “a”. El procedimiento anterior se repite ahora en el extremo contrario. Por último se unen los puntos de intersección 97 entre ambos arcos y se obtiene una recta perpendicular a la recta dada que pasa por el punto “a”.Bitácora pedagógica 97

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MATEMÁTICAS 1Qué observar MATEMÁTICAS 1 a e e ionen e pliquen. ¿Qué relaci n tuvo el trazo de la mediatriz con este e ercicio?Motive a los alumnospara que en cada Que para poder trazar una perpendicular por un punto dado es necesario ubicarlo como punto medio situación ubiquen de un segmento, para eso se usa el arco de la circunferencia.el punto por donde b) Tracen una línea perpendicular a los siguientes segmentos que pase por el punto indicado.tiene que pasar laperpendicular como Ael punto medio delsegmento que se toma A aB acomo base; asimismo,veriﬁque que utilicen el Bequipo de geometríacorrectamente y los ¿Qué arían si el se mento no alcanza? Reto: ¿Qué harían si el punto está fuera deltrazos los a an de segmento?manera adecuada. A B aCómo enriquecer a Ala actividad BEl uso de la mediatrizy la bisectriz puede c) Sigan las instrucciones que se indican y respondan las preguntas de cada inciso.complementarsesolicitándoles a C D’los alumnos que Apropongan ejerciciossimilares para que DBadquieran una mayor . Constru an la bisectriz del ѯ DC tracen la mediatriz del DD . ¿ n qué punto se cortan las rectas? abilidad destreza En el punto A, que es el centro de la circunferencia.en el manejo del juegogeométrico. 98Recursos Bitácora pedagógicay materialesEn la página deGeometría Activa, en susartículos de Elementosde geometría plana:Mediatriz de unsegmento y Bisectriz deun ángulo, encontraráanimaciones sobredistintas formas detrazar la mediatriz yla bisectriz. ttp mimosa.cnice.mecd.es clobo eo eb recta . tm ttp mimosa.cnice.mecd.es clobo eo eb recta . tm 98

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BLOQUE 2 BLOQUE 2. nan con una línea de color ro o los puntos C. ¿ a bisectriz del án ulo es al mismo tiempo mediatriz del BC? Expliquen por qué. Si, porque la medida de los lados es igual, es decir, se está formando un triángulo isósceles.. nan con una línea azul los puntos con D con D . ¿ erá bisectriz del ѯ D D la mediatriz del DD ? usti - quen su respuesta. Si, ocurre lo mismo que con el triángulo de la respuesta anterior, la medida de los lados es igual, es decir, se está formando un triángulo isósceles, la única diferencia es que este es obtusángulo. Para leer más Cómo enriquecer la actividad n conse o. e uramente realizarás muc os trazos en el an ram, por eso trata de marcar únicamente las líneas que muestren resultados, si las estás usando En esta actividad es como au iliares, trázalas con suavidad por si necesitas borrarlas. probable que los alumnos realicen LO QUE APRENDÍ muc os trazos sobre la imagen del tangram.1. n la i ura se muestra un an ram. raza sobre ella las instrucciones que se indican responde las Oriente al grupo preguntas. para que los trazos FA auxiliares se realicen con lápiz en forma G de línea de datos, para que puedan ser O B borrados con facilidad I C y pídales que las líneas de respuesta las H marquen como líneas de resultados.ED 99Bitácora pedagógica 99

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar a raza la bisectriz del ѯOGH y del ѯBHG. ¿Qué tipo de líneas obtuviste? Paralelas b raza la bisectriz de ѯ D la mediatriz del ED. ¿Qué observas? Que también son paralelasDestaque el uso c raza la bisectriz del ѯABH, ¿cuál es el nombre del ángulo que estás dividiendo? Ángulo obtusocorrecto del lenguajematemático y la d raza la mediatriz del DH. ¿Cómo es este segmento con respecto al FO? Paralelarelación que presentaesta actividad con e) Responde, ¿el AC es bisectriz del ѯFAB? Si ¿Cuánto mide cada ángulo que for-los ángulos entre dos m la bisectriz? , porque el se mento es bisectriz del ѯFAB.líneas, así como conla clasiﬁcación de los Desarrolla tus habilidadesángulos. Coloca dentro del paréntesis la letra que corresponde a la deﬁnición correcta y escribe sobre la línea tu jus-Qué observar tiﬁcación de la respuesta que creiste conveniente. Escribe dentro de cada recuadro de la derecha el símbolo que corresponde a cada ﬁgura.Compruebe que los alumnos comprenden ( A ) Recta (B) Es una línea delimitadael signiﬁcado de cadaconcepto, y que A B Respuesta abierta en uno de sus extremossean capaces deidentiﬁcar cada línea (C) Es una línea delimitadacon su respectivonombre y deﬁnición ( B ) Semirecta en ambos sentidosteórica. A B Respuesta abierta (D) Es la abertura que seCómo enriquecerla actividad forma entre dos rectasPuede aprovec ar A B Respuesta abierta ( C ) Segmento (A) Es una línea que se pro-esta actividadpara desarrollar la B longa indeﬁnidamente enimaginación espacial, ambos sentidossobre todo a la ora de identiﬁcar ﬁguras. Respuesta abierta ( D ) Ángulo SímbolosApóyese en unesquema o dibujo para CA ѯACB ABcontar el número detriángulos, así como los AB ABdistintos tipos que sepuedan encontrar. raza la mediatriz del AB, traza la bisectriz del ѯBAC, al punto donde se intersectan, nómbralo con la letra , une este punto con el punto , traza la bisectriz del ѯABF, nombra al punto de intersección con la letra H, une este punto con el punto , traza la bisectriz del ѯBAG, nombra este punto con la letra I, únelo con el punto , traza la bisectriz del ѯ , nombra este punto con la letra , nelo con el punto . G C D Responde: I • ¿Cuántos cuadrados se orman? Uno , ¿cuántos rombos? Uno , ¿cuántos triángulos? Doce . A B • Compara tus trazos respuestas con el resto del rupo, aciendo énfasis en el número de triángulos que observaste. ¿Todos obtuvie- ron la misma cantidad? ¿Por qué crees que ocurrió esto? Respuesta abierta E F H 100 Bitácora pedagógica100

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BLOQUE 2 BLOQUE 2Eje temático Forma, espacio y medidaTema Medida Justiﬁcación de las fórmulas de perímetro y área deContenido 6 polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de ﬁguras ACUÉRDATE DE...Crear un formulario. Formen equipos para construir un geoplano. Cada equipo proponga una ﬁgura para que Qué observarotro calcule el área y el perímetro contando las unidades y considerando las ﬁguras equivalentes. El formularioserá utilizado para veri car las respuestas. Con las rmulas de área y de perímetro, PRACTÍCALO Actividad 6.1 y con el apoyo del geoplano, los alumnosa) Observa los cuadrados y responde. elaborarán sus propias • Con tus propias palabras ¿qué es un cuadrado? Respuesta abierta Formulario. Escrito que erramientas para • ¿Cómo se calcula el perímetro de un cuadrado? Lado (medida) por 4. contiene las fórmulas que se desarrollar este tema. • ¿Cuál es la fórmula que lo representa? P ‫ ؍‬4l deben utilizar para desarrollar Explique el objetivo de y resolver un procedimiento. la actividad y procure • Conociendo la medida de su base o altura, ¿es posible calcular el Geoplano. Tablero de forma tener a la mano cuadrada y cuadriculado su formulario y el área? Si Explica por qué Ambas dimensiones miden lo mismo. marcado por puntos en sus vértices, comúnmente se hace eoplano a la ora Por lo tanto, la fórmula para calcular el área de un cuadrado es A ‫ ؍‬l 2 con madera y clavos para de realizar la actividad. colocar bandas elásticas para • ¿Por qué la unidad de medición del área es u2? Porque se miden formar ﬁguras. Qué observar unidades de superﬁcie. USA LAS TIC al vez los alumnos a • ¿Cómo son los ángulos internos de un cuadrado? Rectos están familiarizadosb) Observa los rectángulos y responde. En la página con los conceptos de http:almasmath.blogspot. perímetro y área, por com 2010 12 mediatriz lo que puede acer énfasis en el tipo bisectriz. tml podrás de unidades, en su encontrar actividades representación y en interactivas para practicar expresar sus resultados el trazo de la bisectriz como unidades la mediatriz. lineales u o unidades cuadradas u2 . 101Bitácora pedagógica 101

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 • ¿C mo son los lados opuestos de un rectán ulo? Paralelos , ¿Cómo son los ángulos internos? RectosCómo enriquecer • ¿Cuál será la orma más sencilla de calcular el perímetro de un rectán ulo? usti ca tu respuesta.la actividad Entonces su fórmula es: Sumando su base y su altura y multiplicándolo por 2, por tanto su fórmula es: P ‫ ؍‬2(b ؉ h).Es posible relacionar • ¿C mo calcularías el área de un rectán ulo?Respuesta abierta , ¿Cuál es la fórmula que estolas conclusiones deb c . otive a los representa? Multiplicando su base por la altura, por tanto su fórmula es: A ‫ ؍‬bh.alumnos para queobserven, comparen c) Observa con atención la secuencia de las siguientes ﬁguras.y concluyan acercade las similitudes y • Describe la secuencia de las uras anteriores. De un romboide, se cortó un triángulo para formar un rectángulo.diferencias entre lasfórmulas de perímetro • ¿C mo es la altura con respecto al lado ad acente de la base? Igual usti ca tu y área del rectángulo y respuesta. La altura es la misma en las cuatro ﬁguras. , por lodel romboide.Pídales que justiﬁquen • ¿C mo se calcula el perímetro de este tipo de uras? Igual, que un rectángulo.sus respuestas y tanto, su fórmula es P ‫ ؍‬2(b ؉ h).procedimientos. • para calcular el área, ¿qué orma es la más práctica? Por medio de la fórmula.Qué observar • ¿ a rmula que se utiliza para calcular el área de un romboide es la misma que para la del rectán ulo?Esta actividad pretende Sique el alumno rompalas barreras mentales d) Observa la secuencia de las ﬁguras y responde lo que se te pregunta.que le puedenllegar a diﬁcultar el 102razonamiento.Fomente la observación Bitácora pedagógicay pida que justiﬁquepor qué la fórmula delárea del rombo tienerelación con el áreadel triángulo, y superímetro con el delcuadrado.102

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BLOQUE 2 BLOQUE 2• ¿C mo es la super cie del rombo con respecto al trián ulo que se encuentra en el rectán ulo? Iguales Explica por qué. Porque tienen la misma cantidad de triángulos.• ¿Qué relaci n tienen las diagonales del rombo con la base y la altura del rectángulo? Misma medida.• ¿C mo es el perímetro del rombo con respecto al de un cuadrado? Igual . Entonces la fórmula para calcular su perímetro es: P ‫ ؍‬4l• ¿De qué manera se puede comprobar que el área de las uras de los incisos , , e i verdade- Cómo enriquecer ramente miden lo mismo? Contando sus unidades de superﬁcie. la actividad• plica ¿cuál es la orma de calcular el área de un rombo? La mitad del producto de sus diagonales. Puede utilizar el Dd programa Geogebra,• Por lo tanto la rmula para calcular el área de un rombo es A ‫؍‬ 2 para que los alumnos observen cómo PRACTÍCALO Actividad 6.2 va cambiando la superﬁcie de cadaraza una dia onal para los si uientes paralelogramos: triángulo en relación con la diferencia entre• n cada ura identi ca la línea que representa la base b la que repre- Diagonal. Línea que une dos la longitud de sus senta la altura (h). vértices no consecutivos de un lados. Si le es posible, polígono. incorpore este gran• ¿ s el mismo procedimiento que se utiliza para calcular el perímetro a par- recurso tecnológico. Paralelogramo. Cuadrilátero tir de la suma de los lados de cada ﬁgura? Si . Explica tu respuesta. que tiene sus lados paralelos. Pida a sus alumnos que Por que el perímetro de cualquier polígono se puede calcular sumando analicen con diversos cuadrados, rectángulos cada uno de sus lados. y romboides la relación entre el área del• ¿Consideras que con la dia onal trazada se obtienen partes i uales? Si Explica tu respuesta. triángulo y la de cada una de estas ﬁguras. Siempre se obtiene dos triángulos congruentes. Cuesti nelos acerca de la demostración del por• ¿Qué uras se orman en cada paralelo ramo? Triángulos qué se divide “entre dos” la fórmula para• ¿Qué relaci n tiene el área de la ura que se orm con el paralelo ramo? Que es la mitad. calcular el área de un triángulo.• Colorea en cada ura una parte de las dos que se obtuvieron al trazar la dia onal. ¿C mo se llama esta ﬁgura? Triángulo isósceles, dos triángulos escalenos.• plica cuál es el procedimiento para calcular el área de un trián ulo. Recursos y materiales Se multiplica la base por la altura y se divide entre dos.• ntonces, la rmula para el área es A ‫؍‬ bh 2• ¿Cuál es la orma más sencilla para calcular la suma de los lados de un trián ulo? ntonces la rmu- En la página la que representa su perímetro es: Lado más lado más lado, su fórmula es: P ‫ ؍‬a ؉ b ؉ c Biblioteca Nacional de Manipuladores 103 Virtuales, de laBitácora pedagógica niversidad statal de ta , se o rece un geoplano en línea. Adicionalmente incluye diferentes actividades, información y sugerencias para los profesores. Este permitirá enriquecer aún más su labor docente: ttp nlvm.usu. edu es nav rames asid 2 1 t . tml 103

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 6.3 PRACTÍCALO 1. unto con un compañero, observen la secuencia contesten las pre untas.Qué observarLa descomposición deun polígono regularen un romboide ec o con caras triangulares,justiﬁca muy bienla fórmula del área.Veriﬁque que losalumnos comprendenesta relación einterpretan conclaridad el signiﬁcadode esta fórmula demanera esquemática. ambién es posible que con observar elnúmero de triángulosse deduzca por qué sedebe dividir entre dos. • Expliquen la forma en que obtendrían el perímetro de la ﬁgura. Multiplicando el valor de uno de sus lados por cinco. • ¿Qué relación se presenta entre la altura y la apotema de la ﬁgura? Que es lo mismo. us- tiﬁquen su respuesta. La apotema y la altura están indicadas con triángulos congruentes. • ¿Se puede decir que la base del romboide y el perímetro del pentágono son iguales? Si • ¿Cuál sería la fórmula para calcular el perímetro de la ﬁgura? P ‫ ؍‬5l • De los triángulos que forman el romboide, ¿cuántos representan el área del pentágono? Cinco entonces, ¿qué parte representa del total de triángulos del romboide? La mitad , por lo tanto, la rmula que se utiliza para calcular el área de un polí ono re ular es A ‫؍‬ Pa 2 104 Bitácora pedagógica104

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BLOQUE 2 BLOQUE 2 Qué observar2. Cuando el pro esor nos di o que trazáramos un cuadrado para obtener su perímetro, varios de los cuadra- Por sencilla que dos resultaron de diferentes tamaños porque la medida del lado no coincidió. Algunas de ellas, las más ele- parezca esta actividad, gidas, fueron: 3 cm, 5 cm, 6 cm, 4 cm, 2 cm y 8 cm. Entonces nos propuso hacer esta tabla y responder las deles conﬁanza para preguntas. que vayan dando sus respuestas, recuerde Lado en cm 2 3456 8 lo importante quePerímetro en cm 8 12 16 20 24 32 resulta la participación de todo el grupo paraa) ¿Cómo se calcula el perímetro del cuadrado que tiene 2 cm de lado? justiﬁcar las fórmulas Multiplicando cuatro por dos. del perímetro y área. Estas expresionesb) ¿Y del que mide 5 cm de lado? Multiplicando cuatro por cinco. adquieren sentido parac) ¿Y del que mide 8 cm de lado? Multiplicando cuatro por ocho. los estudiantes, a lad) ¿Y si la medida del lado no está deﬁnida y la expresamos con n? Cuatro por “n”. vez que desarrollane) Escribir la fórmula para calcular el perímetro de un cuadrado cualquiera. P ‫ ؍‬4n las competencias de argumentación y3. Consideremos la tabla propuesta para determinar el área de cada cuadrado. comunicación.Lado en u 2 3 4 5 6 8Área en u2 4 9 16 25 36 64Pueden apoyarse dibujando cada cuadrado en la cuadrícula y comparando. Consideren que cada es1u y cada es 1u2. a) ¿De qué manera pueden simpliﬁcar el conteo? Elevando al cuadrado la longitud de uno de sus lados. b) Si cada lado lo representamos por l, ¿cuál es la fórmula para calcular el área de cualquier cuadrado? A ‫ ؍‬l2Comparen sus resultados con los demás compañeros y veriﬁquen con la ayuda de su profesor, que estossean correctos. 105 Bitácora pedagógica 105

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar 4. Ahora, determinen el perímetro de cada uno de los siguientes rectángulos; luego completen los planteamien- tos que se proponen.Pregunte a losalumnos acerca de 1 2 3 4los procedimientos P ‫ ؍‬18 u P ‫ ؍‬18 u P ‫ ؍‬22 uempleados paraobtener sus 5 6 P ‫ ؍‬24 urespuestas y elaboren P ‫ ؍‬26 u P ‫ ؍‬24 uun formularioconvencional. a) Anoten el procedimiento que siguieron para obtener cada perímetro. Sumando la medida de sus lados. b) ¿Cómo son entre sí los lados opuestos de cada rectángulo? Iguales dos a dos. c) ¿Y cómo resultan ser esas medidas? Iguales iguales y dos lados cortos iguales d) Es decir, que un rectángulo tiene dos lados largos Entonces, el perímetro de la primera ﬁgura se puede obtener a partir de: 2 x 3 ؉ 2 x 6 ‫ ؍‬18 ¿Coincide esta solución con su respuesta? Si e) Veriﬁquen este procedimiento con el resto de los rectángulos. 2 ؋ 5 ؉ 2 ؋ 4 ‫ ؍‬18 2 ؋ ؉ 2 ؋ 4 = 22 2 ؋ 2 ؉ 2 ؋ 10 ‫ ؍‬24 2 ؋ 9 ؉ 2 ؋ 4 ‫ ؍‬26 2 ؋ 5 ؉ 2 ؋ 5 ‫ ؍‬20 5. Utilicen la tabla para determinar el perímetro de seis rectángulos, más uno especial, de los que se conocen sus lados. Largo en m 8 12 24 45 80 110 a Ancho en m 6 9 12 15 40 60 b Perímetro en m 28 42 2 120 240 340 2(a ؉ b) 106 Bitácora pedagógica106

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BLOQUE 2 BLOQUE 2a scriban dos e emplos que muestren el procedimiento que utilizaron para encontrar el perímetro de cada rectángulo.2(8 ؉ 6) ‫ ؍‬2(14) ‫ ؍‬28 2(80 ؉ 140) ‫ ؍‬2 (120) ‫ ؍‬240b) En el último de los rectángulos, ¿cuál es su respuesta? 2(a ؉ b) c) Coméntenlo con sus compañeros y con su profesor. Acuerden si esa es una fórmula para calcular el Cómo enriquecer perímetro de cualquier rectángulo. la actividad Respuesta abierta Para la obtención de6. Ahora, calculen el área. las fórmulas, permita los alumnos expliquen 1 2 3 4 cada uno de losA ‫ ؍‬18 m2 A ‫ ؍‬20 m2 A ‫ ؍‬28 m2 procedimientos que llevaron a cabo en el 5 6 A ‫ ؍‬20 m2 cálculo del área de las A ‫ ؍‬36 m2 A ‫ ؍‬25 m2 ﬁgura.a) ¿Qué procedimiento siguieron para obtener el área de cada rectángulo? Pida que observen en Multiplicar su base por su altura. el salón de clases, qué objetos tienen similitudb) En un cuadrado sus lados son iguales, en un rectángulo la base y la altura son desiguales; ¿consideran que con estas ﬁguras; y después que midanla diferencia entre estas medidas altera la medida del área? Si. usti quen su respuesta. con un ﬂexómetro sus dimensiones paraPorque dependiendo de la diferencia entre la medida de la base y la altura se determina el área. que; que realicen el cálculo del área y delc) Discutan sus respuestas con el grupo y obtengan una conclusión. Anótenla. perímetro de cada uno. Respuesta abierta Realicen un esquema de estos objetos, asíComparen sus resultados con los de sus compañeros y con la asesoría del profesor veriﬁquen sus respuestas. como las operaciones que llevaron a cabo en 107 su cuaderno.Bitácora pedagógica Recursos y materiales Organice una encuesta entre los alumnos para que indiquen cuál de los rectángulos del ejercicio les resulta visualmente más atractivo. Pida que dividan la medida de la base entre la altura de dic o rectán ulo. Explique lo que es la proporción aurea. ¿Coincidi la elecci n con la proporci n? 107

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 PRACTÍCALO Actividad 6.4Cómo enriquecer 1. Al tomar como referencia el primer cuadrilátero, se hicieron algunos movimientos con la posición de los vér-la actividad tices sin alterar las medidas de los lados. Escriban sus comentarios acerca de lo que sucede con las formas, los perímetros y las áreas de cada serie de ﬁguras.Lleve a los alumnosa reﬂexionar sobre • ¿ as medidas de los lados de la secuencia del rectán ulo modi can su perímetro? Nolas características del • ¿Qué instrumentos utilizaron para veri car su respuesta? Una reglaromboide y del rombo. • ¿Cuál es el perímetro de las tres uras? 26 unidades lineales. • ¿Cuántas unidades cuadradas tiene el rectán ulo? 36 unidades cuadradas.Para reforzar el • ¿Cuántas unidades cuadradas tienen apro imadamente los dos romboides? 31.5 u2reconocimiento de este • ¿C mo es el perímetro en la secuencia de los cuadrados? Es igualtipo de ﬁguras, pídales • ¿Qué instrumentos utilizaron para encontrar su respuesta? Una reglaque en su cuaderno • ¿C mo es el área en esta secuencia? 35 u2, 31.5 u2 y 36 u2 aproximadamente.tracen otros rombos Comparen sus respuestas con el resto del grupo y con la asesoría del profesor veriﬁquen sus resultados.y romboides, cuyasmedias sean propuestas Para tener en cuentapor el propio grupo. CuadriláterosCambiando números Polígonos de cuatro ladosSolicite a sus Paralelogramos Trapecios Trapezoidesalumnos que en una Cuadriláteros de lados Cuadriláteros con Cuadriláteros sin o a cuadriculada, opuestos iguales un par de lados lados paralelosreproduzcan la y paralelosprimera ﬁgura de paraleloscada la rectán ulo cuadrado . Después Rectángulo Rectángulo Rectángulopídales que realicen Rombo Isósceles Isósceleslos cambios de cada Escaleno Escalenoﬁgura, así como en la Cuadradocuadrícula de su libro. RomboideEs importante que lostracen con precisión, 108respetando el númerode cuadros unidades Bitácora pedagógicaque conforman labase. Por ejemplo, si elrectángulo tiene unabase de 9 unidades,esta misma deberá deconsiderarse para laelaboración de las dosﬁguras. na vez que ten an ec o estas acciones, pida que contestenlas preguntas de laActividad 6.4.108

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BLOQUE 2PRACTÍCALO BLOQUE 2 Actividad 6.5Observa los polígonos regulares mostrados y contesta después las preguntas. • ¿Qué relaci n observas entre la lon itud de uno de los lados de los cuatro polí onos? Son iguales Qué observarCon base en esta información completa la tabla. Veriﬁque que los Polígono Medida de un lado Perímetro alumnos noten quePentágono 4u 20 u los lados de todos losHexágono 4u 24 u polígonos son iguales,Heptágono 4u 28 u y que expliquen conOctágono 4u 32 u sus propias palabras cómo es que se• raza la línea que representa la apotema con base en la actividad . responde las pre untas de este incrementa la apotema ejercicio. y la altura de cada uno, dependiendo de su• ¿Qué ocurre con la lon itud del apotema considerando que el lado de todos los polí onos es el mismo? número de lados.Aumenta Veriﬁque que los alumnos relacionen• ecuerdas que un polí ono re ular se puede descomponer en trián ulos para ormar un romboide, correctamente la cantidad de ladosentonces, ¿qué representa en realidad el apotema en estos cuatro polígonos? La altura de un triángulo. del polígono con la Pa longitud de sus lados• ¿Cuál es la rmula para calcular el área de un polí ono re ular? A ‫؍‬ 2 en el cálculo del perímetro y la maneraCon estos datos completa la tabla: de cómo aumenta. Polígono Lado Apotema Área Observe que losPentágono u 2. 2 u2 alumnos no presentenHexágono 3.4 40.8 u2 diﬁcultades en elHeptágono 4u .1 algoritmo para obtenerOctágono u .8 . u2 el área de un polígono u .8 u2 regular.Compara tus resultados con el resto del rupo, veri ca que tu estrate ia ue la adecuada para realizar la actividad. Cambiando números 109 Pida a sus alumnos que tracen sobre una o a Bitácora pedagógica cuadriculada, cada uno de los polígonos mostrados. Consideren que cada lado debe comprender el mismo número de cuadros unidades . 109

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar LO QUE APRENDÍPermita el análisis de 1. esuelve los problemas. Comenta con el rupo los procedimientos utilizados las respuestas obtenidas.esta ﬁgura para que losalumnos comprendan a) Para instalar una malla ciclónica alrededor de su propiedad, Alfredo estudia el plano de su terreno yque la suma de los encuentra las medidas indicadas en la ﬁgura de abajo. ¿Cuántos metros de malla debe comprar? mlados se aplica paracualquier trapecio 11 m 15 m is sceles, rectán ulo 9m escaleno . 22 m • ¿Qué procedimiento utilizaste para obtener el resultado? Sumando todos sus lados. usti ca tu respuesta. Para encontrar el perímetro se suman los valores de los lados de la ﬁgura. • scribe la rmula la operaci n que realizaste para encontrar el resultado. P ‫ ؍‬a ؉ b ؉ c ؉ d; P ‫ ؍‬22 m ؉ 15 m ؉ 11 m ؉ 9 mCómo enriquecer b na amilia instalará losetas en su sala así que izo un diseño del piso tom las medidas. i el instala-la actividad dor cobra $135.00 por metro cuadrado (m2), ¿cuánto costará la instalación en total? $2 960.55Dé el tiempo necesario 3.2 mpara que resuelvan lasituación. Veriﬁque 4.3 ma través de unaesquematización men el pizarrón, que • ¿Qué procedimiento llevaste a cabo para obtener la respuesta? La suma de dos áreas y luego se multiplica por 135.los planteamientos usti ca tu respuesta. y resultado seansatisfactorios. Mediante Se divide la ﬁgura en un triángulo y un rectángulo, después se calcula el área de cada una y al ﬁnal seuna lluvia de ideas, suman ambas áreas.permita que los • Asc‫؍‬ribbeh lapsa rarmelurleacst áqnugeu ulotiliyzaAst‫؍‬e, Pa2adepmaáras deel tlraisá nogpuelroa.ciones que realizaste para resolver este problema. alumnos elaboren una 110conclusión acerca dela manera más sencilla Bitácora pedagógicade resolver este tipo deejercicios.110

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BLOQUE 2 BLOQUE 2 Cómo enriquecer la actividadc) Marilú quiere poner alfombra en un cuarto que construyó. Para esto tomó las medidas de los laterales del cuarto y las representa en la ﬁgura de abajo. Aproximadamente, ¿cuánta alfombra debe comprar? 21 m2 na vez resuelto el problema, cuestione 2.6 m a los alumnos para que deduzcan que 2.6 m también se puede calcular el resultado 2.6 m 4m de esta situación, con la fórmula del área del• ¿Cuál ue el procedimiento que utilizaste? Sumando las dos áreas. trapecio. usti ca tu respuesta. Se calcula el área del cuadrado y del triángulo por separado y al ﬁnal ambas se suman.• An‫؍‬otal 2lapsa rareml urelacst áqnugeu mlo,anAe‫؍‬as(t2e. 6) l2ays oAp‫؍‬eraP2caiopnaersa qeulet rrieáanlgizualsot,eA. ‫؍‬ (4)(2.6) 2 .Compara tus resultados y procedimientos con el resto del grupo y veriﬁca con tu profesor que las respuestassean correctas. Elaboren una conclusión sobre la forma correcta de resolver estos ejercicios.Desarrolla tus habilidades¿Cuáles de estas ﬁguras tienen mayor perímetro? ¿Su área también es la mayor?Anota tus comentarios. USA LAS TIC Qué observar El propósito de esta actividad es desarrollar destrezas al medir y buscar estrategias para encontrar rutas más cortas en la obtención de los resultados.P = 12.2 cm P = 11.2 cm P = 19.2 cm P = 19.8 cm Es posible que en alguna A = 11.48 cm2 ocasión necesites consultarA = 2.16 cm2 .8 cm2 A = 9.12 cm2 un formulario para el cálculo de áreas, aquí tienes elLas dos ﬁguras de abajo tienen mayor perímetro y área. enlace de uno muy útil, visítalo. http://www.vitutor. net/1/24.html Recursos y materiales 111 En el índice de laBitácora pedagógica página de Geometría Activa, encontrará las referencias a diferentes animaciones interactivas en la que sus alumnos podrán trabajar perímetros y áreas de cuadriláteros y otros polígonos: ttp mimosa.cnice. mecd.es clobo eo eb indice. tm 111

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje temático Manejo de la información Tema Proporcionalidad y funciones Identiﬁcación y resolución de situaciones de Contenido 7 proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios ACUÉRDATE DE... Para este apartado se espera que perfecciones el uso de las proporciones al resolver problemas sencillos, como:Qué observar i por una docena de calcetines se pa an 222. 0. i la mamá de uan quiere comprar nicamente pares de calcetines, ¿cuánto tuvo que pagar? 2. un cuando an trabajado las • ¿De qué manera obtuviste el resultado? A partir del valor unitario de cada calcetín.relaciones deproporcionalidad • usti ca tu respuesta. i cada calcetín cuesta 18. , por calcetines se pa arán 2. .desde Primaria, es 222.60importante reforzar • ‫ ؍‬18.55; (18.55) (5) ‫ ؍‬ 2. .los conceptos de nota el planteamiento que llevaste a cabo. 12razón y proporción,así como el cálculo de • ¿Calculaste el valor unitario de un par de calcetines? Sivalor faltante en una ¿Por qué? Porque se tiene que conocer el precio unitario para conocer otra cantidad mayor a uno.expresión para quepueda obtenerse la Compara tu procedimiento con tus compañeros de grupo y veriﬁca con tu profesor que la respuesta sea correcta.proporción. PRACTÍCALO Actividad 7.1Cómo enriquecerla actividad unto con un compañero analiza resuelve la si uiente situaci n.Para asegurar que los El director de una secundaria quiere llevar de excursión a un grupo de tres grados diferentes, comoalumnos entienden opciones tiene: el museo universitario, el jardín botánico y el teatro. Cuando tuvo los presupuestos,el concepto de elaboró esta tabla:proporción. Pídalesque al resolver cada Grado Total alumnos Museo Jardín botánico Teatroinciso argumenten por universitarioqué consideran que el 1º 38 $2 622 $1 900 $2 850resultado que presentan 2º 45 10 2 2 0 es el correcto. En 3º 52 $3 588parejas justiﬁquen sus Total 135 $2 600 $3 900respuestas. $9,315 $6,750 $10,125 • Completen la tabla, encuentren las cantidades que debe pa ar por rado en las tres opciones con base en esta información respondan las preguntas: • ¿Qué procedimiento emplearon para poder completar la tabla? Se calcula el precio de la entrada de manera unitaria de cada opción, y después se multiplica por la cantidad de alumnos de cada grado. 112 Bitácora pedagógica112

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BLOQUE 2 BLOQUE 2• usti quen su procedimiento. Para la primera opción se divide $9 315 entre 135 alumnos y se conoce el valor unitario que es de $69, Cómo enriquecer la actividadal multiplicarlo por 8 alumnos de primer rado da como resultado 2 22, lo mismo se realiza para Propicie que loslos otros dos grados con esta y las demás opciones. alumnos propongan situaciones de su vida• ¿Cuánto tiene que pagar si decide ir al museo y asisten 38 alumnos? $2 622 , si de último momento diaria en donde se presente este tipocancelaron su asistencia 6 alumnos, ¿cuánto pagará? $2 208 ¿Qué operaci n realizaron de casos. Que los expongan ante elpara encontrar el monto? grupo, los analicen y los resuelvan en susA los 38 alumnos se les restan los seis que faltaron, quedando 32, esta cantidad se multiplica por el cuadernos de notas.valor unitario de $69. Al ﬁnal veriﬁque que los resultados y• ¿Cuánto cuesta la entrada al museo por alumno? $69 Expliquen cómo encontraron el resultado. justiﬁcaciones estén Dividiendo $9 315 entre 135 alumnos. bien realizados.• i asistiera al ardín botánico le cancelaran cinco alumnos de cada rado ¿cuánto pa aría en total por los tres grados? $6 000• ¿Cuánto cuesta la entrada por alumno al ardín botánico? $50 Expliquen su planteamiento.Dividiendo 0 entre 1 alumnos .• i decide llevar al teatro nicamente a los alumnos de 1 2 , pero de primero cancelan de se undo 2, ¿cuánto pagará en total? $3 300• pliquen el procedimiento que utilizaron e suma los alumno de 1 2 al total se le restan , al nal se multiplica por 0.• ¿Cuál es el precio por alumno en el museo? • ¿Qué operaci n realizaron para encontrar el precio? Dividiendo $10 125 entre 135 alumnos.Comparen sus resultados y procedimientos ante el grupo y si es necesario realicen correcciones. 113Bitácora pedagógica 113

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar PRACTÍCALO Actividad 7.2Con el mane o de Resuelve estos problemas.las tablas se le puede a) A velocidad constante, un automóvil hace los recorridos que fueron anotados en la tabla.facilitar al alumnola obtención de Tiempo en horas 1.5 2 3 4.5 5 6 . 8 9 9.5una constante deproporcionalidad o la Distancia en km 112.5 150 225 . 450 562.5 600 12.razón unitaria, mismaque se calculará más • ¿Varían en forma proporcional los tiempos y las distancias? Explica tu respuesta.adelante. SiCómo enriquecer • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? .la actividad • ¿ qué velocidad se desplaza el autom vil? mCon el n de b) En un mapa a escala, cada 0.5 cm representan aproximadamente 100 km. Si en el mapa unes dos ciu-consolidar el conceptode proporcionalidad, dades la distancia es de 2. cm, ¿a qué distancia real se encuentran esos dos lu ares que separaste?promueva que también 550 kmlos estudiantespropongan ejercicios c) i por cada paquete de seis alletas que se come una persona consume 2 . ramos de carbo idra-que puedan tos, ¿cuántos carbohidratos consumirá si se come una tercera parte del paquete? 8.58 carbohidratosresolver medianteproporciones. Compara tus resultados con algunos de tus compañeros y con ayuda de tu profesor comprueba que tus res-Solicite a un alumno puestas sean correctas.que exponga unade las situaciones PRACTÍCALO Actividad 7.3propuestas y expliquela manera en cómo tiliza tu re la para medir cada una de las partes indicadas de la o cina, cada centímetro de tu re la repre-llevó a cabo su senta 22.5 cm del tamaño real de los objetos. Contesta lo que a continuación se te indica.planteamiento ysus cálculos para Registra las medidas:la obtención de laproporcionalidad. Objeto Medida real Objeto Medida real Silla 202.5 ؋ . Escritorio 45 ؋ 45 Sillón 1. Archivero 180 diámetro Ventana 45 ؋ 90 Pizarr n 90 . ؋ 112.5 Mesa 45 Puerta ¿Qué estrategia usaste para tomar las medidas correctas? Midiendo con la regla. ¿Qué criterio usaste para medir la puerta, la mesa redonda y la silla? La puerta como unidad lineal, la mesa como diámetro de una circunferencia y la silla como un cuadrado. i utilizaras una escala di erente, ¿podrías obtener las mismas medidas reales? Si • usti ca tu respuesta. Porque lo que cambiaría sería el plano y no el tamaño real. • ¿Cuáles son las dimensiones reales de la oﬁcina? 652.5 ؋ 429.5 Compara tus resultados con el resto del grupo y con ayuda de tu profesor elabora una conclusión. 114 Bitácora pedagógica114

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BLOQUE 2 BLOQUE 2 Para tener en cuenta ealizar un esquema, dibu o o representaci n rá ca de un problema siempre es til para razonarlo entenderlo, inténtalo. PRACTÍCALO Actividad 7.41. Resuelve las situaciones que se te muestran a continuación y responde lo que se indica. Qué observar a) Un paquete de 18 huevos cuesta $15.60, ¿cuánto costará un paquete con una docena? • ¿Cuál es valor unitario de cada huevo? $0.86 Con estas situaciones • ¿Cómo obtuviste el valor unitario? Dividiendo 15.60 entre 18. tiene la oportunidad • usti ca tu respuesta. Al dividir se conoce el valor unitario de cada huevo. de pedir a los alumnos • ¿Qué operaci n es tuviste que realizar para obtener el resultado? Una división que participen en la resoluciónb n bibliotecario catalo a re istra 0 libros en 2 minutos. n esa misma raz n, ¿cuánto tiempo nece- y presentación de sitará para catalogar y registrar 240 libros? 200 minutos procedimientos; recuerde que de• ¿Cuántos libros cataloga por minuto? 1.2 libros esta forma pueden desarrollar las cuatro• Explica la 32es05tr‫؍‬ate1g.2ia, que seguiste. 240 competencias Se divide esto es lo que 1.2 matemáticas: cataloga por minuto, ahora se divide ‫ ؍‬200 que es el tiempo planteamiento y resolución que tarda en catalogar 240 libros. de problemas, argumentación,• ¿Qué tipo de unidad utilizaste para indicar el tiempo que tarda? Minutos comunicación y• ¿Por qué? Porque son las unidades dadas en la situación. manejo de técnicas.c) Un capturista redacta 3 páginas completas en una hora y trabaja diariamente 6.5 horas. ¿Cuántos días requiere para capturar un libro de 02 pá inas? 36 días.• ¿Cuántas páginas redacta por día? 19.5 páginas.• Explica tu estrategia. Multiplicando el número de páginas por las horas trabajadas (3) (6.5) ‫ ؍‬19.5, luego se divide 02 ‫؍‬ 36 que son los días que tardará en capturar el libro. 19.5• ¿Qué operaci n realizaste para encontrar el n mero de días? Una división.• usti ca tu respuesta. Se divide la cantidad de páginas entre el número de páginas por día.• Y si trabajara 8 horas diarias, ¿qué tiempo le llevaría redactar las 02 pá inas? 29 días y 2 horas.Compara tus respuestas con el resto del grupo y veriﬁquen con su profesor el uso de sus procedimientos. 115Bitácora pedagógica Transversalidad Solicite a los alumnos, que comenten con el pro esor de Ciencias 1, la relación que tiene la proporcionalidad con el índice de masa corporal C . 115

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 LO QUE APRENDÍQué observar 1. Completa o genera una tabla para cada una de las siguientes situaciones de acuerdo con lo que se te pide. a) Obtén el perímetro de diversos cuadrados.Oriente a los alumnosen la relación que Lado en cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10tiene este tema con Perímetro en cm 1 8 12 16 20 24 28 32 36 40las progresiones y larelación que puede • ¿Qué pasa con el perímetro cuando el lado se duplica?existir de manera También se duplica.proporcional con losdatos que se toman • ¿Qué sucede con el perímetro cuando el lado se triplica?como base tanto para el También se duplica.perímetro como parael área, y que analice el • si el lado se cuadruplica, ¿qué ocurre?porqué de estas Se cuadruplica, a medida en que aumentan las dimensiones de un cuadrado, el perímetro también incrementa.diferencias. • ¿Podrías decir que los lados sus perímetros son ma nitudes proporcionales?Reﬂexión SiSobre la salud • ¿Por qué?y la responsabilidad Porque a medida que aumentan las dimensiones del cuadrado el perímetro aumenta de forma proporcional.Propicie que losalumnos reﬂexionen b) Obtén el área de diversos cuadrados.acerca de la salud. odo ser umano eli e Lado en cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10cómo quiere vivir y lo Área en cm2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100que desea ser. Es demanera responsable • ¿Qué sucede con el área cuando el lado se duplica?de lo que a a con Crece en relación al cuadrado de uno de sus lados.su persona. Se actúaresponsablemente • ¿Qué pasa con el área cuando el lado se triplica?cuando se cuida También se incrementa en relación al cuadrado de uno de sus lados.nuestro cuerpo y elmedio en que vivimos. • si el lado se cuadruplica, ¿qué ocurre?La buena alimentación Ocurre lo mismo, la superﬁcie de un cuadrado siempre esta en realción al cuadrado de uno de sus lados.y la salud, permite unrendimiento óptimo en • os lados áreas que aparecen en la tabla, ¿son ma nitudes proporcionales?la escuela. No • ¿Por qué? Porque al comparar de manera proporcional los resultados de la tabla no resulta una proporción. 116 Bitácora pedagógica116

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 1.2 PRACTÍCALOCómo enriquecer 1. Resuelvan estas situaciones. Al ﬁnal, comenten ante el grupo los procedimientos que siguieron para llegar ala actividad los resultados.Organice la actividad a) Tengo 12 bloques grandes y 7 pequeños. Los bloques de igual tamaño tienen la misma masa. La masapara que en parejas los de un bloque grande equivale a la masa de dos bloques pequeños. Si cada bloque pequeño tiene unaalumnos comparen los masa de 5.5 kg, ¿cuánta masa tienen todos los bloques?resultados. 170.5 Kg a socializaci n les dará mayores oportunidades b) En un taller de hojalatería están colocadas, una encima de otra, varias placas de acero según su gro-de validar sus sor, ocho de 0.7 cm; tres de 2.4 cm; cinco de 1.75 cm y 12 de 0.85 cm. ¿Qué altura tiene el montónprocedimientos y de láminas?adquirir seguridad 31.75 cmen la resolución deproblemas. c) La tabla nutricional impresa en la envoltura de un paquete de pan integral dice que cada ración aporta 9 g de proteína, 1.5 g de grasa y 57.5 g de hidratos de carbono. ¿Qué cantidad de nutrientes incor- pora a su dieta una persona que ingiere tres raciones? 204 gramos d) La tabla muestra tres tarifas para el cobro de llamadas telefónicas de larga distancia.Cómo enriquecer Tarifa Tarifa Sábado, domingola actividad diurna nocturna y días festivos a a un alto Primer adicional Primer adicional Primer adicionalpromueva con sus minuto minuto minutoalumnos el análisis deestas multiplicaciones y .05 . 5 1.5 1.3 1.85 1.05sus productos:a ؋ b ‫ ؍‬c, si a es una • ¿ Cuánto pueden a orrar en una llamada de 2 minutos si llaman un domin o en lu ar de acerlo un constante y b < 1, día de la semana por la noche? $ 5.65¿Qué sucede con c? • ¿De cuánto será el car o con tari a nocturna si ablan un martes la llamada dura 1 minutos? Propon a otros casos $ 18.40con a > 1 y a < 1; losalumnos normalmente • si esta ltima llamada la ubieran ec o con tari a diurna, ¿cuánto abrían pa ado de más? conciben una $ 12.90multiplicación comoalgo que aumenta, es 124el momento de quedescubran que esto Bitácora pedagógicasucede bajo ciertascircunstancias ycon cierto tipo denúmeros.124

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BLOQUE 3 BLOQUE 3LO QUE APRENDÍ2. Analicen esta situación y después contesten lo que se pide.a) En tres tortillerías el precio de tortilla por kilogramo es de $10, $11.50, $9.20, respectivamente. Si Lucía Qué observar 1 $ 35compra 3 2 de kilogramo en la primera tortillería, ¿cuánto tendrá que pagar? n muc as ocasiones, los alumnos seSu prima le pidió que fuera a la segunda tortillería porque el precio es menor. encuentran dentro de este tipo de contextos,¿Cuánto pagará por los 3 1 kilogramos? $ 40.25 en donde toman 2 decisiones a partir de un análisis de laSu vecina le comentó que abrieron una nueva tortillería y que el kilogramo lo venden aún más barato. situación.¿Cuánto tendrá que pagar Lucía? $ 32.2 Cómo enriquecer la actividad¿Qué operaciones realizaste para llegar al resultado? Una multiplicación Permita que los ¿En que tortillería le conviene a Lucía comprar sus tortillas? En la tercera. Justiﬁquen su respuesta. alumnos propongan situaciones semejantes,Porque es más barato el kg de tortilla. que las planteen y entre todo el grupo¿Cuánto se ahorra entre la primera y la última tortillería? $ 2.8 las analicen y las¿Cuánto se ahorraría en una semana? $ 19.6 resuelvan.¿Qué operaciones realizaron? Una resta y una multiplicación. Promueva la Mencionen el procedimiento que siguieron para llegar a los resultados. participación individualRespuesta abierta y colectiva.Compara tus respuestas y procedimientos con el resto del grupo y con la asesoría del profesor veriﬁquen sus Qué observarrespuestas y procedimientos. Esta sección permite alDesarrolla tus habilidades USA LAS TIC alumno aplicar lo queReúnete con un compañero y resuelvan el problema. Para realizar más ejercicios a aprendido durante sobre multiplicación con este contenido acerca¿Cuál es el número cuya parte entera es el resultado de multiplicar 35 por 6, la cifra números decimales visita de la multiplicación dede las décimas es la mitad de 12, la cifra correspondiente a las centésimas es el tri- la página electrónica: números decimales,ple de 3 y la que indica las milésimas es la suma de las cifras de su parte entera? www.rinconmaestro.es/ utilizando el algoritmo210.693 matematicas/actividades. convencional, y que html le será de muc a Comparen su resultado con el resto del grupo. utilidad para cuando seExpliquen cómo llegaron al resultado. Respuesta abierta 15 encuentre en diversas situaciones en su vidaBitácora pedagógica cotidiana. 125

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico TemaEn el transcurso de Problemas multiplicativossu vida el alumno a Contenido 2conocido productos Resolución de problemas que impliquen la división deque manejan números números decimales en distintos contextos, utilizando eldecimales en su algoritmo convencionalempaque. En otros pore emplo los a utilizado ACUÉRDATE DE...en medicamentos,tiene que dividir la En la primaria trabajaron la división con números decimales y seguramente ya encontraron algunos, por ejem-sustancias en parte plo en medicamentos, ingredientes de cocina o artículos de limpieza.iguales para tomar ladosis correcta. • Escriban el nombre de algunos productos que se encuentren en su hogar cuyo contenido esté expresado en números decimales. Respuesta abiertaCómo enriquecerla actividad • Escriban cuál de los productos mencionados requiere que se divida en partes para su uso. Respuesta abiertaPida a los alumnos que realicen un enlistado PRACTÍCALO Actividad 2.1de productos quemanejen decimales o 1. En un experimento de laboratorio de ciencias los alumnos sometieron a varios cuerpos de diferente super-mediante una lluvia ﬁcie a una fuerza de 120.8 Newton para determinar la presión en la que se encontraban. Estos fueron losde ideas indague si resultados que obtuvieron:se an en rentado a alguna situación donde Cuerpotengan que realizar unadivisión con decimales. 12345Cómo enriquecer 0.1 3. . 5. 0.9la actividad Presión 1 00 . 33.5 50.3 1.5 13 .Pida a los alumnos que propongan Ahora contesta:situaciones como laque se muestran en • Indica que operación tuvieron que realizar los alumnos para encontrar los valores de la presión paraesta actividad para que cada cuerpo. Una divisiónlas presenten ante elgrupo y las resuelvan. • Justiﬁca tu respuesta. Se divide la fuerza entre la superﬁcie del cuerpo.Promueva el análisis • ¿Cómo expresarías en términos matemáticos la fórmula para calcular la presión de un cuerpo?la reﬂexión para poder Fobtener los resultados P‫؍‬ Aque se piden. • Justiﬁca tu respuesta. Porque se realizó la división de la fuerza entre la superﬁcie. Compara tus resultados con el resto del grupo y con su profesor veriﬁquen sus procedimientos. Para leer más Si a ؋ b ‫ ؍‬a, entonces b actúa como elemento neutro, su valor es 1, por lo tanto el primer factor no cambia. Ejemplos: 7 ؋ 1 ‫ ؍‬7; 3 ؋1‫؍‬ 3 4 4 126 Bitácora pedagógica126

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BLOQUE 3 PRACTÍCALO BLOQUE 3 Actividad 2.21. Lean, analicen y resuelvan esta situación. a) Un municipio quiere pavimentar una calle de 122.6 m de largo y 15.5 m de ancho con 45.8 tonela- das de asfalto. • ¿Qué cantidad de asfalto se ocupará por cada metro cuadrado de la calle? 0.024 toneladas • Expliquen qué procedimiento realizaron para determinar este resultado. Cómo enriquecer Se divide las toneladas entre el área de la calle. la actividad • ¿Qué operaciones hicieron? Una multiplicación y Una división (22.6 m)(15.5 m) Que los alumnos • Escriban el planteamiento matemático que propusieron. 45.8 ton. analicen ambas situaciones y mediante • Justiﬁquen su planteamiento. Calculamos el área de la calle (22.6 m) (15,5 m) este producto se una exposición expliquen frente al divide entre las toneladas de asfalto (45.8), lo permite obtener la cantidad de asfalto por metro resto del grupo los dos cuadrado. planteamientos que se presentan para resolverComparen sus resultados con el resto del grupo y analicen con su profesor los planteamientos que realizaron. esta actividad. PRACTÍCALO Actividad 2.3 De manera grupal obtengan una1. Analicen las situaciones y respondan lo que se indica. conclusi n. Procure que sean los mismosa) Roberto y Mónica están en dReosbaecrutoerddiocereqsupeecctoomaol cá34lceuqlouidveallepare0c.io75d,eún43icadme ekngtedeseqdueebsoe.mElukltiilpolgicraar- alumnos quienes mo tiene un precio de $80, decidan sobre la forma más sencilla de obtener el precio de 1 kg por 0.750 para obtener el total por pagar. Mónica dice que se debe dividir el precio su resultado. del kg de queso entre 4 y multiplicar el resultado por 3, ya que corresponde a las tres cuartas partes. Reﬂexión • ¿Quién tiene la razón? Los dos Sobre la organización y el trabajo en equipo. • ¿Qué diferencias encuentras entre ambos procedimientos? Uno usa fracciones y el otro decimales. Es fundamental enseñar a los alumnos • A su juicio, ¿quién propone el procedimiento de cálculo más rápido? desde un principio, Respuesta abierta a participar en las distintas actividades • Argumenten su respuesta. Respuesta abierta escolares, siempre integrados a un $80 ، 4 ؋ 3 ‫ ؍‬$80 ؋ 0.750 ‫؍‬ equipo de trabajo. El alumno debe valorar la 17 importancia que tiene su participación para elBitácora pedagógica éxito de las tareas que le sean asignadas a su equipo. En el área de las matemáticas resulta de suma importancia llevar un orden en el desarrollo no solo de los apuntes, sino de las operaciones que se realizan, las cuales deben ser claras y en limpio. 127

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MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer MATEMÁTICAS 1la actividad b) La dueña de una tienda compró 100 kg de frijoles y quiere repartirlos en bolsas de 0.5 kg. QuiereSolicite a sus alumnos saber cuántas bolsas necesita. Alguien le propone resolverlo mediante la operación 100 ÷ 0.5 paraque expongan obtener el total de bolsas; otra persona le dice que mejor multiplique 100 ؋ 2.planeteamientos y • ¿Con cuál de las dos operaciones llega a la respuesta correcta? Las dossoluciones, así como • ¿Qué diferencia hay entre ambos procedimientos? En uno se divide y en otro se multiplica.sus comentariosrelacionados con el uso • ¿Cuántas bolsas necesitaría si empaca los 100 kg en bolsas de 0.250 kg? 400de los decimales y las ¿ en bolsas de 0.12 ? 800fracciones.Propon a que el • Escriban una conclusión respecto a los dos procedimientos que se pueden utilizar.alumno elabore Respuesta abiertaejercicios en los queal multiplicar por c) El profesor Armando llegó hoy a la escuela a las 7:30 horas y le marcaron un retardo de 30 minutos, puesuna fracción y dividir 1entre cierto número el su entrada es a las 7:00 horas. En el reporte le anotaron que se hace acreedor a un descuento de 2 horaresultado sea el mismo, de salario.por ejemplo:20 ؋ 0.8 ‫ ؍‬20 ؋ 4 ، 5 • ¿Cómo aclararían esta diversidad de términos para que el planteamiento del problema sea uniforme? Signiﬁcan lo mismo. Son dos formas diferentes de referirse a lo mismo.Cómo enriquecerla actividad • ¿Cuál es la forma correcta de anotar la hora a la que llegó? 7:30 • En términos precisos, ¿a qué se debe que las unidades de tiempo no concuerden con el sistema decimal?Veriﬁque que losplanteamientos Porque las unidades de tiempo son sexagesimales.y los resultados seanlógicos y acordes. • ¿Qué otro tipo de unidades de medida conocen que tengan esas características?De lo contrario Las de los ángulos.proponga una bateríacon más ejercicios a PRACTÍCALO Actividad 2.4ﬁn de que el alumnocomprenda este tipo 1. Resuelvan las operaciones. c) 40 ، 5 ‫ ؍‬8 e) 450 ، 50 ‫ ؍‬9de operaciones. a) 28 000 ؋ 0.5 ‫ ؍‬14 000Curiosidades, b) 200 ؋ 0.1 ‫ ؍‬20 d) 800 ، 100 ‫ ؍‬8 f) 500 ؋ 0.001 ‫ ؍‬0.5acertijos y más 18Propon a a sus alumnos el siguiente Bitácora pedagógicaacerti o. Pídales que expliquen cómoes posible adivinarsiempre el número.1. Piensa un n mero .2. Multiplícalo por 2…3. Agrégale 20…4. Divídelo entre 2…5. Quítale el número que as pensado.6. Final: Te queda 10.128

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BLOQUE 3 BLOQUE 3• ¿En qué casos les pareció más sencillo realizar una multiplicación? Escriban los incisos. Respuesta abierta• ¿En qué incisos les fue más sencillo realizar una división? Respuesta abierta• Expliquen en qué casos podrían sustituir una multiplicación por una división para que sea más fácil obte- ner el resultado. Respuesta abiertaComparen sus respuestas con el resto del grupo y elaboren una conclusión con su profesor donde se indique enqué situaciones es más conveniente realizar una multiplicación o directamente una división para obtener unresultado.Para tener en cuentaPropiedad multiplicativaSi el dividendo y el divisor se multiplican por un mismo número, el valor del cociente no cambia. Observa: 0. 0 0 7 3. 5 Equivale a 3.5 ؋ 1 000 ‫؍‬ 3 500 donde 1 000 ‫؍‬ 1 0.007 1 000 7 1 000PRACTÍCALO Actividad 2.51. Repasa el uso del algoritmo de la división con decimales. 3.5 8.34 0.015 18.4 Qué observara) 1 2 4 2. 5 c) 8 7 7 2 5. 6 4 e ) 4 6 0. 7 2 5 g ) 7 9 1 4 5 6. 2 Esta actividad está 10.4 6.15 101 47.08 diseñada para que los b) 8. 2 8 5. 6 4 d) 7. 5 4 6. 1 8 5 f) 1.1 1 1 1.1 h ) 9.7 4 5 6. 7 1 5 alumnos desarrollen el algoritmo tradicional• Explica: ¿cuál fue el procedimiento que utilizaste? El algoritmo convencional. de las divisiones• ¿Existe otro método para realizar la división? Respuesta abierta con punto decimal.• Justiﬁca tu respuesta. Respuesta abierta Recuerde que, en particular, este tipo• Anota el procedimiento que seguiste para colocar de manera correcta el punto decimal. Multiplicar de operaciones causa por una potencia de 10, recorriendo el punto a la derecha los lugares para hacer entero el divisor. cierta diﬁcultad en la mayoría de las• ¿Qué hiciste con el dividendo y el divisor para no alterar su valor? personas. Recorrer el punto igual número de lugares. Cómo enriquecer• Pre unta a tu pro esor acerca de la posibilidad de usar la calculadora, al menos para comprobar los la actividad resultados. Pida a sus alumnos que 19 propongan ejercicios suﬁcientes con el ﬁnBitácora pedagógica de que quede claro el desarrollo del algoritmo tradicional para este tipo de divisiones. 129

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 PRACTÍCALO Actividad 2.6Cómo enriquecer 1. Resuelvan las situaciones y completen las tablas.la actividad a) Siete autos de carreras realizan un recorrido de 600 km en los tiempos que se señalan en la tabla. ¿QuéPropicie la velocidad desarrolló cada vehículo?participación entresus alumnos para que Competidor 1 2 3 4567respondan las tablas en Tiempo (h) 4 .5 5el pizarrón. Velocidad (km/h) 150 133.33 120 .5 . 3.5 3Indíqueles quejustiﬁquen la forma 240 142.86 171.43 200en que las fueroncompletando, la b) En una huerta se embolsan naranjas según se muestra en la tabla. ¿Cuál es el precio de cada naranja?argumentación porparte de los alumnos Número de naranjas 12 18 36 7 144es importante en estaactividad. Costo por bolsa ($) .0 9.00 1 . 0 8.80 50. 0Cómo enriquecer Costo por naranja ($) 0.55 0.50 0.45 0.40 0.35la actividad c) Conociendo uno de los lados y el área de un rectángulo, calculen la medida del otro lado.Organice esta actividaden parejas, para que Área en m2 3.1 5 7. 8 0. 5 3.5 8 .19 5 .75comparen sus resultados Lado (m) 1. 5 3. 0y procedimientos. Al Lado (m) 2.2 .50 5.00 8.80 1 . 5mismo tiempo, esta .5actividad se aprovec a 4.5 6.45 9.34 15.8para que se apoyen yvaliden sus estrategias • ¿Qué procedimientos utilizaron para completar las tablas? Una divisiónde trabajo.Al ﬁnalizar la actividad, • ¿Fueron iguales o diferentes los planteamientos para las situaciones de los incisos a), b) y c)? Sibusque una conclusión • Justiﬁquen su respuesta. En los tres incisos se realiza una división para conocer los valores.con respecto alprocedimiento para Comparen sus respuestas con el resto de los compañeros del grupo y determinen con su profesor otros ejem-obtener equivalencias plos donde se puedan aplicar estos procedimientos.con los múltiplos y lossubmúltiplos. PRACTÍCALO Actividad 2.7130 1. Construye una tabla de equivalencias de unidades de los sistemas más utilizados (métrico decimal, sistema inglés y sistema internacional de medidas) y utilízala para trabajar problemas con unidades homogéneas. a) En la tabla se da una medida de longitud en cada renglón. Completa las casillas con la equivalencia correspondiente. Observa el ejemplo gráﬁco y los que aparecen en la tabla. 0 5 cm 0 50 mm 130 Bitácora pedagógica

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BLOQUE 3 BLOQUE 3mm cm dm m dam hm km Qué observar 50 5 0.5 0.05 0.005 0.0005 0.00005 os alumnos deberán completar las tablas 45 000 4 500 450 5 .5 0.45 0.045 teniendo cuidado400 000 40 000 4 000 400 40 4 0.4 con el manejo de las equivalencias y el usob) En la siguiente tabla hay medidas de superﬁcie. Completa las casillas con la equivalencia correspon- de la multiplicación diente. Observa el ejemplo. y división por potencias de 10.1 600 mm2 40 mm mm2 cm2 dm2 m2 Qué observar 400 000 4 000 40 0.4 0.0016 Veriﬁque el nivel40 mm 1 600 cm2 40 cm 1 600 16 0.1 de desarrollo de 5 competencias que cada 45 000 000 450 000 4500 alumno va alcanzando: argumentación, 40 cm comunicación y manejo de técnicas.c) Seguramente podrás completar con facilidad esta tabla con unidades de volumen. Cómo enriquecerml cl dl l dal hl kl la actividad50 250 25 2.5 0.25 0.025 0.0025 provec e la actividad para375 000 37 500 3 750 375 37.5 3.75 0.375 que los alumnos resuelvan los200 000 20 000 2 000 200 20 2 0.2 250 ml = 0.250 l problemas en el pizarrón. Seleccione• Explica las equivalencias que hay entre las unidades lineales, cuadráticas y de volumen. un integrante de cada No hay equivalencia en ninguna, porque se calculan con dimensiones diferentes. equipo para que pase al frente y explique• ¿Qué número permite multiplicar a los decámetros (dam) para convertirlos en decímetros (dm)? cómo resolvió su El 100 equipo la actividad.• ¿Qué pasos debes seguir para transformar centímetros (cm) a hectómetros (hm)? Recursos Dividirlo entre 10 en cuatro oraciones. y materiales• ¿Qué operaciones tendrías que realizar para transformar metros cuadrados (m2) en centíme- En el portal argentino tros cuadrados (cm2)? Multiplicarlo por 10 000. educ.ar, en su Colección para seguir• ¿Qué operaciones tendrías que realizar para transformar hectolitros (hl) en decilitros (dl)? aprendiendo, de Multiplicarlo por 1000. Matemáticas, aparece el artículo De picnic , Compara tus respuestas con el resto del grupo y con la asesoría de tu profesor concluyan la forma correcta donde puede descargarde realizar estas conversiones. un documento que presenta actividades PRACTÍCALO Actividad 2.8 relacionadas con el tema estudiado. Utilice1. Lean, analicen y resuelvan estas situaciones. Después pidan a su profesor que elija a los equipos que expon- el buscador de la página drán una de las situaciones, donde indiquen el procedimiento que utilizaron para resolverla junto con las para localizarlo, anotando operaciones que realizaron. en él: De picnic. a) Margarita recibió un préstamo bancario. A plazo de un año debe pagar un total de $26 347.20 en cuo- ttp .educ.ar tas mensuales e iguales. ¿Cuánto debe pagar cada mes? educar site educar $ 2 195.60 inde . tml b) Marcela realizará un viaje al extranjero y necesita cambiar sus ahorros por dólares. Si en su cuenta tie- 131 ne $7 208.50 y ese día el dólar se cotizaba en $11.89, ¿cuántos dólares recibirá? 606.26 dólares 131Bitácora pedagógica

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar c) En un taller de laminado se compraron 250 láminas cuya masa es de aproximadamente 1 700 kg. ¿Cuál es la masa de cada una de esas láminas? as situaciones planteadas van 1 700 kg kg 1 700 kg kgencaminadas alanálisis por parte de 6.8 Kglos alumnos, veriﬁqueque sus conjeturas 250 1 250 1sean las adecuadas Láminas Lámina Láminas Láminapara poder plantear lasolución a este tipo de d) El abuelo de Ricardo tenía, entre sus propiedades y ahorros, $144 850.00. Al hacer su testamentosituaciones. asentó que su esposa y sus tres hijos recibirán lo doble que reciba cada uno de sus 8 nietos. Si al morir, el monto de su capital era el mismo, ¿qué cantidad recibirá su viuda? ¿Cuánto recibirá cada nieto?Qué observar Esposa $18 107.25En esta actividad Nietos $9 053.625 (redondeado $9 053.60)veriﬁque si es verdadque llegan al número e) Con 1 l de gasolina, cierto automóvil recorre 14.8 km. Si en determinado momento el tanque contie-esperado. En caso ne 9.5 l de gasolina, ¿podrá recorrer 160 km? ¿Cuántos km le faltan o por cuántos puede exceder elcontrario, ¿qué número recorrido?se necesitaría cambiarpara llegar al resultado No alcanzan esos litros de gasolina para recorrer los 160 Km,correcto? le faltaría por recorrer 19,400 kmCómo enriquecer f) ¿Sus procedimientos para llegar a la solución de las situaciones, fueron iguales o diferentes?la actividad Respuesta abiertaPropicie la resoluci n g) Justiﬁquen su respuesta.de ejercicios mediante Respuesta abiertaactividades lúdicas,esto les permitirá a los LO QUE APRENDÍalumnos reforzar loque estudiaron en este Respondan:contenido. a) Si se sabe que 1 m3 de aire pesa 1.299 kg, ¿cuánto pesarán 4.7 kg de aire?Propon a nuevas 3.61 kgactividades de este tipopara que las resuelvan b) Con una ﬂecha de color indiquen la dirección que se debe seguir para que, a partir del decimal 0.4 seen sus cuadernos. llegue al número 8.Pídales que escriban su justiﬁcación acerca 0.2 ؉ 6 – 0.5 8de la manera en que lo ،؋؉resolvieron. 0.5 – 0.1 ، 0.1 ؋؉ –Recursos 0.4 ، 0.2 ؋ 3.5y materiales 132En la página Mamutmatemáticas, usted Bitácora pedagógicaencontrará un generadorde o as de e ercicios con número decimales. ttp .mamutmatematicas.com e erciciosdecimales.p p132

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BLOQUE 3 BLOQUE 3 Horizonte matemático Cómo enriquecer la actividad En el grupo 1°A quieren elaborar juegos de dominó con números decimales. Cada equipo emplea una hoja de cartulina tamaño carta (28 cm ؋ 22 cm) para elaborar sus ﬁchas. Cada juego consta de 28 ﬁchas que miden 2.5 cm de ancho por 5 cm de largo. Procurando aprovechar al máximo el material, ¿para cuántas ﬁchas de dominó alcanza cada hoja? ϩ30..19 ϫ41.25 Ϫ60..33 ϫ50.8 ϩ22..46 ϩ14..82 ϫ10.05 ϩ23..28 ϫ10.06 Esta actividad es solo un ejemplo de lo Ϫ30..11 ϩ20..64 Ϫ30..55 ϫ08.5 Ϫ04..22 Ϫ04..55 ϫ22.5 ϩ22..37 ϫ15.2 que se puede lograr con los alumnos. Solicíteles que inventen 0.4 5.2 1.5 0.4 2.3 3.6 5.5 6.6 0.5 algunos otros dominós ϫ10 Ϫ0.2 ϫ4 ϫ5 ϩ0.7 ϩ0.4 Ϫ0.5 Ϫ0.6 ϫ6 para que relacionen 0.7 0.2 0.25 0.5 2.3 2.5 1.5 0.25 0.6 los conocimientos ϩ0.3 ϩ0.8 ϫ4 ϫ4 Ϫ0.3 Ϫ0.5 ϩ0.5 ϫ8 ϫ5 adquiridos. No importa el n mero de c as 0.4 1.2 2.5 3.4 2.5 3.3 0.2 1.7 1.5 (aunque tiene que ser ϩ0.6 ϩ0.8 ϩ0.5 ϩ0.6 ϩ2.5 ϩ2.7 ϫ5 ϩ0.3 ϫ2 par: 10, 12, 14…), la idea es buscar 0.5 1.2 1.1 materiales y estrategias ϫ2 Ϫ0.2 Ϫ0.1 que faciliten su aprendizaje. ϫ05.8 ϩ22..46 ϩ14..82 ϫ10.05 ϩ23..82 ϫ01.06.5 ϫ80.5 Ϫ04..22 Ϫ40..55 ϫ22.5 ϩ22..73 ϫ51.2.5 ϫ05.4 ϩ20..73 ϩ30..46 Ϫ50..55 Ϫ06..66 ϫ06.525 ϫ04.5 Ϫ02..33 Ϫ20..55 ϩ01..55 ϫ08.25 ϫ50.6 3.4 2.5 3.3 0.2 1.7 1.5 USA LAS TIC ϩ0.6 ϩ2.5 ϩ2.7 ϫ5 ϩ0.3 ϫ2 Para realizar más ejercicios 0.5 1.2 1.1 acerca de la división con ϫ2 Ϫ0.2 Ϫ0.1 decimales enlázate a la siguiente página electrónica: Elabora tus ﬁchas. En una hoja de cartulina o de otro material grueso, prepara www.mamutmatematicas. las 28 tarjetas, copia en ellas los números que aparecen y juega con tus com- com/ejercicios/decimales. pañeros. Diseña otros dominós en los que emplees diferentes operaciones de php esta página. 133 Bitácora pedagógica 133

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico TemaDe preferencia, los Patrones y ecuacionesalumnos deben Contenido 3resolver los ejercicios Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y laejercitando el cálculo x+a=mental, en caso de quese le diﬁculten algunos, b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad,pídales que los deje al con a, b y cﬁnal para resolverlosutilizando lápiz y papel. ACUÉRDATE DE...Si los alumnos nopractican de forma En la primaria resolviste problemas con las operaciones básicas donde debías encontrar un valor desconocido,cotidiana el cálculo tal vez un sumando, el minuendo, el sustraendo, un factor, un divisor, etcétera.mental, será difícil queresuelvan con rapidez 1. Recuerda estos procedimientos y escribe dentro de cada recuadro el número que haga de cada relaciónlos ejercicios, aunque una igualdad. Procura hacerlo mentalmente. Compara las respuestas con las de tus compañeros.sean sencillos. a) 5 ؉ 2.5 ‫ ؍‬7.5 d) 2.2 ؉ 1.7 ‫ ؍‬3.9 g ) 7.4 ؉ 3.2 ‫ ؍‬10.6 b) 2.05 ؉ 2.1 ‫ ؍‬4.15 e ) 9.6 – 3.4 ‫ ؍‬6.2 h ) 24.5 – 12 ‫ ؍‬12.5 c) 10.9 – 7.8 ‫ ؍‬3.1 f) 12.2 – 8.9 ‫ ؍‬3.3 i) 1.2 ؋ 3 ‫ ؍‬3.6 • ¿Qué pasos realizaste para obtener los resultados de estas operaciones? Respuesta abierta • ¿Qué característica en com n encontraste en los e ercicios? Buscar un valor desconocido. Compara tus respuestas y resultados con tus compañeros y veriﬁquen sus resultados con su profesor. Para tener en cuenta Una ecuación es una igualdad entre dos miembros, en ellos se encuentran cantidades desconocidas llamadas incógnitas, representadas con letras, que únicamente con ciertos valores la hacen verdadera, por ejemplo: X + 3 = 8, el único valor que hace verdadera la igualdad en la ecuación es el 5. X – 4 = 7, el único valor de x es 11. 2x = 18, como el 2 está multiplicando a x el único valor que puede tomar es 9. x = 5, el único número que se puede dividir entre tres para que el cociente 3 sea cinco es el 15. 134 Bitácora pedagógica134

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BLOQUE 3PRACTÍCALO BLOQUE 3 Actividad 3.11. Determinen el valor de la incógnita a partir de la igualdad que se forma en los siguientes ejercicios.a) x – 5 ‫ ؍‬9 c) y – 2.7 ‫ ؍‬4.2 e) z – 4.25 ‫ ؍‬1.75 Qué observar Sumar 5 a cada lado de la Sumar 2.7 a cada lado Sumar 4.25 a cada lado igualdad: x – 5 ؉ 5 ‫ ؍‬9 ؉ 5 de la igualdad: de la igualdad: á ales notar que Ejecutar la operación x ‫ ؍‬14 en esta actividad se y ‫ ؍‬6.9 z‫؍‬6 aplica una propiedad de igualdad. Son susb) x ؉ 12 ‫ ؍‬25 d) y ؉ 9.8 ‫ ؍‬13.16 f ) z ؉ 2.25 ‫ ؍‬7.7 primeros intentos en el x ‫ ؍‬13 y ‫ ؍‬3.36 z ‫ ؍‬5.45 uso de las propiedades cancelativa y uniforme.• ¿Qué hicieron para cancelar el término numérico de cada igualdad? Tenga paciencia, no trate de que Se sumó o se restó, según el caso. memoricen procesos como si está sumando PRACTÍCALO Actividad 3.2 pasa restando acost mbrelos a ablar 1. En las siguientes igualdades se sustituyó el recuadro por una literal; calcula el valor que, en cada caso, le de operaciones iguales corresponde a la literal. Anota la operación que realizaste para llegar a la solución y veriﬁca que el valor con números iguales obtenido cumpla con la igualdad. en ambos miembros de la igualdad.a) a ؉ 2.5 ‫ ؍‬5.7 d) 15.45 – d ‫ ؍‬8 Operación realizada: 5.7 ؊ 2.5 Operación realizada: 15.45 ؊ 8 Qué observar a ‫ ؍‬3.2 d ‫ ؍‬7.45 Comprobación: 3.2 ؉ 2.5 ‫ ؍‬5.7 Comprobación: 15.45 ؊ 7.45 ‫ ؍‬8 A diferencia del uso de las literales como variables,b) 4.46 – b ‫ ؍‬2.25 e) e – 5.6 ‫ ؍‬6.8 en las fórmulas de la Operación realizada: 4.46 ؊ 2.25 Operación realizada: 5.6 ؉ 6.8 Actividad 3.2 empiece b ‫ ؍‬2.21 e ‫ ؍‬12.4 a desarrollar el Comprobación: 4.46 ؊ 2.21 ‫ ؍‬2.25 Comprobación: 12.4 ؊ 5.6 ‫ ؍‬6.8 concepto de incógnita; es decir, comente conc) 5.75 ؉ c ‫ ؍‬12.82 f ) f ؋ 2.5 ‫ ؍‬12.5 ellos que encontrar el Operación realizada: 12.82 ؊ 5.75 Operación realizada: 12.5 ، 2.5 valor de la literal en c ‫ ؍‬7.07 f‫ ؍‬5 cada igualdad signiﬁca Comprobación: 5.75 ؉ 7.07 ‫ ؍‬12.82 Comprobación: 5 ؋ 2.5 ‫ ؍‬12.5 encontrar el valor de la incógnita. 135Bitácora pedagógica 135

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 PRACTÍCALO Actividad 3.3Cómo enriquecer 1. Resuelvan y comprueben cada situación. Con la colaboración de su profesor, planteen cada situación con unala actividad ecuación que la represente y escriban en su cauderno las respuestas de las preguntas ﬁnales.Al resolver los a) Un ciclista hace el recorrido entre Toluca y el Distrito Federal en dos etapas. En la segunda etapa reco-problemas de la rre 39.450 km. Si la distancia total es de 74.800 km, ¿qué distancia recorrió en la primera etapa?Actividad 3.3, procure 74 800 kmque presenten suprocedimiento de x 39 450 kmsolución aquellosalumnos que a an Toluca D.F.utilizado ecuaciones.Si aún no las usan, b) En la compra de dos discos compactos iguales me hacen un descuento de $19.70; el total por pagarpropicie que lo es de $177.30. ¿Cuál es el precio original de cada disco compacto?intenten. $98.50Qué observar c) En una barata, los pantalones están a mitad de precio, pero por ser el último día les hacen un descuen-El alumno ya tiene to adicional de $50. Si al comprar uno se paga $397.50, ¿cuál era su precio original?conocimiento delas literales, las a $895utilizado en fórmulasy en limitados casos x ؊ 50 ‫؍‬ 397.50como incógnitas. Tal 2vez convenga que, • ¿Cómo expresarían algebraicamente la solución del problema?previo al desarrollode las actividades, les • Justiﬁquen su propuesta.permita expresar sus La operación inversa es 397.5 ؉ 50 ‫ ؍‬447.5, esto se multiplica por 2 y se obtiene $895, el precio original.ideas a partir de laconcepción que tienen • Escriban las operaciones que realizaron para encontrar el resultado.del uso de las letras en X ‫ ؍‬2(397.5 ؉ 50)matemáticas. X ‫ ؍‬895Transversalidad • ¿Cómo comprobarían que su resultado es el correcto? Sustituyendo 895 en la expresión algebraica.Pida a los alumnos que d) En un circo hay dos taquillas; una vende boletos de gradas a $35 cada uno y la otra vende boletos dejunto con su profesor luneta a $48. En la función del domingo se recaudaron $23 095. Si en ventanilla de luneta se vendie-de Geografía, planteen ron 250 boletos, ¿cuántos boletos se vendieron en la ventanilla de gradas?diferentes expresionesmatemáticas donde 317 boletosse utilicen lasliterales para calcular • ¿Cuánto dinero se recaudó por la venta de boletos en luneta? $12 000diferentes variablespoblacionales; tales • ¿Cuánto dinero se recaudó por la venta de boletos en gradas? $11 095como: crecimientoy composición • ¿Cómo expresarían algebraicamente la ecuación que les permitió obtener los valores de lapoblacional, pobreza, recaudación? 35x ؉ 48(250) ‫ ؍‬23095marginación, pormencionar algunas. • Escriban las operaciones que tuvieron que realizar para obtener estos resultados. 11095 ; x ‫ ؍‬317 35x ؉ 48(250) ‫ ؍‬23095; 35x ؉ 12000 ‫ ؍‬23095; 35x ‫ ؍‬23095 ؊ 12000; 35x ‫ ؍‬11095; x ‫؍‬ 35136 • Realicen la comprobación de sus resultados. 35(11095) ؉ 48(250) ‫ ؍‬23095 136 Bitácora pedagógica

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BLOQUE 3 BLOQUE 3 Qué observar e) Las edades de dos hermanos suman 29 años. Si uno de ellos es 5 años mayor que el otro, ¿qué edad Que los alumnos tiene cada uno? traduzcan los enunciados a una 12 y 17 años. expresión algebraica; utilicen de manera • ¿Qué elementos consideraron para resolver esta situación? La edad de uno de ellos es 5 años mayor. adecuada las Justiﬁquen su respuesta. Si x es la edad del menor; x ؉ 5 es la edad del mayor. propiedades uniforme y cancelativa; efectúen • Escriban la expresión algebraica que les permitió resolver esta situación. las operaciones; x ؉ x ؉ 5 ‫ ؍‬29, simpliﬁcando: 2x ؉ 5 ‫ ؍‬29 validen los resultados; comprueben • Realicen la comprobación de sus resultados. 12 ؉ 17 ‫ ؍‬29; por lo tanto: 29 ‫ ؍‬29 y comuniquen sus procedimientos de • Comparen sus resultados con los de otras parejas. ¿Son iguales? Respuesta abierta resolución. Justiﬁquen su respuesta. Respuesta abiertaComparen sus respuestas con el resto de sus compañeros y con la asesoría de su profesor concluyan la for-ma correcta de realizar un planteamiento algebraico.LO QUE APRENDÍ1. En equipos de cuatro integrantes, analicen el siguiente juego y escriban cuál es su expresión algebraica. Reﬂexión Comenten sus resultados ante el grupo. Sobre el trabajo I. Piensa un número. USA LAS TIC en equipo. II. Multiplícalo por 2. III. Suma 9 al resultado. Para que ejercites más Para que el traba o IV. Suma el número que pensaste al resultado. acerca de ecuaciones grupal sea exitoso, V. Divide el resultado entre tres. algebraicas bajo esta los estudiantes deben VI. Suma 4 a lo que quedó. expresión te invitamos comprender que VII. Resta el número que pensaste al resultado. a visitar la siguiente no basta con estar página electrónica: adscritos formalmente2. Un padre tiene 46 años y su hijo, 12 años. ¿Dentro de cuántos años la edad a un equipo. Es www.thatquiz.org/es/ importante saber del padre será el triple de la de su hijo? 5 años or anizarse. a divisi n del trabajo es un buenHorizonte matemático punto de partida, pero para ello se requiereLas edades de Graciela y Sergio son consecutivas, si sus edades suman 86 años, llegar a acuerdos¿qué edad tiene cada uno? sobre quiénes deberán realizar tal o cual Graciela 42.5 años y Sergio 43.5 años. trabajo. 137 En las matemáticas la labor en equipoBitácora pedagógica permite argumentar y justiﬁcar de manera respetuosa los procedimientos que se llevan a cabo para la resolución de ejercicios. 137

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje Forma, espacio y medida Tema Figuras y cuerpos Contenido 4 .Qué observar ACUÉRDATE DE...Este método es útil Si recuerdas en la primaria aprendiste a construir polígonos regulares de diferentes maneras. Una de ellas es apara la construcción través de la base de una circunferencia. Observa la secuencia de las ﬁguras y describe los pasos que se llevarondel e á ono. Pida para la construcción de un hexágono inscrito a una circunferencia.a los alumnos queanalicen la relación que La edad de uno de ellos es 5 años mayor.tiene con los triángulos 1. Se traza una circunferencia.equiláteros, las medidas 2. Se marca su diámetro.de sus ángulos y por qué 3. Con la misma abertura del compás apoyado en un extremoes posible construirloúnicamente con la del diámetro se corta la circunferencia.medida del radio. 4. Se repite el mismo paso para el otro extremo. 5. Se unen los seis puntos cortados de la circunferencia, con segmentos de recta. 6. Hexágono terminado. Ahora, con tu juego de geometría y con lo que aprendiste acerca del trazo de la mediatriz y la bisectriz en el cua- dro de la siguiente página, construye un octágono. Sigue los pasos que se te indican. 1. Traza una circunferencia de 8 cm de diámetro. Marca el diámetro indicando los puntos de los extremos como A y B. 2. Traza la mediatriz del diámetro hasta tocar los puntos en la circunferencia. Coloca en cada uno los puntos C y D. 138 Bitácora pedagógica138

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BLOQUE 3 BLOQUE 33. Traza las bisectrices de los ángulos que se forman con el origen y une con una línea las bisectrices opuestas hasta tocar puntos (E, F, G y H) de la circunferencia.4. Con tu regla une los puntos que marcaste alrededor de la circunferencia. Qué observar Relacione este tema con los conocimientos que los alumnos ya tienen, por ejemplo el ángulo central de un polígono, los tipos de triángulos y, lógicamente, el trazo de la mediatriz y la bisectriz. Compare la diferencia de la superﬁcie entre un e á ono un octágono inscritos a una circunferencia. • ¿Cuál de los dos métodos anteriores te resulto más fácil para construir un polígono? Cómo enriquecer • Justiﬁca tu respuesta. Respuesta abierta la actividad Respuesta Elabore ejercicios sobre • ¿Cualquiera de los dos métodos anteriores se puede utilizar para construir cualquier polígono? abierta , polígonos para que los alumnos los construyan ¿por qué? Respuesta abierta por otros métodos. • Si no conocieras ninguno de los dos métodos, ¿qué estrategia llevarías a cabo para construir un trián- Pídales que usti quen gulo equilátero con tu equipo de geometría? Respuesta abierta la manera en la que los construyeronCompara tus resultados con los de tus compañeros de grupo y con ayuda de tu profesor concluyan si es que y veriﬁque que losexisten otros métodos para la construcción de polígonos y descríbanlos en el cuaderno. realizaron de manera satisfactoria. 139 De ser necesario, pídales que los construyan en el pizarrón con el juego geométrico de madera.Bitácora pedagógica 139

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 4.1 PRACTÍCALOCómo enriquecer 1. A continuación aparecen algunos polígonos. Encierren en un círculo los que sean polígonos regulares.la actividad En cada caso, midan los lados y los ángulos para comprobar su regularidad.Estas actividades 1.8 cmpresentan otra formade identiﬁcar polígonos Polígono regular. Es el 90º 60ºregulares; propicie que tiene todos sus lados 2.3 cmla participación del y ángulos iguales.grupo al responderlas preguntascorrespondientes.Cuesti nelos asta obtener conclusionesacerca de laspropiedades de lospolígonos regulares.Reﬂexión 135ºSobre la conciencia 0.9 cmdel otro 120º a conciencia del 1.4 cmotro es la capacidadque tenemos para • ¿Qué criterio aplicaron para seleccionar los polígonos que son regulares?darnos cuenta de Que tengan sus lados igualesque no estamos solosen el mundo, que • Observen a su alrededor y mencionen algunos objetos o ﬁguras que, al dibujarlos en el plano, senecesitamos de los vean como polígonos regulares. Respuesta abiertademás y que nuestrasacciones los pueden 140afectar. Es decir,consiste en comprender Bitácora pedagógicaque vivimos ensociedad, que todaslas personas son seres umanos merecen ser tratados con respeto consideraci n. a conciencia del otrotambién se relacionacon cuidar el medio enel que vivimos, en nocontaminar ni destruirlos servicios que todosnecesitamos.140

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BLOQUE 3PRACTÍCALO BLOQUE 3 Actividad 4.21. Cuando un polígono es regular, las mediatrices de sus lados se cortan en un punto que es el centro de Qué observar dos circunferencias, una que inscribe al polígono y otra que lo circunscribe. Haciendo los trazos corres- pondientes, veriﬁquen qué polígonos son regulares. Tracen dos mediatrices y la circunferencia correspon- Al dar respuesta a diente. Hagan diferentes pruebas. las preguntas se puede conﬁrmar Polígono inscrito. Es aquel si los estudiantes polígono que tiene todos comprendieron las sus vértices sobre una características de los circunferencia. polígonos para estar en posibilidad de Polígono circunscrito. Es identiﬁcarlos, ya sea aquel polígono que tiene a simple vista o todos sus vértices sobre una utilizando instrumentos circunferencia. de medición de lados y ángulos.• ¿Sería válido aﬁrmar lo mismo al trazar las bisectrices? Resuelvan algunos casos y coméntenlos. Recursos Si y materiales• ¿Cuáles de estos polígonos no son regulares? En la página de El rectángulo, el rombo, el triángulo isósceles y el triángulo escaleno Geometría Activa, en su artículo• ¿Por qué? Polí onos Polí onos Porque para que un polígono sea regular sus ángulos internos y sus lados deben ser iguales. re ulares , encontrará animaciones 141 interactivas en las que sus alumnos podrán trabajar las características estudiadas de los polígonos. ttp mimosa.cnice. mecd.es clobo eo eb poli2. tmBitácora pedagógica 141

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 4.3Qué observar PRACTÍCALOCon esta actividad 1. Usando regla y compás, traza un ángulo dado. En la ilustración se muestra la forma de trazar un ángulose pretende llevar al igual a otro. Veriﬁca la precisión del trazo midiendo con el transportador ambos ángulos. Anota la medida.estudiante a buscarotras formas de a) Trazar ÁNGULO DADO ÁNGULO OBTENIDOreproducir ángulos; un arco a) Trazar una semirrectaa ora no se utiliza el transportador, sino c) Trasladar laregla y compás. En medidala medida en la queel alumno conozca b) Medir el arco b) Trazar el d) Trazardiversas formas de limitado arcoreproducir ﬁguras,contará con mejores a) Arecursos. C B F b) D E c) I H G • ¿Qué diferencia observaste entre los dos métodos para trazar un ángulo igual a otro? Que el primer método es más sencillo. • Para encontrar el ángulo a partir de una semirrecta, ¿qué tipo de ángulo obtuviste? Agudo , ¿con este método se puede trazar cualquier tipo de ángulo? No Justiﬁca tu respuesta. No, a menos que sea menor a 180°. Compara tus resultados con tus compañeros y con la asesoría de tu profesor obtengan una conclusión. 142 Bitácora pedagógica142

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BLOQUE 3 BLOQUE 3Para leer más e Centro iÁngulos de los polígonosExterior (ѯ e): el que se forma entre un lado y la cprolongación del lado adyacente o contiguo. RadioInterior (ѯ i ): el que se forma entre dos lados ydentro del polígono.Central (ѯ c): el que se forma entre dos radiosconsecutivos. PRACTÍCALO Actividad 4.41. En cada polígono regular identiﬁca: un ángulo exterior (ѯ e), márcalo con rojo; un ángulo interior (ѯ i ), Cómo enriquecer márcalo con verde y un ángulo central (ѯ c), márcalo con azul. Precisa tu identiﬁcación denotándolos la actividad con tres letras. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Observa el ejemplo. Veriﬁque que los A I JK alumnos comprenden F el signiﬁcado de los QL símbolos utilizados, cerciórese de queDB PM saben identiﬁcar claramente los ángulos iH G RO N central, interior y ST exterior, así como, Z el uso adecuado del transportador. X U D A Y V E B Cuestiónelos acerca de ¿cuál es la utilidad W C de saber encontrar estas medidas?2. Con tu transportador mide los ángulos que marcaste y completa la tabla. Solicíteles queCuadrado Equilátero Octágono Hexágono Pentágono propongan otros polígonos para calcular 90° 60º 135° 120º 108º los ángulos: interiores, ѯi‫؍‬ 60° 72º centrales y externos.ѯi‫؍‬ ѯi‫؍‬ 120º ѯi‫؍‬ ѯi‫؍‬ 72º ѯe‫؍‬ 120° ѯe‫؍‬ 60º ѯe‫؍‬ѯ e ‫ ؍‬90º ѯc‫؍‬ ѯe‫؍‬ 45º ѯc‫؍‬ ѯc‫؍‬ѯc‫؍‬ 90º ѯc‫؍‬ 45º • ¿Qué método usaste para obtener la medida de los ángulos de estas ﬁguras? El transportador • ¿Cuánto mide el ángulo exterior sumado al ángulo interior adyacente a él en todos los polígonos? 180º Justiﬁca por qué ocurre esto. Son suplementarios, forman un ángulo llano • ¿Cuál es la suma de los ángulos centrales de todos los polígonos? 360º Explica de qué manera lo determinaste. Todos forman una circunferencia.Compara tus resultados con el resto del grupo y con la asesoría de tu profesor escribe una conclusión sobrelos procedimientos que seguiste para realizar esta actividad. 143Bitácora pedagógica 143

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer PRACTÍCALO Actividad 4.5la actividad 1. Tracen el polígono regular correspondiente dada la medida del ángulo central. De acuerdo con el espa-Al desarrollar la cio, decidan la magnitud de sus lados. Comenten sus procedimientos con el grupo.actividad, pregunte alos estudiantes cómo a) ѯ c ‫ ؍‬120°‫؍‬ c) ѯ c ‫ ؍‬60°saben que están Se forma un triángulo equilátero. Se forma un hexágono regular.trazando un polígonoregular, de acuerdo b) ѯ c ‫ ؍‬90° d) ѯ c ‫ ؍‬45°con la información Se forma un cuadrado. Se forma un octágono regular.proporcionada en cadainciso. 2. Tracen el polígono regular correspondiente dada la medida del ángulo interior. De acuerdo con el espa-En ambos incisos cio, decidan la magnitud de sus lados. Comenten sus procedimientos con el grupo.proponga nuevosángulos centrales a) ѯ i ‫ ؍‬108° b) ѯ i ‫ ؍‬140°e internos y que Se forma un pentágono regular. Se forma un eneágono regular (nonágono).construyan en sucuaderno el polígono c) ѯ i ‫ ؍‬150° d) ѯ i ‫ ؍‬160°que se forma. Se forma un dodecágono regular. Se forma un polígono de 18 lados.Mediante el uso deljuego de geometríade madera pida a unalumno que pase aconstruir el polígonode acuerdo con elángulo propuesto.Recursos • ¿Cómo consideran que es más sencillo iniciar la construcción de los polígonos, con una línea ver-y materiales tical o una horizontal? Horizontal Expliquen su respuesta. Es más sencillo colocar el transportador.En la página de • ¿Cómo encontraron la distancia para localizar el vértice de cada lado sobre los trazos de cada ángulo?Descartes, en su Midiendo con la regla o tomando la distancia con el compás.artículo de n ulos de un polí ono , • ¿Cuántas veces tuvieron que medir el ángulo central para poder terminar las ﬁguras? Una por vértice.encontrará animaciones • ¿Consideran que los polígonos que trazaron tienen una buena exactitud? Respuesta abiertainteractivas en las que • ¿Cómo podrían realizar mejor sus trazos? Respuesta abiertasus alumnos podrán Comparen sus resultados con los de sus compañeros, y con la asesoría de su profesor elaboren una conclu-trabajar con los ángulos sión que indique cuál es la mejor manera de resolver estas actividades. Anótenla en su cuaderno.internos y exteriores de 144los polígonos. Bitácora pedagógica ttp descartes.cnice.mec.es materialesdidacticos Poli onosre ulares circulosPolici . tm144

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BLOQUE 3 BLOQUE 3PRACTÍCALO Actividad 4.61. Si no tienes a la mano un transportador, puedes construir un recurso que te ayudará a medir algunos Cómo enriquecer ángulos de los más usuales. Realiza esta serie de dobleces a un trozo cuadrado de papel. Utiliza un cua- la actividad drado de 10 cm por lado. Aun cuando los st u 450 150 900 estudiantes cuenten r con transportador, v 300 750 pídales que desarrollen m no w 750 la Actividad 4.6 y l gh 900 600 1200 que expliquen cómo x 900 1200 600 300 utilizarían esa o a para pq 1200 600 900 medir los ángulos. ij k 600 1200 900 Estimule la participación a bcd e 600 900 del grupo para que 900 600 600 propongan algunos 2. Con el recurso que acabas de formar, mide los ángulos. F ángulos para medirlos.C ѯ DEF ‫ ؍‬31º E ѯ ABC ‫ ؍‬100º I D A ѯ GHI ‫ ؍‬128°B HG • Explica el procedimiento que seguiste para medir los ángulos. Con el cuadrado construido. • Veriﬁca tu respuesta con el transportador. ¿Son iguales o qué tanta diferencia hubo? No, son valores aproximados.Compara tus resultados con el resto del grupo y con su profesor analicen la utilidad de la técnica propuestapara medir los ángulos más usuales. 15Bitácora pedagógica 145

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 LO QUE APRENDÍ 1. Con los puntos construyan un polígono estrellado.Cómo enriquecer • ¿Qué polí ono se orm al centro de la estrella? Eneágono (polígono de nueve lados).la actividad Si unen los puntos consecutivos, ¿se forma el mismo polígono? SiEste tipo de polígonospermite acer diversas • Expliquen por qué. Porque los lados son semejantes.construcciones, pidaa sus alumnos que • ¿Cuántas puntas tiene la estrella que dibujaron? Nueve puntascopien los puntos ensu cuaderno y que • ¿ s posible trazar el polí ono estrellado sin despe ar el lápiz ? Sitracen otros polígonosestrellados siguiendo Expliquen por qué. Porque sus vértices se pueden unir de forma consecutiva.una secuencia diferenteen los puntos que se • Describan los polígonos internos que se formaron en este polígono estrellado.presentan.Al ﬁnal de la actividadpida a un representantedel equipo para queexplique la secuenciaque utilizó para laconstrucción delpolígono estrellado.Si es necesarioproponga situacionespara que obtenganeste tipo de polígonos. Un eneágono, se forma en la parte interna; trapezoides simétricos con un solo eje de simetría y triángulos. USA LAS TIC Para conocer más acerca de la construcción de polígonos regulares te invitamos a visitar la siguiente página electrónica: nea.educastur.princast.es/ repositorio/VIDEOS/1_nea_ colab08_ﬁchero1033_1.swf 146 Bitácora pedagógica146

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BLOQUE 3 BLOQUE 3Eje Forma, espacio y medidaTema MedidaContenido 5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares ACUÉRDATE DE...Cuando estudiaron la primaria aprendieron a realizar cálculos acerca del perímetro y el área de polígonos Cómo enriquecerregulares. la actividadSeleccionen un objeto de tamaño mediano y con forma rectangular y tomen sus dimensiones (largo y ancho), Puede continuar calculen su perímetro y área y comparen sus resultados con otros equipos. esta actividad con el análisis de un PRACTÍCALO Actividad 5.1 cuadrado, después de un rectángulo yDel plano de un parque de diversiones se tomaron los juegos que se encuentran en el interior de cada polígo- posteriormente conno regular. algunos triángulos (equiláteros e isósceles) Barco Carrusel para que los alumnos los relacionen con el área de un polígono regular.h = 8.6 m Fuente 10m 12mMontaña rusa Rueda de la fortuna a = 20.7m 24m a = 21.7m 18m 30m 17Bitácora pedagógica 147

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer 1. Completa la tabla calculando el área y el perímetro donde se encuentran ubicados los juegos, así comola actividad el nombre del polígono donde están presentes.Supervise que los Perímetro Barco Carrusel Montaña Fuente Rueda de laalumnos apliquen rusa fortunacorrectamente 30 m 48 m 144 mlos algoritmos en 150 m 144 mlas fórmulas deperímetro y área; que Área 43 m2 144 m2 1 545 m2 1 490.4 m2 1 562.4 m2identiﬁquen bien los Cuadradodatos que se presentan Nombre del Triangulo Pentágono Hexágono Octágonoen los polígonos de polígono equiláteroesta actividad.Indúzcalos a 2. ¿Cuál es la fórmula que utilizaste para calcular el área del terreno donde se encuentran la montaña rusa,que realicen la Pacomprobación de la fuente y la rueda de la fortuna? A ‫؍‬ 2 , ¿para el terreno donde está el barco?resultados, esto con laintención de fomentar A ‫؍‬ ba , ¿y para el terreno donde se ubica el carrusel?este buen ábito. 2 A ‫؍‬I2 3. Deﬁne con tus propias palabras lo que es un polígono regular. Figura geométrica que tiene sus lados y ángulos iguales. 4. Escribe el nombre de tres polígonos que no sean regulares. Triangulo escaleno, trapecio, trapezoide. 5. Explica, ¿por qué los ejemplos que escribiste no se consideran polígonos regulares? Porque no cumplen con la deﬁnición de polígono regular. 6. Compara tus resultados y respuestas con las de tus compañeros de grupo y bajo la supervisión de su pro- fesor veriﬁquen que están en lo correcto. PRACTÍCALO Actividad 5.2Qué observar Observen las ﬁguras y respondan las preguntas. l = 4 cmEsta actividad se l = 4 cm h = 3.4 cmtrabajará en parejas. a = 4.8 cmDé el tiempo necesario a = 4.8 cm Figura Bpara que los alumnosanalicen cada ﬁgura Figura Ay responan lo quese les pida. 18Recursosy materialesEl Geoplano de Bitácora pedagógicala página de laBiblioteca Nacional deManipuladores Virtualesbrinda la oportunidadde calcular el área dediversas ﬁguras planas.ttp nlvm.usu.edu es nav ramesasid 282 t.tml?open activities148

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BLOQUE 3 BLOQUE 3• Expliquen la manera para calcular el perímetro de cada ﬁgura. Sumando el valor de todos lados de cada ﬁgura.• ¿Cuál es el perímetro de la ﬁgura A? 40 cm Cómo enriquecer la actividad• ¿Qué polígonos regulares encuentran en ambas ﬁguras? Triángulos y cuadrados. Cuestione a sus• ¿Cuál es el área de la ﬁgura A? 60.8 cm2 . Describan el procedimiento que siguieron. alumnos acerca de qué tipo de polígonos lasSe calcula el área del octágono y se le resta el área del cuadrado. constituyen. Propicie la • ¿Cuál es el área de la ﬁgura B? 63.2 cm2 . Describan el procedimiento que siguieron. argumentación y la justiﬁcación sobre laSe calcula el área del octágono y se le resta el área de los dos triángulos. manera de obtener su solución y entre todo• ¿Cuál es el valor del perímetro de la ﬁgura B? 40 cm el grupo veriﬁquen que sus resultados son los PRACTÍCALO Actividad 5.3 correctos.1. Resuelvan los siguientes ejercicios y dibujen el esquema correspondiente a cada situación. Qué observara) Una fábrica elabora sombrillas para la playa. Se necesita tela cortada en forma de polígono regular. provec e estos ¿Cuánta tela necesitará si quiere fabricar 75 sombrillas de 8 lados, si se sabe que el lado mide 75 cm y la problemas para apotema es de 286.14 cm? 6 438 150 o 643.815 cm2 reaﬁrmar el análisis objetivo de cada uno Se calcula el área de una sombrilla y se y con base en esto • pliquen los pasos que si uieron para resolver esta situaci n. multiplica por 75. cuestione a los alumnos sobre el planteamiento Se calcula la cantidad de tela que ocupa una sombrilla y después se multiplica de la estrategia que • usti quen su procedimiento. por la cantidad de sombrillas que se desea fabricar. realizaron para su solución. Durante• scriban las operaciones que realizaron. el proceso, pídales que justiﬁquenA‫؍‬ 75(8)(286.14) ; A‫؍‬ (600)(286.14) ;A ‫؍‬ 171 684 ; A ‫ ؍‬85 842 cm2. Este valor se multiplica sus propuestas y 2 2 2 resultados.por 75: A ‫( ؍‬75)(85 842 cm2); A ‫ ؍‬6 438 150. Cambiando númerosb) La antena de una compañía telefónica tiene una base hexagonal. Se realizó una medición del área de la El área correcta de la base e a onal de la base de la antena y se obtuvo que es de 150.36 m2. Si cada uno de sus lados mide 4 m, ¿Cuánto mide antena es de 41.52 m2.la apotema de la base de la antena? 3.46 m Proporcione este dato Se divide el hexágono en seis triángulos y después se a sus alumnos para toma uno de ellos para dividirlo en dos, el lado recto del obtener las respuestas• pliquen el procedimiento que llevaron a cabo. triángulo será la apotema a calcular. acertadas de esta situación.• usti quen su planteamiento. Respuesta libre 19• ¿Qué rmula utilizaron para encontrar el resultado? b ‫ ؍‬Ίහc 2 හ؊ aහ2• scriban las operaciones que realizaron. b ‫ͱ ؍‬හ4 2හ؊ හ22 b ‫ͱ ؍‬1හ6 ؊ 4 b ‫ͱ ؍‬1හ2 b ‫ ؍‬3.46Bitácora pedagógica 149

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer c) En la ﬁesta del pueblo de San Gabriel han montado una carpa de forma regular de 10 lados para lala actividad verbena nocturna. En cada vértice se coloca una lámpara, si se sabe que del punto central hacia la parteQue los alumnospropongan situaciones media de un lado hay 15 m, ¿a qué distancia se encuentra cada lámpara si el área de la carpa es deque se presentan en 727.5 m2? 9.7 msus vidas cotidianas, De la fórmula A‫؍‬ Pa , despejamos P: P ‫؍‬ 2A , aldonde utilicen los 2 anúmeros fraccionarios, • ¿Qué pasos si uieron para resolver esta situaci n? resultado lo dividimos entre 10.pida que justiﬁquen Se necesita encontrar el perímetro y después se divide entre diez, los cuales son losla manera como lo Justiﬁquen su respuesta. lados de la carpa.abordarían para que 2Ael resultado obtenido • ¿Qué P ‫؍‬ asea lo más cercano ormula utilizaron para encontrar el valor de cada lado? posible a lo que sedesea encontrar. • scriban las operaciones que realizaron. P ‫؍‬ (2)(727.5) ; P ‫؍‬ (1455) ; P ‫ ؍‬97 m. Este valor se divide entre 10: l ‫؍‬ 97 ;l‫؍‬ 9.7 m. 15 15 10 d) La base para construir una torre de control aéreo tiene una forma de polígono regular de cinco lados. • ¿Cuál será el valor del área si se desea que cada lado mida 1 m la apotema sea de 1 . m? 543.75 m2 Aplicando la fórmula para calcular el área de un • ¿Qué procedimiento emplearon para resolver esta situaci n? polígono regular. • usti quen su respuesta. Se tiene el valor de uno de sus lados y la apotema del polígono regular. Pa • scriban la rmula que emplearon para obtener el resultado. A ‫؍‬ 2 • scriban las operaciones que llevaron a cabo para resolver esta situaci n. A ‫؍‬ (75)(14.5) ; A ‫؍‬ 1087.5 ; A ‫؍‬ 543.75 m2 2 2Qué observar e) Supongamos que la primera ﬁgura es la imagen del perﬁl de una caja. Al hacer presión sobre ella se obtie- ne la segunda ﬁgura.Que los alumnos • ¿Cuánto mide cada lado de la primera? 1.2 cmutilicen las propiedades • ¿ la de la se unda? 1.2 cmde los paralelogramos • ¿Qué nombre recibe la primera ﬁgura? Cuadradopara dar respuestas • ¿Qué nombre recibe la segunda ﬁgura? Romboconcretas a laspreguntas planteadas. • ¿Qué diferencias y qué coincidencias hay entre las dos ﬁguras? Los lados son iguales, ambos son paralelos. 150 Bitácora pedagógica150

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BLOQUE 3 BLOQUE 3f) Para el piso de una catedral se quiere construir mosaicos como el de la imagen. Obsérvenla y contes- ten lo que se les pide. a ϭ 3.7 cm Cómo enriquecer la actividad 2 cm na vez que a a a ϭ 1.7 cm observado que los alumnos manejan el• ¿Cuántos lados tiene el centro del mosaico? Doce lados análisis y resolución de ﬁguras compuesta,• ¿Cómo se llama este polígono regular? Dodecágono aumente el grado de complejidad al manejar• ¿Cuál es la medida de la superﬁcie del polígono que se encuentra en el centro del mosaico?44.4 cm2 ﬁguras como la que se muestra en el inciso f)• ¿Cuál es el valor de su perímetro? 24 cm de la actividad.• ¿Cuánto mide el área de cada hexágono? 10.2 cm2 Permita que los alumnos elaboren y• ¿Cuánto mide su perímetro? 12 cm realicen los cálculos de perímetro y área que se vieron durante este contenido. Veriﬁque que los cálculos de las ﬁguras presentadas sean correctos. Propon a uras como estas para que sigan realizando los cálculos de perímetro y área.• ¿Cuál es la suma total del área de los cuadrados? 24 cm2• ¿Cuál es el perímetro de un solo cuadrado? 8 cm• ¿Cuál es el perímetro de uno de los triángulos? 6 cm , y el valor de su área es: 1.7 cm2• ¿Cuál es perímetro total del mosaico? 48 cm¿ cuál es su área total? 78.6 cm2• Expliquen qué procedimiento utilizaron para calcular tanto el perímetro como el área total del mosaico. Para el perímetro se multiplicó el valor de su lado por 24; y el área, sumando todas la áreas de los polígonos que se indicaron.• En el mosaico se observan otros tipos de polígonos, ¿cuáles son? Trapecio isósceles , ¿de qué tipo son estos polígonos? CuadriláterosAhora comenten con otros equipos sus resultados y bajo la supervisión de su profesor expongan y justiﬁquenlos procedimientos que emplearon para resolver cada una de estas situaciones. 151Bitácora pedagógica 151

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 LO QUE APRENDÍ Encierren con color verde aquellas ﬁguras que sean polígonos regulares.Cómo enriquecer h = 3.4 r = 1.5 l=2 b=2la actividad l=4 1.5 a = 1.7 h=2Propon a otras a=2 B=3ﬁguras para que losalumnos apliquen lo l=3 l=2aprendido durante estecontenido. d=3De la misma manera D=6que trabajan con 5.19las fórmulas deperímetro y área,el planteamiento,operaciones ycomprobaciones deestas últimas sonmuy importantes encualquier operaciónmatemática. a = 3.7 l=5 L=3 Escriban el nombre de los polígonos regulares que encontraron, ordénenlos de menor a mayor según su número de lados y regístrenlos en la tabla. Nombre del polígono Área Perímetro Triángulo 6.8 u2 12 u Cuadrado 4 u2 8u Pentágono 15 u2 15 u Hexágono 10.2 u2 12 u Octágono 44.4 u2 24 u Comenten sus resultados con otros equipos. Con la asesoría de su profesor obtengan una conclusión general de los polígonos regulares. 15 Bitácora pedagógica152

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BLOQUE 3 BLOQUE 3Desarrolla tus habilidades Qué observarConstruye tres polígonos regulares de la medida que consideres adecuada, de tal Veriﬁque que losmanera que cada uno de ellos tenga sus lados paralelos dos a dos. alumnos sean capaces de construir polígonos Respuesta abierta a partir de datos dados. Es válido que los alumnos utilicen el método de inscribir los polígonos en una circunferencia, calculando el valor del ángulo central o que lo construyan a partir de uno de los lados tomando como dato su ángulo interior • ¿Qué otros polígonos regulares presentan estas características? USA LAS TIC Respuesta abierta Para que aprendas más • Justiﬁca tu respuesta. Respuesta abierta acerca del cálculo de • ¿Qué polígonos regulares no presentan lados opuestos paralelos? perímetros y áreas de polígonos regulares Respuesta abierta visita la siguiente páginaComenta tus respuestas con el resto del grupo. electrónica, te aseguramos que te divertirás:Bitácora pedagógica www.vitutor.com/geo/eso/ ar_e.html 153 153

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 EjeQué observar Tema Contenido 6Dé un tiempo situaciones dadasrazonable para que elgrupo resuelva inciso ACUÉRDATE DE...tras inciso y propiciela participación; esto 1. Lee, analiza y resuelve la siguiente situación.le da la oportunidad Doña Lupe y su hija van al mercado, y encuentran una promoción en la venta de 3kg de naranjas por $16.de contar con más • i su i a compra 12 de naran as, ¿cuánto pa ? $63.6evidencias parala evaluación del • ¿Qué operaci n realizaste para obtener el resultado? aprendizaje de los Primero una división 16 ، 3, y el resultado por 12.alumnos. • i doña upe compra naran as para acer u o durante toda la semana pide 0 de naran as, Reﬂexión ¿cuánto pagará? $159Sobre la tolerancia • ¿Cuánto cuesta el ilo ramo de naran a? $5.3y la convivenciacotidiana con • ¿C mo obtuviste esta cantidad? Dividiendo 16 entre 3.los demásPracticar el valor de • ¿Cuál es el prop sito de encontrar este n mero? Encontrar el valor unitario por cada kilogramo.la tolerancia signiﬁcaadmitir en los demás • i doña upe decide solo llevarse , ¿cuánto le cobrarán? $26.5maneras de ser, deactuar o de pensar • plica c mo planteaste la situaci n obtuviste el resultado. distintas a las nuestras. Si 1 kg de naranja cuesta $5.3, entonces por 5 kg se pagan $26.5 a tolerancia es un valor fundamental no Discute con tus compañeros y tu profesor tus planteamientos y operaciones.solo para mantenerbuenas relaciones 15de convivencia conlos demás, sino para Bitácora pedagógicamantener unida ala sociedad. En lapráctica cotidiana latolerancia es aceptarque las costumbres,tradiciones, creenciasreligiosas, apariencia,limitaciones físicas opreferencias sexualesno tienen por qué darpauta al maltrato oa la discriminación.En las matemáticas, latolerancia es de sumaimportancia, en laresolución de ejerciciosy en las operaciones sedebe dar un tiempoadecuado pararealizarlas.154

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BLOQUE 3PRACTÍCALO BLOQUE 3 Actividad 6.11. Junto con un compañero analiza estas situaciones y respondan lo que se indica. Cómo enriquecer a) Para las ﬁestas patrias un taller de costura se dedica a la fabricación de banderas de 1m de largo por la actividad 0.5m de ancho. • i un cliente le solicita 2 banderas a la mitad de sus dimensiones, ¿cuáles serán las nuevas dimensio- A partir de situaciones nes de las banderas? como la que se 0.5 m por 0.25 m presenta en esta actividad, pida a • ¿De qué orma encontraron el resultado? los alumnos que Dividiendo las dimensiones iniciales entre dos. propongan situaciones semejantes. • i otro cliente solicita 1 banderas para adornar una o cina pero las quiere de la octava parte de su fabricación inicial, ¿cuáles serán las dimensiones de la bandera? Solicite a un alumno 0.125 m por 0.0625 m que pase al frente y explique cuál fue • pliquen su procedimiento. la manera en que Si tenemos que las dimensiones iniciales son de 1m y de 0.5 m, a estas las dividimos entre ocho. abordó cada una de las situaciones de la • l taller lle a una persona que solicita una bandera que sea el triple de las dimensiones de abricaci n, Actividad 6.1, que ¿qué dimensiones tendrá esta bandera? justiﬁque su solución 3 m por 1.5 m y encuentre la constante de proporcionalidad para cada uno de los casos.• pliquen la manera en cómo obtuvieron el resultado. Multiplicando las dimensiones iniciales por 3. 155Bitácora pedagógica 155

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MATEMÁTICAS 1Qué observar MATEMÁTICAS 1 • i el taller vende una bandera en 0 con las dimensiones iniciales, ¿cuánto pa ará el primer clientePropicie que al por las banderas? $187.5resolver los problemas,los alumnos vayan • En su cuaderno escriban el procedimiento que emplearon.consolidando susprocedimientos de • ¿Cuánto deberá pa ar el se undo cliente? $7 ,solución. ¿y la persona que se lleva una sola bandera? $270Cambiando números • pliquen c mo obtuvieron estos dos ltimos resultados. El segundo cliente pidió solo 1 de lasIncluya estas preguntas 8de análisis, para quesus alumnos puedan dimensiones iniciales, cada bandera le sale en $0.43 este resultado se multiplica por 15. El tercer cliente pidecompletar la situación 3 veces las dimensiones iniciales por lo que se multiplica por tres, la bandera le cuesta $270.planteada.• i cada lado de la Comparen sus procedimientos y resultados con el resto del grupo y bajo la supervisión de su profesor expón- galos en clase. original mide 48 cm, ¿cuáles son las b) En las papelerías hay mapas de varios tamaños: carta, minimapas, en los que cada lado mide la medidas de cada una mitad del tamaño carta, y doble carta, en los que cada lado mide el doble del tamaño carta. En el de las tres copias? mapa tamaño carta cada centímetro representa, aproximadamente, 100 km. ¿Qué distancia repre-36 cm, 24 cm y 12 cm senta ese centímetro en el minimapa y en el mapa doble carta?• ¿ Con cuántas fotografías de la Bloque 1 reducción deseada puedes cubrir la ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA fotografía original?16 Golfo de California N OCÉANO PACÍFICO OE ópico de Cáncer Golfo de S HABITANTES POR KM2 1995 México Trópico de Cánce 80 y más 40 a 79 BELICE En el minimapa: 200 km. 20 a 39 En el doble carta: 50 km. 10 a 19 Golfo de GUATEMALA Tehuantepec Bloque 10 a 9 ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA Mapa 1.10 N rópico de Cáncer Golfo de California OE HABITANTES POR KM2 1995 OCÉANO PACÍFICO 80 y más Golfo de S 40 a 79 México Trópico de Cánce 20 a 39 10 a 19 BELICE Bloque 01a 9 Golfo de GUATEMALA Mapa 1.10 ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA 30º N Golfo de California OE OCÉANO PACÍFICO Trópico de Cáncer Golfo de S 25º México Trópico de Cáncer HABITANTES POR KM2 1995 20º 20º 80 y más BELICE Mar 40 a 79 Caribe 20 a 39 10 a 19 15º 0a9 15º Golfo de GUATEMALA 115º Mapa 1.10 c ) Una fotografía cuadrada se ha reducido de manera que la primera copia es 3 de la original; la 2 1 4 segunda reducción es 3 de ésta y la reducción deseada es 2 de la anterior. 15 Bitácora pedagógica156

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BLOQUE 3 BLOQUE 3Cada integrante necesitará tomar una hoja tamaño carta (las hojas deben ser iguales) córtenla a la mitad Qué observarpor lo largo, luego con la regla se debe dividir cada mitad en nueve partes, como se muestra en la ﬁgu-ra. En la parte superior de la primera tarjeta deberán anotar su nombre y en cada casilla en nombre de Para que un ue o nueve objetos, animales o cosas que le gusten al jugador; en la segunda tarjeta anotarán las mismas cosas sea justo o injustoque en la primera pero ahora anotarán su nombre debajo de cada objeto que seleccionaron. es necesario que los alumnos analicen laTeniendo listas las tarjetas, de la segunda (la que tiene el nombre debajo de los objetos) deberán cortar dinámica y, despuéslas nueve secciones, doblar cada una y colocarlas dentro de una bolsa de plástico (que de preferencia no de realizar sussea transparente). conjeturas, decidan si las condiciones son las • ¿Quién consideran que ganará el juego?Respuesta abierta mismas para todos los participantes. En caso• ¿Por qué consideran que tiene más posibilidades de ganar?. Expliquen su respuesta. contrario, pídales que Respuesta abierta argumenten: ¿cuáles serían las condiciones• ¿Consideran que es un juego justo? Respuesta abierta , ¿por qué? ideales de un juego Respuesta abierta para que este sea justo para todos los• ¿ iste la posibilidad de que al uien pudiera tomar venta a para poder anar? Si participantes?• Considerando que son tres jugadores, ¿uno solo tiene más posibilidades de ganar o de perder? Perder• ¿Por qué lo consideran así? Porque todos tienen igualdad de condiciones.Durante el juego• Decidan quién iniciará el juego.• Por turnos, cada jugador sacará un papelito y leerá en voz alta el nombre del objeto y el jugador alque pertenece, por ejemplo, el autom vil de rturo o el atito de Diana al ser nombrado cada objeto el jugador al que pertenece deberá colocar una pieza en su tablero. Gana el primero encompletar su planilla, tradicionalmente debe decir en voz alta para indicar que a an .Después del juego ¿Por qué ocurrió esto? • ¿Ganó la persona que ustedes consideraron? Respuesta abierta • El juego fue justo, es decir, ¿le da a cada jugador la misma oportunidad de ganar? _S_i___. Expliquen su respuesta. Porque todos tienen igualdad de condiciones. • ¿Consideran que si repite el juego dos veces más el resultado será similar al que obtuvieron? • Expliquen su respuesta. Respuesta abierta • Si se incrementa el número de jugadores a cinco, ¿la posibilidad de que cada uno gane es más grande o es menor? Menor • Justiﬁquen su respuesta. Respuesta abiertaCompartan sus respuestas sus compañeros de grupo y con la asesoría de su profesor analicen los resultadosy las justiﬁcaciones de cada uno para obtener una conclusión, regístrenla en su cuaderno junto con una opi-nión personal de la actividad. 163Bitácora pedagógica 163

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 7.5Qué observar PRACTÍCALOEn la Actividad 7.5 1. Analiza junto con uno de tus compañeros la situación que se plantea y respondan las preguntas.veriﬁque que losalumnos ordenan • ván tiene tarea su maestro le pidi que realice un e perimento aleatorio que re istre sus resulta-adecuadamente los dos. Se le ocurrió tomar una caja de zapatos, cinco pelotitas de goma y con un marcador las numerónúmeros y que cuenten del uno al cinco. Luego seleccionó al azar una pelotita 40 veces y registró su resultado de esta manera:la cantidad de datos. 1, 5, 1, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 3, 2, 5, 3, 2, 5, 1, 4, 5, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 3, 3, 4, 4, 1, 5, 3, 2, 2, 4, 3, 1, 5, 1, 4,Este resultado debe 1. Lo primero que hizo fue ordenar sus resultados. Ordenen los números de menor a mayor.ser igual a los datos 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,ya ordenados, lo cual 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.facilitará su conteo y porende la elaboración de 15141la tabla de frecuencias 23413resultara más sencillo. 25325Indíqueles la 14532importancia tiene 41353conocer la frecuencia 34415de un experimento. 32243 15141 • Ahora, cuenten cuántas veces se repite cada número y anótenlo en la siguiente tabla. Número 1 2 3 4 5 Total Frecuencia 10 6 9 8 7 40 • Como se habrán dado cuenta, la frecuencia es el número de veces que se repite un dato, ¿cómo comprueban que las frecuencias que calcularon son correctas? Comparando la tabla con la serie de datos ordenados. 164 Bitácora pedagógica164

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BLOQUE 3 BLOQUE 3 Por ltimo, re istr sus datos en una abla de recuencias , donde represent la recuencia absoluta Cómo enriquecer la frecuencia relativa. Completen la tabla. la actividad Resultados Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Comente con sus alumnos algunas 1 10 0.1 situaciones similares 2 6 0.15 y analice por qué la 3 9 0.225 suma de la frecuencia 4 8 0.2 relativa siempre es 5 7 0.175 uno y determine la 6 40 importancia que esto 1 tiene en relación Total con el porcentaje. Destaque también el• ¿Cómo calculó la frecuencia relativa? Dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de casos posibles. papel de este en la interpretación de los¿Cuánto sumó el total de la frecuencia absoluta? 40 , ¿cuánto sumó el total de la frecuencia relativa? resultados para realizar la toma de decisiones. 1 . ¿El total de la frecuencia relativa sería el mismo si hubiera tenido otro grupo de números?Si Solicíteles que realicen un experimento Porque siempre se comprara la frecuencia absoluta con el total, por lo que siempre diferente en el salón• Expliquen su respuesta. la relativa da 1. de clases y en su cuaderno elaboren• ¿Por qué creen que se calcula el valor de la frecuencia relativa? una tabla como la que Porque da un numero decimal con el que se puede obtener el porcentaje. se trabajó en esta actividad.2. Ahora, realicen un experimento aleatorio ustedes mismos. Consigan un dado, láncenlo 50 veces y al igual que Iván en su cuaderno, registren sus resultados, ordénenlos de menor a mayor y construyan una tabla de Cambiando números frecuencias. Sustituya el valor deAntes del experimento Si . 0.1 por el de 0.25 No para obtener el valor • ¿Consideran que todos los números tienen la misma posibilidad de salir? correcto de la suma de la Frecuencia • ¿Creen que al ﬁnal todos los números salgan el mismo número de veces? relativa (1). Expliquen su respuesta. Porque es un experimento aleatorio.• ¿Consideran que puede existir alguna similitud en los resultados en comparación con la tabla de Iván? No ¿Por qué? Porque a pesar de que el procedimiento es el mismo, los experimentos son independientes.Después del experimento • ¿Cuánto sumó el total de la frecuencia relativa? 1 , ¿cuánto sumó el total de la frecuencia absoluta? 50• Según su experimento, ¿algún número tiene más posibilidades de salir que otro? Expliquen su respuesta. Porque todos los resultados son equiprobables.Comparen sus resultados con el resto del grupo y con la asesoría de su profesor obtengan una conclusióngeneral acerca de esta actividad. 15Bitácora pedagógica 165

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 LO QUE APRENDÍ 1. Reúnete con dos compañeros para jugar el Juego de la oca. Registren en la tabla lo que se indica. Respuesta abiertaCómo enriquecer Nombre del jugador Numero Número de vecesla actividad del dado que aparecióDé el tiempo suﬁciente Respuesta abierta 1para realizar esta Respuesta abierta 2actividad, comente Respuesta abierta 3con el grupo la 4relación que tiene el 5juego con el azar y los 6procesos estadísticos, 1pida también que 2valoren si el juego 3es justo o injusto y 4cuál consideran que 5es la mejor manera 6de interpretar los 1resultados que 2obtuvieron. 3 4 5 6 • ¿Quién fue el ganador? Respuesta abierta • ¿Cuántas tiradas realizó para ganar? Respuesta abierta • ¿Cuál fue el número que apareció con más frecuencia del jugador que ganó? Respuesta abierta USA LAS TIC • ¿Cuál fue el número que apareció con menor frecuencia del jugador que ganó? Aprende jugando con la probabilidad al ingresar Respuesta abierta en esta página electrónica: www.telesecundaria. Desarrolla tus habilidades dgme.sep.gob.mx/ interactivos/1_primero/1_ En un cajón hay 40 calcetines: 20 negros y 20 azules. Sin ver, ¿cuántos cal- Matematicas/1m_b03_t09_ cetines tienes que sacar para asegurar que tienes un par del mismo color? s03_interactivo/index.html 3 calcetines 166 Bitácora pedagógica166

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BLOQUE 3 BLOQUE 3EjeTemaContenido 8 ACUÉRDATE DE...Cuando estabas en la primaria aprendiste a construir tablas de frecuencias. Frecuencia. Número de veces1. Junto con un compañero realiza la siguiente actividad. que ocurre un suceso.a) n cierto noticiario le eron la si uiente nota é ico tiene 108 millones de abitantes la pobreza e tre- Cómo enriquecer ma afecta, en promedio, a 1 de los me icanos . sta misma noticia se dio en otro noticiario con estos la actividad términos isten apro imadamente 400 000 me icanos que viven en condiciones de pobreza e trema . Inegi. Censo de población 2010 (www.inegi.org.mx). Conduzca la sección ACUÉRDATE DE , • ¿Cuál de las dos noticias te parece más alarmante? Respuesta abierta para que los alumnos den la respuesta de• ¿Se está reﬁriendo a lo mismo? Si . ¿En qué coinciden ambas notas? apreciación a la primera pregunta, yEn la cantidad de mexicanos que viven en pobreza extrema. luego comprueben si las cantidades son • Promueve con tus compañeros una discusión relacionada con la situación anterior y obtengan una equivalentes acen conclusión. referencia a lo mismo.Para tener en cuenta Oriente las observaciones paraLlamamos frecuencia absoluta al número de veces que se considera cada dato. que los estudiantes se den cuenta acercaLa frecuencia relativa nos indica que parte del total de las frecuencias corres- de lo importante queponde a cada dato y se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el total resulta la comunicaciónde observaciones. a través del manejo de las cifras.PRACTÍCALO Actividad 8.11. Lee las situaciones de cada inciso; analiza las tablas correspondientes y complétalas. a) Supongamos que en el ejido San Juan se sembró sorgo durante cuatro años en cuatro parcelas de igual superﬁcie. Los resultados de la producción se muestran en la tabla. 17Bitácora pedagógica 167

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar Parcela Producción de kilogramos TotalEsta actividad, cuyo 1 2006 2007 2008 2009 5 015planteamiento se 2 4 220encuentra en la 3 15 1 70 1050 870 4 620página anterior, tiene 4 90 1120 5 595la ﬁnalidad de que el 1430 790 1350 1120alumno se prepare a 2440 90través del cálculo de 870 1200porcentaje, la preguntaque se realizó con 1620 575anterioridad que teníaque ver la ﬁnalidad de • En el año 2006, ¿qué porcentaje de la producción anual se cosechó en la parcela 4? 43.61%calcular la frecuencia • En el año 2009, ¿qué porcentaje de la producción anual se cosechó en la parcela 4? 17.15%relativa. • ¿A qué porcentaje de su total corresponde la mayor producción de la parcela 4? 43. 61% • En 2008 se presentó la menor producción en la parcela 4. ¿Qué porcentaje aportó en ese año?10.27%Cómo enriquecerla actividad b) En un juego de basquetbol femenil se registraron las anotaciones de cada jugadora. Completa la tabla de frecuencias. Considera los ejemplos.Con esta actividadenfatice la importancia Jugadora Canastas Total Frecuencia Razón o fracción: Frecuenciade calcular la anotadas absoluta Total de canastas relativafrecuencia relativa, por cuarto de la jugadora /la manera de Total de canastas 0.13obtenerla y la forma Valeria 1234 6 6 0.195de representarla Marcela 9 9 del juego 0.13en porcentaje. Gabriela /// / // 6 6 0.239Cuestiónelos acerca / //// /// / 11 11 6/46 0.086de la forma de como Luisa 4 4 0.13obtuvieron cada valor Daniela / // /// 6 6 9/46 0.086de la frecuencia relativa //// // // /// 4 4en porcentaje. //// 6/46 // / // / // // 11/46 4/46 6/46 4/46 Total 12 46 46 46/46 1 • ¿Cuál fue el total de canastas anotadas en el partido? 46 • ¿A qué porcentaje corresponde este total de canastas anotadas? 100% • ¿Quiénes tuvieron más anotaciones? Cecilia y Marcela. 18 Bitácora pedagógica168

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BLOQUE 3 BLOQUE 3 Qué observar • ¿Cuál es el porcentaje de sus anotaciones en relación con el total de canastas? 23.9% y 19.5 % n muc as de las • ¿Quiénes anotaron el menor número de canastas? Luisa y Andrea actividades en las • Observa la tabla. Según tu criterio, y con la idea de tener el mejor equipo, ¿cuáles son las cinco que se utilizan diversas variables jugadoras que seleccionarías para el siguiente encuentro? es conveniente que Cecilia, Marcela, Valeria, Gabriela y Daniela. los alumnos las realicen por parejas LO QUE APRENDÍ o en equipos. Valore las posibilidades1. olanda estudia 1 de secundaria en su rupo se llevaron a cabo elecciones en tres vueltas para ele ir al de acuerdo con las jefe de grupo. Participaron como candidatos Patricia, Reyna, Víctor y Raúl. Completa la tabla de frecuen- características del cias de los votos que tuvieron. grupo en particular.Nombre Núm. de Total Frecuencia Razón Frecuencia Cómo enriquecer votos por absoluta o fracción: relativa la actividad vuelta a e posici n por parte de los alumnos es 123 por sí enriquecedora, prop n ales diseñar Patricia //// //// /// 13 13 13/44 0.295 situaciones análogas.Reyna / //// //// 11 11 11/44 0.25 Supervise que el llenado de las tablasVíctor //// //// /// 12 12 12/44 0.272 sea cuidadoso, ya que al momentoRaúl // //// / 8 8 8/44 0.181 de representar esta información de manera • ¿Quién será el jefe de grupo? Patricia gráﬁca, cualquier • ¿Cuál fue la diferencia de votos con el último lugar? 5 votos error distorsiona los • ¿Quién obtuvo la votación más baja? Raúl resultados esperados. • ¿Qué alumno podría ser el subjefe de grupo? Víctor • Explica tu respuesta. Porque fue el segundo lugar en las votaciones con 12.Bitácora pedagógica Recursos y materiales 1 9 En educar, utilizando el buscador para encontrar el artículo r anicemos la semana en ecursos educativos encontrará sugerencias para el establecimiento de relaciones, organización, interpretación y comunicación de información en tablas. ttp .educ.ar educar inde . tml 169

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer Evaluaciónla actividad Resuelve las siguientes situaciones y escribe en el paréntesis de la derecha la letra que contenga laRecuerde que la respuesta correcta. Al ﬁnalizar, revisen en grupo esta prueba, sus resultados y los procedimientos.secci n valuaci n 1. Sobre la circunferencia se encuentran algunos números decimales.pretende acer que los alumnos se 2.4autoevalúen, esto 0.8 3.3es, que aprendan areconocer qué es 1.7 0.2lo que a saben acer, qué están aprendiendo 0.6y en qué contenidos • ¿Cuáles son las tres cantidades que se deben multiplicar para obtener el n mero ma or posible? ( b )necesitan acer un mayor esfuerzo. a) 1.7, 0.2, 0.8 b) 1.7, 2.4 y 3.3 c) 2.4, 0.6 y 1.7 d) 3.3, 0.8 y 2.4Permita que los alumnos veriﬁquen las • Con base en la respuesta anterior, ¿cuál es el mayor producto? (d )respuestas y en caso deque en algún ejercicio a) 0.528 b) 4.488 c) 4.789 d) 13. 464propuesto el resultadofuera incorrecto, que • ¿Cuáles son las tres cantidades que al multiplicarlas se obtiene el menor número? (b)justiﬁque por quéno lo es. a) 1.7, 0.8 y 0.7 b) 0.2, 0.6 y 0.8 c) 0.7, 1.5 y 3.4 d) 1.2, 3.2 y 0.3 • Con base en la respuesta anterior, ¿cuál es el menor producto? (a ) a) 0.096 b) 0.965 c) 0.659 d) 0.965 2. Para su tienda de abarrotes, Don Panchito adquirió las siguientes cantidades de producto: 30 kilogramos de mantequilla a $1.2 el kilo, 35 kilogramos de azúcar a $15 el kilo, 13 kilogramos de harina a $2.5 el kilo y 10 docenas de cajas de cerillos a $4.5 por caja. • Si paga con dos billetes de $500, ¿cuánto le devolverán de cambio? (a ) a) $361.5 b) $368.5 c) $420 d) $350.5 3. Se desea llenar un depósito de agua mediante dos llaves. La primera vierte 25.23 litros en 3 minutos y la segunda 31.23 litros en 5 minutos. • ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito si su capacidad es de 425.43 litros? (a ) a) 28 min b) 27 min c) 29 min d) 26 min 4. Observa las siguientes ﬁguras geométricas y responde. 2.14 cm 2.68cm 3 cm 3 cm 170 Bitácora pedagógica170

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BLOQUE 3 BLOQUE 3Evaluación Cómo enriquecer la actividad• ¿Cuál es la medida del perímetro del pentágono? (c ) Motive a los alumnosa) 30 cm b) 15 cm2 c) 15 cm d) 30 cm2 para que resuelvan esta evaluación de•¿Cuál es el área del pentágono? (a ) orma onesta, procure que comprendan laa) 15.48 cm2 b) 15.48 cm c) 1.548 cm d) 154.8 cm2 importancia de la actividad y la utilidad• ¿Cuál es la medida del perímetro del hexágono? (d ) que puede tener para mejorar su nivel actuala) 1.8 cm b) 1.8 cm2 c)18cm2 d) 18 cm de conocimientos. Procure que tomen • ¿Cuál es la medida del perímetro del hexágono? (a ) la evaluación como al o abitual, bueno a) 23.38 cm2 b) 23.38 cm c) 233.8 cm d) 233.8 cm2 y sano; es decir, como parte del proceso de5. En una fábrica se aplicó un examen a los obreros, y se obtuvieron las siguientes caliﬁcaciones: 8, 3, 5, 0, aprendizaje de las 7, 1, 7, 3, 9, 4, 6, 8, 1, 5, 2, 6, 8, 6, 9, 5, 3, 7, 4, 9, 8, 7, 4, 2, 5, 8. matemáticas. Con base en los datos anteriores completa la tabla. Frecuencia relativa (fr)Puntuación Frecuencia Razón Proporción Porcentaje Absoluta 0 3.3% 1 1 1 0.03 Cambiando números 2 30 6.6 3 6.6 4 2 2/30 0.066 10% 5 6 10 Si pide al alumno que 7 13.3 8 2 2/30 0.066 10 calcule el área del 9 13.3 3 3 0.1 16.6 pentágono mediante Total 30 10 o bp2ate,nedl rá la rmula 3 3/30 0.1 resultado que será de 16.05 cm2. 4 4/30 0.133 ¿Por qué este dato no se encuentra en las 3 3/30 0.1 opciones de respuesta? Porque la respuesta 4 4/30 0.133 correcta fue calculada 5 5/30 0.166 con base en el programa denominado 3 3/30 0.1 Geogebra. Cambiando números 171 Al calcular el área del e á ono mediante s er áp2a la rmula , el resultadoCambiando números Bitácora pedagógica 24.12 cm2. RecuerdeRecuerde a sus a sus alumnos que elalumnos, que las áreasde una ﬁgura siempre resultado de 23.38 cm2,se calculan en metroscuadrados (m2). es correcto y que fue calculado a partir del uso de Geogebra. 171

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MATEMÁTICAS 1 Bloque 4 Aprendizajes esperados • Constru e círculos polí onos re ulares que cumplan con ciertas con- diciones establecidas. • ee in ormaci n presentada en rá cas de barras circulares. tiliza estos tipos de rá cas para comunicar in ormaci n. 172 Qué observar Revise si los alumnos, cumplen con las competencias exigidas en el programa. Las que destacan son: la resolución de problemas, que implican números enteros, fraccionarios y decimales positivos y negativos; construcción de círculos a partir de diferentes datos (radio, cuerda, tres puntos no alineados, etcétera); cálculo de la longitud de la circunferencia y la explicación del numero ␲ (pi); el manejo de la regla de tres; el factor inverso en una relación de proporcionalidad en una interpretación a escala; problemas de conteo con diversos procedimientos, y el manejo de gráﬁcas de barras y circulares.172

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BLOQUE 4Contexto histórico 1654 1712 1790 El holandés Christian Huygens Thomas Sávery construye su Científicos franceses desarrollan desarrolla el reloj de péndulo máquina de vapor atmosférica el Sistema Métrico Decimal 1543 1608La teoría de Copérnico sienta las Se inventa el telescopiobases de la astronomía moderna1500 1560 1620 1680 1740 1800 1522 1557 Hechos matemáticos Cuthbert Tunstall publica en Robert Recorde, en sus Tratados de Aritmética y Álgebra, utiliza 1654 1760 Inglaterra el primer libro por primera vez el signo “‫”؍‬ de aritmética Pascal y Fermat desarrollan las El conde de Buffon leyes básicas del cálculo establece una conexión entre de probabilidades probabilidad y ␲ 173Cómo enriquecer la actividadAproveche la línea del tiempo para que los estudiantes hagan comentariosacerca del desarrollo de las Matemáticas: ¿hace cuántos años se usó por primeravez el signo “‫¿ ?”؍‬Hace cuántos años se desarrolló el Sistema Métrico Decimal?• Pídales que investi uen presenten una pequeña bio ra ía de Pascal ermat, ¿a qué edad hicieron estos personajes sus aportaciones a las matemáticas? 173

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer Eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraicola actividad Tema Números y sistemas de numeraciónPara entrar en el tema de los números Contenido 1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen lacon signo, unidades utilización de números enteros, fraccionarios o decimalesmayores o menores positivos y negativosque cero (positivas onegativas), propicie ACUÉRDATE DE...la participación delgrupo; si en la región En condiciones normales, la temperatura corporal del ser humano es cercana a los 37 °C; el cuerpo mantienedonde se ubica la cierta temperatura aun cuando el clima sea frío o caluroso. Si la temperatura del cuerpo bajara a 35 °C sufriríaescuela no se han hipotermia; si alcanzara los 41 °C sufriría hipertermia. Marca en la recta numérica las temperaturas en las quedado temperaturas por el cuerpo podría sufrir hipotermia e hipertermia.debajo de cero grados,pregúnteles si conocen 35 41lugares donde latemperatura sí alcanza 0 10 20 30 40 50 0Cesos niveles. Discute tus respuestas con el resto del grupo y con su profesor establezcan conclusiones. PRACTÍCALO Actividad 1.1 1. Contesta las preguntas. a) En este momento, ¿cómo es el clima en tu localidad? Respuesta abierta b) ¿Cuál es la temperatura máxima pronosticada para este día? Respuesta abierta c) ¿De qué otra manera se le llama a la escala centígrada? Respuesta abierta d) Seguramente en el laboratorio de tu escuela hay un termómetro. Consúltalo. ¿A qué temperatura nos encontramos en este momento? Respuesta abierta e) ¿Cómo determinaste tu respuesta? Respuesta abierta 174 Bitácora pedagógica174

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BLOQUE 4 BLOQUE 42. Lee la información con respecto a algunas temperaturas y ubica en el termómetro de la derecha el inciso que corresponda a cada temperatura. Compara las respuestas con tus compañeros.a) En el Sahara el suelo llega a calentarse a 84 °C. a) Cómo enriquecerb) Sobre los desiertos y océanos la temperatura alcanza 40 °C. la actividadc) La temperatura promedio de la superﬁcie terrestre es de 15 °C. b) Permita que desarrollen d) Marte tiene una temperatura promedio de 60 °C bajo cero. c) la actividad de manera individual, peroe) En las zonas polares la temperatura desciende hasta 70 °C bajo cero. que comparen sus resultados con losf) En 1983, la temperatura en el Antártico llegó a 89 °C bajo cero. del compañero más cercano. d) e) Qué observarCompara tus respuestas con tus compañeros y con la ayuda de su profesor planteen otras f) Dé la libertad y el tiempo necesariosituaciones que puedan expresarse con números positivos o negativos. Escríbanlo en su cuaderno. a los alumnos para que resuelvan estasPRACTÍCALO Actividad 1.2 actividades. Es muy importante que vigile y1. Observen la recta. oriente la participación de los alumnos al Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 1 2 3 4 exponer sus respuestas. Si no cuentan conContesten las preguntas. Internet, estimena) ¿Con qué otro nombre se conoce a los números mayores que cero? Positivos la temperatura deb) ¿Qué signo se utiliza para hacer referencia a estos números? Mas (+) acuerdo con los usosc) ¿Con qué otro nombre se conoce a los números menores que cero? Negativos y costumbres de lad) ¿Qué signo se utiliza para hacer referencia a estos números? Menos (–) localidad. Cómo enriquecer la actividad Pídales que resuelvan en equipo la actividad y que comparen con otros equipos sus respuestas. 175Bitácora pedagógica 175

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MATEMÁTICAS 1Qué observar MATEMÁTICAS 1 Actividad 1.3Veriﬁque que la lectura PRACTÍCALOse realice de formagrupal; es decir, cada 1. Organícense en parejas para resolver los problemas que se presentan a continuación.alumno leerá unpárrafo, se detendrán a) Qin Shi Huang fue el primer emperador de China. Si nació en el año 249 a.n.e. y murió en el año 221en él, lo analizarán a.n.e., ¿cuántos años vivió? 28 añosy ubicarán cada • ¿ Cómo describirían el problema con sus propias palabras?Encontrar la edad de Qin Shi H., a partir de dos datos.inciso sobre la recta • ¿ Qué datos identiﬁcan en el problema? El año en que nació y el año en que murió.correspondiente. • ¿ Cuál es el procedimiento que utilizaron para resolverlo? Restando 249 menos 221. Justiﬁquen su respuesta Si nació en 249 a.n.e y murió en 221 a.n.e , entonces es una diferencia.Cómo enriquecer • R ealicen las operaciones que consideren adecuadas.la actividad 249 ؊ 221 ‫ ؍‬28 años.Dé el tiempo necesariopara que resuelvan • ¿ Cómo pueden comprobar que su resultado es correcto? Sumando 221 ؉ 28.estos dos incisos,enfatice la justiﬁcación b) En un ediﬁcio de una unidad habitacional se extrae agua de una cisterna de una profundidad de 15 m yde sus procedimientos es elevada a tinacos que se encuentran a 35 m de altura. ¿Qué nivel supera el agua? 20 my motive una discusióngrupal que tenga como Encontrar el nivel que supera el agua de laobjetivo sintetizarlos procedimientos • ¿ Cómo describirían el problema con sus propias palabras? cisterna con respecto al ediﬁcio.realizados. • ¿ Qué datos identiﬁcan en el problema? La profundidad de la cisterna y la altura del ediﬁcio. • ¿ Cuál es el procedimiento que utilizaron para resolverlo? Restando 35 menos 15.Pida a los alumnos que propongan nuevas Justiﬁquen su respuesta Porque la profundidad es de 15m y la altura de 35 m.situaciones, que las • R ealicen las operaciones que consideren adecuadas. ¿Cómo pueden comprobar que su resultado esexpongan en el salónpara que se analicen y correcto?se les dé solución. 35 ؊ 15 ‫ ؍‬20 años; sumando 20 más 15.Curiosidades, c) ¿Cuál es la diferencia de temperatura que soporta un almacenista de carne si antes de entrar al refrigera-acertijos y más dor que está a -6°C, en la parte exterior él está a una temperatura de 18°C? 24°C • ¿ Cómo describirían el problema con sus propias palabras? La diferencia de temperaturas interna y externa.Si lo considera • ¿ Qué datos identiﬁcan en el problema? La temperatura en el interior del refrigerador y la del exterior.conveniente y siente • ¿ Cuál es el procedimiento que utilizaron para resolverlo? Restando 24 menos (-6).que los alumnos Justiﬁquen su respuesta Porque la temperatura va de los negativos a los positivos.pueden obtener algún • R ealicen las operaciones que consideren adecuadas. ¿Cómo pueden comprobar que su resultado esprovecho, propóngale correcto?esta situación: los 18 ؉ 6 ‫ ؍‬24; restando 24 ؊ 6 para que de 18.hindúes también seadelantaron con el tema Comparen sus planteamientos, operaciones, resultados y métodos de comprobación con el resto del grupo.de los negativos, en el Con ayuda del profesor analícenlos y elaboren una conclusión sobre los métodos que consideren más ade-siglo VI ya encontramos cuados. Regístrenla en su cuaderno.este texto: “Una deudarestada de la nada se 176convierte en un bien,un bien restado de la Bitácora pedagógicanada se convierte enuna deuda. Pídales que expliquen brevementeel signiﬁcado de esteenunciado, hasta llegara una conclusión grupal.176

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PRACTÍCALO BLOQUE 4 BLOQUE 4 Actividad 1.4 Qué observar1. Ubiquen en la recta numérica los siguientes números con signo. Veriﬁque que los alumnos comprendana) ؊2, ؊1.5, 1 , ؊ 1 ؊2 ؊1.5 ؊1 1 0 12 con claridad la posición 2 2 ؊2 2 2 de los números ؊ positivos y negativos 32 en la recta numérica.b) ؊1, 3 , 3 , 2 ؊1 0 1 3 2 Que identiﬁque al 4 2 4 4 número cero como el origen de la recta yc) 1, ؊1, ؊ 8 ؊ 8 ؊1 0 1 que consideren que 4 4 podemos establecer acuerdos en los qued) 0, ؊3, ؊ 1 , ؊2.5, 1 ؊3 ؊2.5 ؊ 1 0 1 a partir de cualquier 4 4 4 4 punto de la recta numérica, a la derecha PRACTÍCALO Actividad 1.5 el conteo se hace con números positivos y a la1. Ordenen de menor a mayor los siguientes números. izquierda el conteo es con números negativos, a) ؊2, 2, 0, 3 ؊2, 0, 2, 3 qué los números se b) 1, 2.5, ؊1, 0.6 ؊1, 0.6, 1, 2.5 encuentran ordenados c) 3, 0, ؊1, ؊2 ؊2, ؊1, 0, 3 (sea cual fuere el sentido d) 1.5, ؊0.5, ؊1.5, ؊2.2 ؊2.2, ؊1.5, ؊0.5, 1.5 del conteo) y que para que un número Comparen los procedimientos que utilizaron para llevar la resolución de la actividad 1.5 y 1.6. se considere negativo Ahora contesten lo que se pide. es indispensable que • ¿ n qué consideran que se parecen uno con otro? En que son números opuestos. lo anteceda el signo • Describan cuál es la manera en la que se debe de ordenar un rupo de n meros positivos ne ativos. negativo (؊). Del mayor negativo al mayor positivo. Cómo enriquecer • ¿Qué actividad resolvieron con ma or acilidad? Respuesta abierta la actividad • ¿Por qué? usti quen su respuesta. Respuesta abierta La actividad está Comparen sus resultados y procedimientos con el resto del grupo y con su profesor analicen las propiedades diseñada para reforzar de los números positivos y negativos para la resolución de problemas. el concepto de números con si no. Permita Para tener en cuenta que la resuelvan en equipo, que presenten Hay números que podemos ubicar a la misma distancia del cero, tanto a la dere- sus resultados y, cha como a la izquierda; por hallarse a ambos lados del cero, a estos los llama- si fuera necesario, remos números opuestos (o simétricos). que expliquen cómo encontraron Opuestos la ubicación de los números de cada inciso.؊2 ؊1 0 1 2 Opuestos 177Bitácora pedagógica Cómo enriquecer la actividad Pida que de manera individual resuelvan la actividad y que comparen sus resultados; si fuera necesario, que ubiquen los números en una recta numérica para que les quede más claro el orden. 177

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 PRACTÍCALO Actividad 1.6Qué observar 1. Escribe el opuesto a cada uno de los siguientes números. 8 1 9Que los alumnos a) (؊5) 5 b) ( 1 ) ؊ 2 c) ( 8 ) ؊identiﬁquen d) (3) -3 2 9con claridad las 1 1características de dos 8 1.9números opuestos o e) (؊ ) 8 f) (؊1.9)simétricos considerandolos valores absoluto y Ubica en la recta numérica los números y sus opuestos (simétricos).relativo al ubicarlos ono en la recta numérica, ؊5 5por ejemplo: ؊3 y • Describe el procedimiento que seguiste para dividir la recta.؉3 son dos números Donde se unen los colores le asignamos el cero, yopuestos o simétricos cada segmento lo dividimos en cinco partes.porque se encuentrana la misma distancia Argumenta por qué decidiste utilizarlo. Para poder localizar los números que se piden.del cero en sentidosopuestos y tienen el • ¿Cómo ubicaste las fracciones comunes y el número decimal? Las primeras se dividieron y las segundas fue más fácil.mismo valor absoluto. • Explica la manera en que ubicaste el cero. En el punto donde ambos colores se juntan.Cómo enriquecerla actividad Compara tus resultados con tus compañeros de grupo y analicen con su profesor los procedimientos que uti - lizaron y determinen si existen otros más. omente el razonamiento Para tener en cuentamatemático conla intención de El valor absoluto de un número es el valor del mismo número, pero sin consi-plantear la solución derar su signo. Se simboliza entre dos barras paralelas verticales. Por ejemplo:al problema, solicite |؊6| esto se lee “el valor absoluto de - 6 es 6”, o bien |8| , esto se lee “el valora varios alumnos que absoluto de 8 es 8”.expliquen con suspropias palabras las PRACTÍCALO Actividad 1.7estrategias de soluciónpara cada pregunta y 1. Completa el valor absoluto de los siguientes números.luego analice en grupocuál les pareció la más a) |؊5| = 5 b) |؊3| = 3 c) |7| = 7 d) |؊11| = 11 e) |1| = 1adecuada. PRACTÍCALO Actividad 1.8Recursosy materiales En una festividad escolar, Lupita, Kenia y Martha decidieron participar vendiendo globos, las tres realizaron una inversión de $120.00, decidieron venderlos a diferentes precios: Lupita tiene 15 globos y los vende a $10.00,En educ.ar, el portal Kenia tiene 18 globos y los vende a $11.50 y Martha tiene 20 globos y los vende a $ 10.50.educativo del Estadoargentino, utilice • Si las tres vendieran todos sus globos, ¿quién tendría mayor ganancia? Martha ¿y la menor ganancia?el buscador paraencontrar en Lupita . A Lupita se le reventaron 2 globos, a Kenia 4 y a Martha 3, ¿cuál fue laRecursos educativos elartículo “Los cálculos ganancia para cada una? Lupita $130 , Kenia $161 y Martha $178.5de Delﬁna”, el cualmuestra situaciones • ¿Cuál fue la ganancia total con respecto a la inversión? $349.5para reﬂexionar apartir del análisis de • Si decidieron repartir la ganancia en partes iguales, ¿cuánto le corresponde a cada una? $161problemas cotidianos. • ¿Cuál fue el procedimiento que empleaste para cada una? Una divisiónhttp://www.educ.ar/educar/index.html • Justiﬁquen su respuesta La ganancia que fue de $349.5 entre tres, porque son partes iguales.178 Comparen sus resultados con sus compañeros de grupo y con ayuda del profesor obtengan una conclusión. 178 Bitácora pedagógica

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BLOQUE 4 BLOQUE 4Para leer más USA LAS TIC¿Cuál es el resultado de sumar dos números opuestos? ¿La suma de dos nú- Para saber más acercameros opuestos da siempre el mismo resultado? A los números opuestos se les de las operaciones deconoce como inverso aditivo. ¿Por qué crees que reciban ese nombre? números con signo puedes consultar la página: LO QUE APRENDÍ http://www.comesed.com/ Sb/sbt72.htmLee con atención. Qué observarEl mundo a través del espejo Antes de realizar esta actividad solicite a losExisten frases que se leen igual al derecho y al revés, como “LIGAR ES SER ÁGIL”, “LA RUTA NOS APORTÓ OTRO alumnos que lleven unPASO NATURAL” o “ANITA LAVA LA TINA”, estas frases tienen un misterioso nombre el cual tienes la misión de pequeño espejo, dedescubrir. Para ello deberás resolver el ejercicio y colocar la letra correspondiente a la respuesta debajo del resul- preferencia de formatado que le corresponda en la tabla, para resolverlo necesitarás la ayuda de un espejo que deberás colocar sobre cuadrada o rectangular.las líneas verdes. ¡ATENCIÓN!, “las respuestas deberán de poder leerse correctamente a través del espejo”. Explique cómo funciona el cerebroEscribe tu nombre sobre la línea ___________________________________ (S) Tu P ante este tipo de Respuesta abierta nombre A actividades e indique L que lo que se hace es؊ 3 ؊ 8 ‫( _______ ؍‬O) ؊De34lo¿sCnuúáml eesreolsm21en,o؊r?2_.5_؊_, _21_.,5_0_.7(N5,) ؊11 I trabajar con ambos de la oper؊ac1ió1n? N lóbulos, la actividad es D sencilla y está diseñada¿Cuál es el resultado R de manera lúdica O y su participación ؊4 M en la solución es O muy importante. 01 5 ؊9 o‫؍‬pe__ra_؊_c4_ió_n_ ?(M) 12 450m2 1 S A B CD E F G de 179 la ¿fQraucécilóentra38re?p_r_e_sC_e_n_t_a(I) ¿Cuál es el resultado esta cantidad _______ (A) Խ19Խ ‫( _______ ؍‬P) ؊2.5 centígrados bajo c؊e1ro2”°C. Escribe 19 descender hasta los doce grados C“En invierno la temperatura puede cantidad _______ (R) metros cuadrad4o5s0”,mEs2cribe esta 5D؊e43lo¿sCnuúáml eesreolsm21ay,o؊r?2_.5__,1_1_,_0_.7(O5), tiene cuatrocientos cincuenta 8 “Mi tío vendió un terreno que 19 ؊12°CԽ؊12Խ ‫؍‬ _______ (D) 01 12 la flecha) _____3__ (L) ¿Qué fracción está7indicandoBitácora pedagógica 179

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar Eje temático Forma, espacio y medidaQue los equipos, Tema Figuras y cuerposindependientementedel número de Construcción de círculos a partir de diferentes datos (elintegrantes, se den el Contenido 2 radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o quetiempo necesario paradiscutir, comentar cumplan condiciones dadasy uniﬁcar criteriosal responder cada ACUÉRDATE DE...pregunta. Vigile queel trabajo se haga En la actualidad nos parece común encontrar, por todas partes, ﬁguras en forma de círculo: por ejemplo, lasdentro de un ambiente bases de las tazas, los platos, las monedas, etcétera. En equipo, encuentren cinco objetos más que tengan formarespetuoso y libre. de círculo y comenten qué elementos conocen del círculo (por ejemplo, el radio) y qué instrumentos utilizan para poder trazar círculos.Que las descripcionesse realicen de manera Comenten entre ustedes las respuestas a las siguientes preguntas: ¿Cómo se traza una circunferencia? ¿Qué seadecuada clara y requiere para que dos circunferencias sean congruentes? ¿Qué diferencia hay entre círculo y circunferencia?concisa. ¿Puede existir la circunferencia aislada del círculo? ¿Qué líneas notables de la circunferencia conoces? ¿Qué seg- mentos notables? ¿Por qué punto debe pasar la cuerda mayor de un círculo? ¿Cuánto mide? ¿Con qué instru-Cómo enriquecer mento se traza? ¿Con qué instrumento se mide un arco?la actividad Para leer másAl desarrollar lasección “ACUÉRDATE La rueda es uno de los objetos importantes en los vehículos y sistemas de tras-DE…”, propicie la porte terrestre. Las ruedas más antiguas que se conocen datan de la antiguaparticipación para Mesopotamia, entre los años 3 500 y 3 000 a. n. e. en su forma más simple. Laque cada equipo rueda era un disco sólido de madera; con el paso del tiempo eliminaron algunascomente acerca de los secciones para reducir su peso y los radios (o rayos) empezaron a emplearseobjetos que presenta para la rueda, aproximadamente en el año 2 000 a. n. e.como ejemplo y delos elementos que PRACTÍCALO Actividad 2.1conocen del círculo.Promueva el uso del 1. Observa el punto P que se encuentra en el siguiente espacio. Marca un punto C a 2.5 cm de P como ellenguaje matemático. centro de una circunferencia que pase por el punto P y trázala.Cómo enriquecer Respuesta modelola actividad PPermita que la xActividad 2.1 seresuelva en forma 180individual, al compararsus resultados podrán Bitácora pedagógicaapoyarse unos a otros.Una vez que el grupohaya terminado deresolver, haga usted laspreguntas del inciso d).180

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BLOQUE 4 BLOQUE 4 Qué observar2. Contesta las preguntas. Que los alumnos manejen de manera a) Tomando como referencia el centro C de esa circunferencia, ¿podrías trazar otra circunferencia, distinta, adecuada los que pase por P? Si instrumentos de geometría y que sean • i consideras que se puede, trázala. Respuesta abierta concretos al anotar sus • i consideras que no se puede, e plica por qué no. Respuesta abierta respuestas. b) Traza un segmento de C a P. ¿Cómo se llama ese segmento? Radio c) ¿Cuánto mide el segmento CP? Respuesta abierta d) Toma otra medida de C a cualquier punto de la circunferencia. ¿Mide lo mismo que el segmento CP? Si ¿Por qué? Son radios del mismo círculo. PRACTÍCALO Actividad 2.2 Cómo enriquecer la actividad1. Observen la siguiente ﬁgura y respondan las preguntas. QP a) ¿Cómo se llama la región limitada por la circunferencia? O Coordine la actividad Círculo R y haga una a una, las preguntas al b) Tracen el segmento OP. ¿Cuánto mide? grupo para uniﬁcar 1.2 cm respuestas. Permita que a partir c) Tracen el segmento OQ. ¿Cuánto mide? de estas lleguen a una 1.2 cm conclusión general. d) ¿Cuál será la medida de OR? 1.2 cm Reﬂexión Tracen el segmento. Sobre la creatividad, e) ¿Qué nombre reciben este tipo de segmentos? Radios la invención de la rueda y el círculoPRACTÍCALO Actividad 2.3 Le sugerimos que, utilizando como base1. Traza en tu cuaderno, con tu compás, tres circunferencias de diferente color la rueda, invite a sus alumnos a reﬂexionarque pasen por el punto “P”, su centro esté sobre la recta “R” y sus radios midan Radio. Segmento que une sobre cómo fue que el centro del círculo con la idea del “círculo”,2.5, 5 y 3 cm, respectivamente. P un punto cualquiera de la pudo cambiar tan R circunferencia. radicalmente la visión cosmogónica del• Describe los pasos que utilizaste para trazar las circunferencias. Circunferencia. Línea que hombre, y qué papel delimita la superﬁcie del desempeña, como Respuesta abierta círculo. metáfora, en los mitos y• Argumenta por qué decidiste hacerlo de esta forma. Respuesta abierta leyendas de las antiguas culturas.Compara tus circunferencias con el resto del grupo. 181 181Bitácora pedagógica

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 2.4 PRACTÍCALO 1. A partir de los puntos ﬁjos A y B, traza con tu compás un círculo que pase por dichos puntos.Qué observar D B A xPoner especial atenci n xMa los alumnos almomento de resolver a) Marca con M el centro del círculo y compara el círculo que trazaste con el que trazaron tus compañeros.esta actividad, en el ¿Resultaron iguales? Respuesta abiertasentido de que losestudiantes deben b) Traza el segmento AB. ¿Qué nombre recibe este tipo de segmento? Cuerdaaprender a seguirinstrucciones. O sea que la cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.Que los alumnos c) En ese mismo espacio de trabajo, traza otro círculo con centro diferente de M y que pase por A y B. Marcasean ordenados les este nuevo centro como D y traza una recta que pase por M y D.permitirá, con mayorﬂuidez, llegar a las d) Observa: ¡Resultaron perpendiculares las rectas AB y MD! ¿Verdad? Siconclusiones esperadas(método inductivo). e) Toma otro punto de la recta MD y traza desde allí un círculo que pase por A y B. , f) ¿Cuántos círculos diferentes que pasen por A y B se podrán trazar? InﬁnitosCómo enriquecerla actividad ¿Por qué? Cada punto de MD puede ser el centro de un círculo que pase por A y B. g) ¿El tamaño de la cuerda AB cambió? NoCoordine la h) ¿Pasa la recta MD por el punto medio del segmento? SiActividad 2.4 para i) ¿Por qué punto del círculo de centro M pasará la cuerda de mayor tamaño? Por el centro M.que, a pesar de los j) ¿Cómo se le llama a la cuerda que pasa por el centro del círculo? Diámetrodiferentes trazos que k) En relación con el radio, ¿cuánto mide el diámetro? El doblese obtengan en el l) ¿Trazaste algún círculo en el que AB sea su diámetro? Sigrupo, observen que lasrespuestas coinciden; ¿Cuál es su centro? El punto M.esta diversidad detrazos y coincidencia Para tener en cuentaen las respuestas puedepermitirles formar más Recuerda que si una recta es perpendicular a un segmento y pasa por el puntorápido los conceptos. medio de este, dicha recta se conoce como mediatriz.Curiosidades, 182acertijos y más Bitácora pedagógicaPropon a la si uiente situación:Observa detenidamentela ﬁgura; de los círculoscentrales, ¿cuál es lamayor? Explica.182

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BLOQUE 4PRACTÍCALO BLOQUE 4 Actividad 2.51. Tracen la circunferencia que inscriba a cada ﬁgura.a) Un cuadrado b) Un octágono regular Cómo enriquecer la actividad Apoyándose en el centro y abriendo • Describan el procedimiento que realizaron para trazar las circunferencias. el compás hasta cualquier vértice. Aun cuando las actividades se Porque para inscribir una ﬁgura a una circunferencia el radio es la distancia desarrollan en parejas, permita que los • Expliquen por qué lo utilizaron. del centro a cualquier vértice. alumnos comparen sus resultados con los deComparen sus trazos con el resto de sus compañeros y con su profesor describan si existen otros procedimientos los demás compañeros.para trazar circunferencias. Estos ejerciciosPRACTÍCALO Actividad 2.6 pueden llevarse, mediante preguntas,1. Considera el segmento DE como cuerda del círculo con centro C, y la recta MN como la mediatriz de DE. al descubrimiento Localiza sobre la recta MN el centro F de un círculo de 5 cm de radio que pasa por los puntos D y E. de algunas propiedades que relacionan al D círculo con sus rectas, por ejemplo: ¿cómo son entre sí las cuerdas DE y la cuerda común a las dos circunferencias? ¿Qué viene siendo MN de la cuerda común a ambas circunferencias?, etcétera. C NM E • Describe y argumenta el porqué de los pasos que seguiste para localizar los segmentos en el área dada. Apoyándose en uno de los extremos de la cuerda se mide una distancia de 5 cm a la mediatriz, esta distancia se toma como radio para trazar la circunferencia.Compara tu trazo con tus compañeros de grupo y con la ayuda de su profesor, veriﬁquen que sus trazos seancorrectos. 183Bitácora pedagógica 183

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer PRACTÍCALO Actividad 2.7la actividad 1. En equipo, comenten cómo se puede resolver el problema.Permita que resuelvan en equipo a) Se quiere colocar un poste que ilumine con la misma intensidad tres cabañas (A, B y C) que se encuentranla Actividad 2.7 y separadas, tal como se muestra en los siguientes puntos. Localicen el sitio exacto donde debe ser instaladoque presenten su el poste de luz, tratando que una circunferencia toque los tres puntos.procedimiento paraencontrar el lugar xApreciso solicitado.Pídales que usti que xBel procedimiento queemplearon para llegar Cxa la solución. • ¿Qué procedimiento utilizaron para plantear el resultado? Se unen los tres puntos con dos segmentos de recta, luego seCómo enriquecer trazan sus mediatrices y el en punto de intersección de estas se encuentra el centro de la circunferencia que pasa por estos tres puntos.la actividad Comparen su trazo con sus compañeros de grupo y veriﬁquen con su profesor que sea correcto. Asimismo, esta- blezcan si existen otros procedimientos para realizar estos trazos.Pida a los alumnos lápices de colores LO QUE APRENDÍy un compás enbuen estado antes Usando círculos se pueden crear ﬁguras como esta. En la parte derecha diseña una ﬁgura original empleando estede resolver esta mismo método.actividad. Motive sucuriosidad invitándolos Respuesta abiertaa construir y colorearsus propios diseños. USA LAS TIC • ¿Cuántos círculos empleaste para diseñar tu ﬁgura? Respuesta abiertaUna vez terminados,pida que dibujen Consulta la página www. Compara tu diseño con el resto de tus compañeros. Reproduzcan el mismo diseñoe iluminen ﬁguras telesecundaria.dgme. en una hoja tamaño carta y bajo la supervisión de su profesor realicen una exposi-distintas formadas por sep.gob.mx/map_cont/ ción para que la compartan con el resto de su comunidad escolar.una o varias secciones mat/mat_bloq4.php; endel mosaico y luego la secuencia 28 podrásanalicen en qué practicar la construcciónpodrían utilizarlas. en tu computadora. 184 Bitácora pedagógica184

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BLOQUE 4 BLOQUE 4Eje temático Forma, espacio y medidaTema MedidaContenido 3 Justiﬁcación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráﬁca y algebraicamente). Explicitación del número ␲ (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro ACUÉRDATE DE...1. Hoy, Emilia escuchó a su profesor de Matemáticas decir que al día siguiente pondría una actividad para que el Cómo enriquecer grupo recordara cómo se calcula el perímetro de la circunferencia y el área del círculo. Al llegar a casa se puso la actividad a practicar lo que había aprendido, así que tomó un frasco de vidrio y midió su diámetro, que era de 10 cm. Realiza los cálculos que tuvo que realizar Emilia para obtener el perímetro y el área. Propicie la participaci n al desarrollar la Primero necesitas tener las fórmulas: sección “ACUÉRDATE DE…”. Permita a los P = P ‫␲ ؍‬2r P ‫␲ ؍‬D alumnos presentar sus argumentos y d ‫ ؍‬10 cm A = A ‫ ␲ ؍‬r2 manténgase atento para notar si en sus Ahora necesitas tener los datos necesarios conclusiones le dan la r ‫ ؍‬5u por lo tanto D ‫ ؍‬10u importancia requerida a la longitud del radio Ahora, calcula tanto el perímetro como el área: o del diámetro, en relación con la longitud Perímetro P ‫( ؍‬3.14)(10cm) ‫ ؍‬31.4 cm y Área = A ‫( ؍‬3.14)(5 cm)2 ‫( ؍‬3.14)(25 cm2) ‫ ؍‬78.5 cm2 de la circunferencia.a) Escribe tu deﬁnición de círculo y circunferencia. Círculo: Respuesta abierta Circunferencia: Respuesta abiertab) Coteja tu deﬁnición con las del diccionario, ¿son similares? Respuesta abiertac) ¿Cuál es la relación que existe entre el radio y el diámetro? Respuesta abiertad) ¿Sabes por qué el número “pi” vale aproximadamente 3.1416? Si lo sabes, explica el motivo, si no lo sabes, explica el motivo que pienses o imagines. Respuesta abierta 185Bitácora pedagógica 185

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 e) Elabora una pequeña lista donde se enumeren los pasos que siguió Emilia para resolver el ejercicio. Una vez que se midió el diámetro de boca del frasco, se aplican las formas para calular tanto el perímetro como el área. f ) ¿Por qué el perímetro se expresa con unidades lineales y el área con unidades cuadradas? Porque las primeras son unidades lineales y las segundas son de superﬁcie. PRACTÍCALO Actividad 3.1Cómo enriquecer 1. Lee y resuelve la siguiente situación.la actividad a) En el laboratorio se observó que al hacer rodar una vuelta tres envases cilíndricos de 8, 6 y 7 cm de diá-Después de haber metro, sus desplazamientos fueron de 25.1, 18.8 y 22 cm, respectivamente. ¿Qué relación tiene la medidaconcluido acerca de lo de la circunferencia con su diámetro?importante que es lalongitud del diámetro Completa la tabla.en la circunferencia,busque que a través Diámetro del cilindro Longitud de la Relación: Circunferencia /de la Actividad 3.1 6 cm circunferencia Diámetrolos estudiantes se 7 cmden cuenta de la 8 cm 18.84 cm 3.14relación que guardan 22 3.142ambas medidas y, si 25.1 3.137fuera posible, queidentiﬁquen como • ¿Cómo resultaron los cocientes?␲ (pi) la constante Casi semejantesobtenida. En todos los casos, este valor se aproxima a 3.14 y se representa con la letra griega ␲ (Pi). PRACTÍCALO Actividad 3.2 a) Midan el diámetro de la circunferencia. Diámetro = 5 cmCómo enriquecer b) Coloquen, lo más preciso posible, un hilo sobre la circunferencia.la actividad c) Retiren el estambre o hilo y mídelo.Al resolver la Longitud del estambre o hilo = 15.7 cmActividad 3.2, observela forma en que hacen d) ¿La relación circunferencia sigue siendo 3.14? Sicoincidir el estambre o diámetro 15.7hilo y la circunferencia,para que tengan la Longitud del estambre (o hilo) = 5 = 3.14mayor precisión en la Diámetro de la circunferenciamedida. 186Si al calcular elcociente de la relación( )circunferencia Bitácora pedagógica diámetro losvalores que se obtienenson muy diferentes,propicie la reﬂexiónpara que encuentren larazón de la divergencia.Es importante queobserven que el valorde ␲ se obtiene de la( )relación: circunferencia diámetro186

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BLOQUE 4PRACTÍCALO BLOQUE 4 Actividad 3.31. En tu cuaderno realiza el esquema y calcula la longitud de las circunferencias cuyos diámetros o radios se dan a continuación.a) Diámetro = 4 cm Longitud de la circunferencia = _1_2_.5__6_c_m______ Qué observarb) Radio = 5 cm Longitud de la circunferencia = _3_1_.4__c_m_______ Las Actividades 3.3 y 3.4 están diseñadasc) Radio = 2.5 cm Longitud de la circunferencia = _1_5_.7__c_m_______ para que los estudiantes consoliden la relaciónd) Diámetro = 3 cm Longitud de la circunferencia = __9_.4__2_c_m______ que se establece entre los valores dePRACTÍCALO Actividad 3.4 la circunferencia, el diámetro y ␲.1. En tu cuaderno realiza el esquema y calcula la medida de diámetro que corresponde a las siguientes circunferencias. En los incisos b) y c) de la Actividad 3.3a) Circunferencia = 25.128 m Diámetro = __8_m__________ hay que observar si están atentos a losb) Circunferencia = 37.692 cm Radio = _____6__c_m_____ datos proporcionados, y los alumnos debenc) Circunferencia = 34.551 mm Diámetro = _1_1__m__m_______ llevar esta información para el cálculo ded) Circunferencia = 47.115 dm Radio = _____7_._5__d_m___ la longitud de la circunferencia.• ¿Qué diferencias observas en los métodos que utilizaste para resolver las actividades 3.3 y 3.4? En la primera actividad se usó la fórmula directamente y en la segunda hizo un despeje. • ¿Qué operaciones realizaste en cada actividad para obtener el resultado? Multiplicaciones y divisiones.Compara tus resultados con el resto del grupo y tu profesor y juntos, elaboren una conclusión donde analicen larelación que existen entre la forma de calcular el diámetro y la longitud de la circunferencia.PRACTÍCALO Actividad 3.51. Resuelvan los siguientes problemas. Cómo enriquecer a) ¿Cuál es la longitud del listón que se utilizaría para adornar la orilla de un reloj de la actividad 10 cm de radio? 62.8 cm La Actividad 3.5 se b) ¿Cuánto mide la circunferencia circunscrita a un cuadrado cuyas diagonales miden realiza en equipo. 6 cm? Solicite que presenten 18.84 cm la solución en el pizarrón y escuche Bitácora pedagógica 187 los argumentos que exponga el resto de los alumnos. 187

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 3.6Qué observar PRACTÍCALOMediante las 1. Descubre si la longitud de una circunferencia aumenta en la misma proporción que su diámetro.Actividades 3.6 y 3.7 a) Completa la tabla, considera en primer lugar una circunferencia de 2 cm de diámetro.se pretende que losestudiantes cuenten Diámetro Circunferenciacon más elementosque les permitan x 2 2 cm 6.28 cmapreciar la relaciónde proporcionalidad x5 4 cm 12.56 cm ¿Resultó ser el doble?directa que mantienenla circunferencia y 6 cm 18.84 cm ¿Resultó ser el triple?el diámetro. 8 cm 25.12 cm ¿Resultó ser el cuádruple?Curiosidades,acertijos y más 10 cm 31.4 cm ¿Resultó ser el quintuple?Propon a el si uiente b) ¿Disminuirá la circunferencia en la misma proporción si se reduce el diámetro a la mitad, a la tercera o aacertijo: la cuarta parte?Observa y contesta lo Simás rápido que te seaposible, ¿cuál de las • Explica los pasos que seguiste para completar la tabla.áreas grises es mayor, Multiplicando cada valor por 3.14.la interna o la externa?Una vez contestado, • ¿Qué operaciones realizaste para obtener los resultados?explica: ¿puedes dar Una multiplicaciónvalores y demostrarlocon números? PRACTÍCALO Actividad 3.7 1. Considera en primer lugar una circunferencia con diámetro de 6 cm y calcula la longitud de las circunferen- cias al disminuir el diámetro. Completa la tabla. Circunferencia Diámetro Mitad de 6 18.84 cm 6 cm Tercera parte de 6 9.42 cm 3 cm Cuarta parte de 6 6.28 cm 2 cm Quinta parte de 6 4.71 cm 1.5 cm Sexta parte de 6 3.76 cm 1.2 cm 3.14 cm 1 cm a) ¿Crece o decrece la circunferencia en la misma proporción que su diámetro? Justiﬁca tu respuesta. Decrece, a medida que el diámetro disminuye, la longitud de la circunferencia se reduce. 188 Bitácora pedagógica188

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BLOQUE 4PRACTÍCALO BLOQUE 4 Actividad 3.81. Uno de los más grandes problemas matemáticos es encontrar un cuadrado que tenga la misma superﬁcie Qué observar que un círculo, sin embargo podemos tratar de entender un poco el porqué de la fórmula de la superﬁcie de un círculo. Colabora con un compañero y juntos observen, comenten, interpreten las imágenes, anoten la Veriﬁque que los respuesta correspondiente y escriban una observación o comentario: alumnos comprendan por qué se multiplicaImagen Pregunta Respuesta Observación / Comentario el cuadrado del radio por ␲ (pi), el alumno ¿Cuánto mide 2u Cada cuadro representa debe analizar los el radio según una unidad. esquemas y deducir la cuadricula? la aproximación por medio de la ¿Cuánto mide el 4 u2 Porque su fórmula es lado reubicación de la cuadrado del radio? al cuadrado. superﬁcie de cada sección según su color. ¿El cuadrado de Si Únicamente se encuentra la tercera ﬁgura en posición distinta. es equivalente al cuadrado del radio? ¿Aproximadamente Aproximadamente La ﬁgura muestra de manera cuántas veces cabe el tres completos aproximada que el cuadrado cuadrado del radio en del radio cabe un poco más de y una pequeña parte el círculo? de otro. tres veces en el círculo.a) ¿Qué relación tiene el ejercicio anterior con el número “pi”? Indica que así como el diámetro cabe aproximadamente 3.14 veces en la circunferencia, el cuadrado del radio también cabe aproximadamente 3.14 veces en el círculo. 189Bitácora pedagógica 189

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 3.9Cómo enriquecer PRACTÍCALOla actividad 1. Observen con cuidado la ﬁgura. Identiﬁcarán una circunferencia en la que se han inscrito polígonos regulares.Pídales que resuelvan en equipo la 0Actividad 3.9, quecomenten acerca de la arimportanciade la apotema y que Apotema. Segmento que vaobserven lo que va del centro del círculo al puntoocurriendo con la medio de uno de los lados demedida del lado en un polígono regular inscrito.cada ﬁgura regular,en relación con la a) Se ha trazado la apotema de cada uno de ellos. ¿Qué sucede con la longitud de la apotema al aumentar elcircunferencia. ¿La número de lados?medida del perímetro La longitud de la apotema se acerca a la medida del radio.de cada ﬁgura regularse acerca a la medida b) Identiﬁquen el radio trazado. ¿De cuál polígono es la apotema cuya longitud se aproxima más a la longi-de la circunferencia? tud del radio? Heptágono c) Cada punto de la circunferencia puede ser el lado de un polígono regular. ¿Qué pasaría en este caso con las medidas de la apotema y el radio? Se igualarían PRACTÍCALO Actividad 3.10Cómo enriquecer Ahora analizaremos la situación separando los polígonos.la actividad 1. Calculen el área de los siguientes polígonos regulares inscritos en un círculo, dadas las medidas de la apotemaPermita que y de los lados.realicen en equipo laActividad 3.10. Analice 190también que ocurre conlos triángulos internos Bitácora pedagógicay cómo disminuyeel ángulo central alaumentar el número delados, también resalteel aumento del ángulointerior del polígono.190

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BLOQUE 4 a) Apotema = 1 cm c) BLOQUE 4 Lado = 2 cm Apotema = 1 cm Lado = 2 cm Área = 4 cm2 Área = 4.4 cm2 b) Apotema = 1.2 cm d) Apotema = 1.3 cm Lado = 1.1 cm Lado = 1.4 cm Área = 5.72 cm2 Área = 5.04 cm22. Reﬂexionen y respondan las preguntas. Cómo enriquecer a) Conforme aumenta el número de lados de un polígono regular inscrito en una circunferencia, ¿qué suce- la actividad de con la medida del radio y la apotema? Cada vez la diferencia es menor. Después de que hayan b) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de cada uno de los triángulos que se forman? A ‫؍‬ bh contestado los incisos 2 de la Actividad 3.10, formule otra vez laPara tener en cuenta pregunta del inciso a) para que reﬂexionenObserva que los polígonos regulares inscritos en la circunferencia se triangulan que cuando el radio y la apotema alcanzany que la altura del triángulo es la apotema. De esta manera podemos calcular su la misma medida se bh está trabajando conárea, multiplicando el área de uno de los triángulos 2 por el número de el perímetro de la circun erencia. Pídales lados que tenga el polígono regular, resultando: n cbaalsceu؋lar2aeplopteemríma e.tErol ndúeml peroo- que comenten acercade lados por la base del triángulo es equivalente a de la obtención de la fórmula para calcular ellígono, lo cual nos llevaría a tener: área del círculo.Área ‫؍‬ perímetro ؋ apotema Qué observar 2 En esta actividad laAl hacer coincidir el polígono con la circunferencia, la apotema coincidiría con el interpretación deradio y la fórmula se convertiría entonces en: Área del círculo ‫ ؍‬2 r؋ r las imágenes es muy 2 , importante, veriﬁque que los alumnos2 r2 , simpliﬁcando: Área del círculo = r2 obtienen los datos de 2 manera correcta y son capaces de realizar LO QUE APRENDÍ los planteamientos adecuados.1. Resuelve estos problemas. En la cara superior de una tuerca, ¿cuál es la medida de la superﬁcie? (la graduación está en mm). 2 590.5 mm2 191Bitácora pedagógica 191

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer • Explica la forma en la que calculaste el área de la superﬁcie de la tuerca.la actividad • Justiﬁca tu respuesta. Por diferencias de superﬁcies de la circunferencia de la tuerca. ¿Qué procedimiento seguirías para calcular la longitud de un lado del hexágono?Permita la Primero se calcula la superﬁcie mayor y le resto la superﬁcie menor.retroalimentaciónentre los alumnos a la 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 La fuente de un parque se encuentra en el centro de un jardín, se quiere ponerhora de justiﬁcar susestrategias. un barandal perimetral para proteger el césped y la fuente. ¿Cuánto debeEs conveniente que al medir? (la graduación está en m). 37.68 mﬁnal comente con susopiniones acerca del Calculando el perímetro de una cir-trabajo realizado.Propon a nuevas ¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar la longitud del barandal perimetral? cunferencia y multiplicarla por dos.situaciones con Justiﬁca tu respuesta. El perímetro está formado por dos circunferencias.elementos que estén asu alcance. Observa la imagen de la moneda y responde. ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia dorada? 13.81 cm ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia plateada? 9.42 cm ¿Cuánto mide el área plateada? 7 cm2 ¿Cuánto mide únicamente la superﬁcie dorada? 8.19 cm2 Compara tus procedimientos con el resto del grupo y veriﬁquen con su profesor que sus respuestas sean correctas. Desarrolla tus habilidades Supongamos que hemos rodeado la Tierra por el Ecuador con una cinta. El radio de la Tierra mide 6 548 km. ¿Cuánto debe medir la cinta? Si ahora queremos levantar la cinta a un metro a lo largo de todo el recorrido, ¿cuánta cinta deberíamos añadir para completar la circunferencia? ¿Y si hiciéramos lo mismo con un balón de futbol? Longitud de la cinta 41 121.44 km; se le agrega 0.00628 km de cinta. Explica de qué manera resolviste esta situación. Por una diferencia de perímetros. Primero se calcula el perímetro de la Tierra, después se le agrega Argumenta tu respuesta. 0.001 km y se vuelve a calcular el perímetro, al ﬁnal ambos se restan. ¿Qué operaciones realizaste? Multiplicación, suma y resta. Se aplicó la fórmula del perímetro de una circunferencia, después se ¿Por qué? le sumó 1 m y al ﬁnal se restó. Compara tus resultados con el resto del grupo y veriﬁquen con su profesor sus resultados. 192 Bitácora pedagógica192

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BLOQUE 4 BLOQUE 4Eje temático Manejo de la informaciónTema Proporcionalidad y funcionesContenido 4 Análisis de la regla de tres empleando valores enteros o fraccionarios. ACUÉRDATE DE... Qué observar1. En equipo, resuelvan el problema. Aun cuando las Si por ocho lápices pagan $18, ¿cuánto cuesta una docena de esos mismos lápices? $27 relaciones de a) Planteen y resuelvan algunas situaciones semenjantes. proporcionalidad se b) Comenten los procedimientos que podrían emplear para darles solución. han venido trabajando desde la primaria, esPara tener en cuenta importante reforzar los conceptos de razón,Las variables son cantidades que cambian durante un proceso, guardan una proporción y el cálculorelación entre sí, donde el valor de una de ellas depende de la otra. del valor faltante en una expresión para PRACTÍCALO Actividad 4.1 que pueda obtenerse la proporción.1. En un recorrido en carretera, un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 60 km por hora. La siguiente tabla presenta la situación. Completen los espacios vacíos. Qué observar Tiempo en horas 123456 No hay que Recorrido en kilómetros 60 120 180 240 300 360 conformarse con la simple resolución dea) Expliquen: ¿cómo podrían calcular el recorrido que se hace en 12 horas? los problemas, una de las labores del docente Por medio de una regla de tres, si una hora es a 60 km, entonces ¿cuántos km se recorren en 12 horas? es llevar más allá del problema al alumno,b) ¿Cómo expresarían de manera algebraica esta situación? 1 ‫؍‬ 60 km promoviendo que sea él 12 x mismo quien proponga situaciones en las quec) ¿Usarían el mismo procedimiento para calcular la distancia recorrida en un determinado tiempo? use los conceptos y Si. procedimientos hasta ahora empleados, que 193 las situaciones surjan de los alumnos, y dentroBitácora pedagógica de su contexto las vuelva más interesantes. 193

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 PRACTÍCALO Actividad 4.2 1. Resuelvan los siguientes problemas.Cómo enriquecer a) Juan José se dedica a reparar bombas para las gasolineras, hoy reparó tres y le pagaron $21,000, si sula actividad hermano Ricardo le ayudó con el trabajo de dos días y le pagaron $49,000 ¿cuántas bombas reparó? Siete bombas.Dé tiempo al grupopara que resuelvan uno • ¿Qué operaciones realizaron para encontrar el resultado? Multiplicación y división.a uno cada situación.Propicie la participaci n • Describan con sus propias palabras c mo se realiza este procedimiento. para que el grupo Si por 3 bombas le pagaron $21 000, cuantas bombas reparó en dos días si le pagaron $49 000.avance de maneramás homogénea. b) Natalia y Andrea quieren ayudar a una casa hogar, hoy compraron 8 toallas por $480, pero se dieron cuenta que les faltaron 3 y las van a comprar mañana. • ¿Cuánto pa arán por las tres toallas? $180 ¿cuánto cuesta cada una? $60 ¿qué operaciones realizaron para encontrar estos resultados? Multiplicación y división. • ¿Consideran que este es el nico procedimiento para encontrar el resultado? usti quen su respuesta. Respuestas abiertas c) Roberto y Galia tienen un negocio de aluminio. Para construir una puerta que mide 200 cm de largo por 80 cm de ancho en el interior de esta quieren colocar un vidrio de 45 cm de ancho proporcional a la puerta. • ¿Cuánto debe medir el lar o? 112.5 cm de largo. • scriban el planteamiento que realizaron. Si 80 cm de ancho corresponden a 45 cm de ancho de la ventana entonces ¿cuántos cm de largo de la ventana corresponden a 200 cm de largo de la puerta? • oberto dice que para calcular esta medida debe multiplicar 200 el resultado dividirlo entre 80, pero Galia dice que debe dividir 45/80 y el resultado multiplicarlo por 200. ¿Quién tiene la razón? Ambos Expliquen su respuesta. La secuencia de operaciones es distinta pero el resultado es el mismo.Reﬂexión 194Sobre la Bitácora pedagógicaresponsabilidadEn las matemáticas laresponsabilidad en laentrega y resoluciónde ejercicios tiene queser constante, con laﬁnalidad de tener unbuen aprendizaje.194

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad si comparan las medidas reales con las medidas del muro?la actividad 1 60 = 0.016Pida a los alumnos que comparen las • Expliquen la forma como encontraron la constante de proporcionalidad.dimensiones del Comparando los cocientes entre las dimensiones de ambos planos.plano obtenido enesta sección con • ¿Cómo pueden comprobar que su resultado es verdadero?los dos anteriores, Veriﬁcando que todas las dimensiones del plano original tengan la misma constante de proporcionalidad.luego realicen estacomparación de • Describan con sus propias palabras ¿cuáles son los efectos del factor inverso en la relación de proporciona-forma inversa. lidad de este problema? Respuesta abiertaVeriﬁque que losalumnos entienden Ahora, con base en el plano del muro, José Luis elaboró el plano para el dueño del deportivo. Observen laslas representaciones medidas que obtuvo.de estas escalas, asícomo su signiﬁcado • Si comparan el plano de José Luis con el muro, expliquen ¿cómo pueden obtener la constante de pro-aplicándolo a ambos porcionalidad? Dividiendo las dimensiones del plano de José Luis con las dimensiones del plano del muro.sentidos.De ser necesario 1proponga otrassituaciones para • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? 3que las trabajen enel cuaderno. • ¿Qué representa esta cantidad? Que sus dimensiones se reducen hasta la tercera parte. • ¿Cómo pueden comprobar que su resultado es correcto? Comparando los cocientes entre las dimensiones de ambos planos. Si ahora comparamos de forma inversa, es decir, el plano de José Luis con respec- USA LAS TIC to al muro, ¿cómo pueden obtener la constante de proporcionalidad? Dividiendo las dimensiones del plano del muro con las dimensiones del plano que realizo José Luis. • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Tres En esta página encontrarás • ¿Qué representa esta cantidad? Que sus dimensiones aumentan hasta 3 veces. un interactivo para practicar la proporcionalidad: www. • ¿Cómo pueden demostrar que su resultado es correcto? telesecundaria.dgme.sep. Comparando los cocientes entre las dimensiones de ambos planos. gob.mx/interactivos/2_ segundo/2_Matematicas/2m_ Comparen sus resultados con los de todo el grupo y con asesoría de su profesor b01_t07_s01_descartes/ veriﬁquen quién realizó y obtuvo los resultados correctos. TS_1_index.html 202 Bitácora pedagógica202

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BLOQUE 4 BLOQUE 4LO QUE APRENDÍ1. Sergio quiere poner un restaurant de comida vegetariana y lo quiere publicitar a través de una manta que mida 62 cm de largo y mil folletos de 12.5 cm de largo iguales a la manta que pondrá en su local.Indica las medidas de la manta: Cómo enriquecer la actividadRecuadro del nombre del restaurant: ancho 29.7 cm largo 62 cm largo Elabore en el pizarrón,Recuadro del eslogan. Lado: 13.7 cm un esquema como el siguiente, simulandoImágenes de comida. Lado: 8.7 cm que se trata de la manta que se utilizaráDimensiones del anuncio: largo 57.5 cm 11.25 cm de ancho para publicitar el restaurante deIndica las medidas del folleto: comida vegetariana, estos datos seránRecuadro del nombre del restaurant: ancho 6 cm largo 12.5 cm indispensables para ancho que el alumno puedaRecuadro del eslogan. Lado: 2.75 cm resolver la situación planteada.Imágenes de comida. Lado: 1.75 cm Asimismo, considereDimensiones del anuncio: largo 11.55 cm 2.2 cm estas dimensiones para cada una de las ﬁguras• ¿Cuál es el factor de proporcionalidad entre el anuncio original y la manta? Cuatro que conforman la• ¿Cuál es el factor de proporcionalidad entre el anuncio original y el folleto? Veinte manta:• ¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar el valor de proporcionalidad en los casos planteados? Rectángulo amarillo: 250 cm x 120 cm Por medio de la comparación de las dimensiones del anuncio original con las que se quiere hacer la Rectángulo azul: 230 manta y el folleto. cm x 45 cm• Justiﬁca tu respuesta. Todas las medidas que se obtiene presentan un cociente constante. Cuadrado rosa: 55 cm de cada ladoCompara tus procedimientos y resultados con el resto de tus compañeros y veriﬁca con tu profesor que sean Hexágono verde: 35correctos. cm de cada lado Desarrolla tus habilidadesInvestiga lo que representa y signiﬁca un famoso dibujo hecho por Leonardo DaVinci llamado El hombre del Vitruvio.Escribe de forma breve qué relación guarda este famoso dibujo con lasproporciones. Respuesta abierta 203Bitácora pedagógica 203

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje temático Manejo de la información Tema Nociones de probabilidad Contenido 6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para veriﬁcar los resultados ACUÉRDATE DE...Cómo enriquecer 1. Organizados en equipo, analicen el problema y comenten con el grupo la solución.la actividad a) En una bolsa de papel tengo tres canicas, todas son del mismo tamaño y material, excepto que tienenPermita que los diferente color: una es blanca, otra es roja y la otra es negra. Si saco una por una las canicas y las voy aco-estudiantes encuentren modando sin ver de qué color van saliendo, ¿de cuántas formas diferentes puede quedar la combinaciónla mejor forma de de colores? Escríbanlas todas.resolver los problemas. Blanca, roja, negra; blanca, negra, roja; roja, blanca, negra; roja, negra, blanca; negra, blanca, roja;Propicie la participaci n abierta y que muestren negra, roja, blanca.las diversas manerasque tienen de proceder PRACTÍCALO Actividad 6.1en la búsqueda desoluciones, ya sea a 1. Resuelve las situaciones y contesta las preguntas.través de diagramas,de gráﬁcas, de dibujos a) En el guardarropa de David hay tres pantalones: uno verde, uno azul y otro gris; también hay dos cami-o de cualquier sas: una gris y otra amarilla.otra forma. b) ¿Cuántas combinaciones diferentes puede formar para vestirse? Seis formasPida al rupo que c) Completa la tabla y comprueba tu resultado.sugieran algunosproblemas de su Camisas Gris Amarillainterés, que impliquen gris - gris gris - amarillael manejo de la Pantalonesinformación y el conteopara su resolución. Gris Azul azul - gris azul - amarilla Verde verde - gris verde - amarilla 204 Bitácora pedagógica204

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BLOQUE 4 BLOQUE 4d) Recuerda que en la primaria resolviste, por medio de diagramas de árbol, problemas de este tipo. Com- pleta el diagrama en el siguiente espacio. Camisa CamisaPantalón G A V G A V Pantalón ¿Cuántas combinaciones resultaron? SeisPRACTÍCALO Actividad 6.21. Resuelvan los problemas. Para cada uno de ellos, elaboren su diagrama de árbol. Qué observar a) En un restaurante se preparan 2 sopas y 4 guisados. ¿De cuántas maneras diferentes puede formarse un Una de las mayores menú? 8 formas diﬁcultades de los Importante: Si ya encontraron cómo se podría obtener de manera inmediata la respuesta, coméntenlo estudiantes es la con el grupo. representación gráﬁca. Aproveche Diagrama de árbol estas oportunidades para que también G1 G1 Diagrama de árbol. Forma interpreten los gráﬁca de representar todos diagramas de árbol.S1 G2 S2 G2 los posibles resultados que G3 G3 puede tener un experimento o una serie de ellos. G4 G4• si se aumenta una sopa y un guisado, ¿cuántos menús se forman? Quince menús.• i amos con el restaurante ¿cuántos men s di erentes se podrán ormar si un día se preparan 2 sopas, 3 guisados y 2 postres? Doce menús. 205Bitácora pedagógica 205

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar b) Al lanzar al aire una moneda en dos ocasiones y registrar el resultado, ¿cuáles y cuántos son los resulta- dos diferentes que se pueden obtener?Al resolver estosproblemas y trazar Diagrama de árbolel diagrama de árbol,propóngales que M1 M2si les resulta más Sol Águila Cuatro posibles resultadossencillo elaboren unagráﬁca cartesiana. Sol Águila c) Si se lanzan 2 dados de diferente color, ¿cuántos y cuáles son los posibles resultados que se pueden obtener? Diagrama de árbol DR2 DR2 DA1 DA6 DA1 DA6 DA2 DA5 DA2 DA5 DA3 DA4 DA3 DA4 DR3 DR4 DA1 DA6 DA1 DA6 DA2 DA5 DA2 DA5 DA3 DA4 DA3 DA4 DR5 DR6 DA1 DA6 DA1 DA6 DA2 DA5 DA2 DA5 DA3 DA4 DA3 DA4 206 Bitácora pedagógica206

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BLOQUE 4 BLOQUE 4 Qué observard) Ahora lancemos primero un dado y después una moneda, ¿cuáles son los posibles resultados? Analice con el grupo las Diagrama de árbol circunstancias que son provocadas al obtenerA 1 S 1 combinaciones con condiciones distintas, 6 2 6 2 y en qué afecta su representación si se 3 3 cambia el orden de 4 4 comparación, inclusive 5 5 se pueden poner ejemplos con tres o Doce posibles resultados más condiciones. • Describe las diferencias del procedimiento que utilizaron en los incisos b), c) y d). En esencia el procedimiento es el mismo la diferencia con el inciso a) es que el diagrama se realizó de ma- nera vertical, sin embargo la forma de obtener el número de resultados posibles es la misma, multiplicar cada una de las cantidades de resultados posibles. • Describe cómo llevaron a cabo el diagrama de árbol. Se colocan los primeros resultados y para cada uno de ellos se colocan sus posibles combinaciones de forma ramiﬁcada, es decir en un diagrama de árbol. • ¿Cómo iniciaron el diagrama, representando en primera instancia el dado o la moneda? Con la moneda. • Justiﬁquen su respuesta. Porque al iniciar son solo dos combinaciones, si se inicia con el dado son seis, por lo tanto el diagrama es más grande.Comparen sus resultados con el resto del grupo y con la asesoría del profesor obtengan una conclusión acercade la actividad. 207 Bitácora pedagógica 207

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 e) A una reunión llegaron Alma, Blanca, Cecilia y Diana. Si fueron llegando una tras otra, encuentra todos losCómo enriquecer posibles ordenamientos en que pudieron haber llegado.la actividad Diagrama de árbol AAABBBLlévelos a trazar eldiagrama y resolver BCD CBD DBC ACD CDA DACsituaciones máscomplejas que tengan CCCDDDque ver con algunapermutación sencilla, ABC BDA DAB ABC BCA CABcomo por ejemplo: “Siformamos tres alumnos f)Como los datos son nombres propios, ¿cuál es la manera más adecuada de construir un diagrama de árbol?en una ﬁla, ¿de cuántas Pueden llevar cualquier orden lo importante es que se respete al crear el diagrama.maneras diferentespueden ocupar Justiﬁquen su respuesta. La variable se reﬁere a una “cualidad” (el nombre).un lugar en la ﬁla?Escribe los diferentesordenamientos quehayas encontrado.” g) En cierta escuela se imparten 4 talleres: mecánica, contabilidad, computación y electricidad; hay también 3 actividades deportivas: fútbol, básquetbol y atletismo. Si a cada alumno le dan la opción de seleccionar taller y actividad deportiva, ¿cuántas posibles combinaciones se registrarán? 12 Combinaciones. USA LAS TIC h ) En una caja hay cinco ﬁchas marcadas con un número distinto. Se extrae una ﬁcha de la caja y se registra su número. ¿Cuántos números diferentes, de Aquí tienes un video que dos cifras, se pueden formar si: explica y ejempliﬁca los problemas de conteo: • a primera c a e traída se re resa a la ca a? 25 http://www.amolasmates. es/ﬂash/combinatoria/ • demás de aber re resado la c a a la ca a, no se acepta que los n meros mod_4publish/ sean repetidos (es decir, no se acepta que sean 1,1 o 2,2 o 3,3 o…)? 20 208 • a primera c a e traída no se re resa a la ca a? 20 Como los datos son nombres propios, ¿cuál es la manera más adecuada de construir el diagrama de árbol? Pueden llevar cualquier orden, siempre y cuando se respete al crear el diagrama. • Justiﬁquen su respuesta. Respuesta abierta Bitácora pedagógica208

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BLOQUE 4 BLOQUE 4LO QUE APRENDÍ1. En un programa de televisión están realizando un concurso, los participantes pasarán en orden según el sor- Cómo enriquecer teo que se realiza antes del juego con pelotitas en una urna marcadas con los números 1, 2 y 3. Durante el la actividad juego los participantes ganan dependiendo de la combinación de 3 dígitos que formen (siempre juegan los 3 números y se pueden repetir). Construya junto con el grupo un diagramaa) Realiza el diagrama de árbol que representa 1 1 111 de árbol comparativo todas las posibilidades que puede tener el 2 como el que propone orden de presentación de los participantes. 3 1 2 112 el libro, pero elimine la posibilidad de que seb) Realiza el diagrama de árbol que represente los 3 113 repitan los resultados. resultados posibles que se pueden dar durante 1 121 Induzca al grupo a que el juego. 2 2 122 analice la diferencia en 3 123 la cantidad y el tipo dec) Responde las preguntas. 1 131 combinaciones. 2 132 Varíe la cantidad de • i el u ador apuesta que saldrán al menos 3 3 133 números reduciendo dos números iguales ¿Cuántas combinacio- 1 211 a dos o aumentando a nes lo hacen ganador? 20 1 2 212 cuatro. 3 213 • si apuesta que el primer n mero es un . 1 221 Qué observar ¿Cuántas combinaciones lo hacen ganador? 2 2 222 3 223 Pida que presenten 9 1 231 el procedimiento 3 2 232 de solución en el • i apuesta que los n meros serán i uales. 3 233 pizarrón y observe ¿Cuántas combinaciones lo hacen ganador? 1 311 qué tanto manejan 1 2 312 las propiedades de los 3 3 313 números en la suma, 1 321 por ejemplo: en las • n total, ¿cuántas combinaciones se ormaron? 2 2 322 centenas no pueden 27 3 323 estar dígitos mayores 1 331 porque nos obligaría • scribe la operaci n que se debe realizar 3 2 332 a ocupar otro lugar a para obtener el número de combinaciones 3 333 la izquierda. posibles. 3 ؋ 9 = 27Desarrolla tus habilidadesAcomoda en las tarjetas los números del 1 al 9, sin que falte ni sobre ninguno,de tal manera que resulte una suma.527364891 209Bitácora pedagógica 209

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje temático Manejo de la información Tema Análisis y representación de datos Contenido 7 Lectura de información representada en gráﬁcas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráﬁca más adecuadaCómo enriquecer ACUÉRDATE DE...la actividad En equipo comenten, de manera ordenada, sus conocimientos acerca de las siguientes gráﬁcas:Aproveche la sección gráﬁca poligonal; gráﬁca de barras; gráﬁca de sectores circulares.“ACUÉRDATE DE…”para obtener un PRACTÍCALO Actividad 7.1diagnóstico acerca deltipo de gráﬁcas que Puntos1. Consideren la siguiente gráﬁca que muestra los puntos realizados por seis equipos de futbol al ﬁnalizar elconocen los alumnos torneo de apertura 2011.y de los elementosque intervienen en Puntos realizados por equipos de futbolsu representación einterpretación. 50 40Pídales que consi an 30algunas revistas, 20periódicos o cualquier 10otro material que 0contenga gráﬁcas,para que las analicen CrucGeoslodnedfriuneagsode manera grupal Panterasidentiﬁquen las Platerosdiferencias que Caracoleshay entre cada tipo Club jovende gráﬁca. Equipos de futbolQué observar • ¿Qué equipo realiz la ma or cantidad de puntos? Caracoles • ¿Qué equipos obtuvieron i ual cantidad de puntos? Golondrinas y Plateros.Esta actividad tiene la • ¿Cuál ue la di erencia de puntos entre el primero el ltimo equipo? Treinta puntosintención de hacer que • i por cada ue o anado se otor an tres puntos, ¿cuántos partidos tendría que aber anado las Panteras los estudiantes inicien elanálisis de información para ser campeón? _d_o_s_________ Expliquen su procedimiento. Por una diferencia de puntos.en una gráﬁca. En esta • ¿ los Plateros para ser campe n? Seis juegosactividad conviene 210preguntar a los alumnosde qué manera pueden Bitácora pedagógicaapreciar mejor losdatos obtenidos delos equipos y recordarque cuando los datosmantienen un orden(por ejemplo: tiempoo estatura), la gráﬁcaque corresponde es unapoligonal, si los datospueden ordenarse demanera arbitraria, lagráﬁca podrá serde barras.210

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BLOQUE 42. Ahora analiza la siguiente gráﬁca circular. BLOQUE 4 14% 15% Porcentaje de puntuación al ﬁnal Qué observar del torneo de apertura 201114% 15% Que los alumnos Golondrinas analicen la forma en21% 14% Cruces de fuego cómo se elaboró una Panteras gráﬁca circular.151%5% 21% Plateros 21% Caracoles Cuestiónelos acerca de Club joven cómo se obtuvieron los sectores de cada uno de los equipos y si este tipo de graﬁcas es manejable para extraer información.• i se sumaran los puntos de estos equipos, ¿qué porcenta e le corresponde al campe n del torneo? 21% ¿y al subcampeón? 21% aproximadamente.• ¿Qué equipos tuvieron menor porcenta e? Cruces de fuego y Club Joven.• i comparan los puntos realizados por los equipos en la rá ca de barras, ¿corresponden con el campe n subcampeón? No ¿Por qué creen que ocurra esto?Porque la gráﬁca de barras es más exacto en comparación de la circular.Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y con su profesor concluyan acerca de la manera más ade-cuada de realizar una gráﬁca de barras y una poligonal.Para tener en cuentaLa gráﬁca de barras es otra forma de representar datos utilizando barras vertica-les u horizontales. Las barras se colocan separadas y su altura o longitud depen-den de la frecuencia; también debe llevar título asociado.PRACTÍCALO Actividad 7.21. Consideren la siguiente información, elaboren la tabla de frecuencias correspondiente y represéntenla mediante una gráﬁca de barras utilizando las frecuencias absolutas. a) En cierto grupo de primer año, se hizo una encuesta a 15 alumnos para saber cuántas horas a la semana dedicaba cada uno de ellos a estudiar algunas de las asignaturas con las que han tenido mayor diﬁcultad. 211Bitácora pedagógica 211

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer Datos obtenidos:la actividad Español: 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1.Después de resolver Matemáticas: 3, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 3.la actividad, pida al Geografía: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 2.grupo que realice una Inglés: 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2.encuesta semejante Biología: 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1.en el propio grupoabarcando todas las Tiempo Tiempo dedicado al estudio Asignatura Frecuencia Frecuenciamaterias que llevan absoluta relativaen este grado, y 32 Español 28 0.225que tracen la gráﬁca 28 Matemáticas 31 0.25correspondiente para 24 Geografía 22 0.177darle signiﬁcado a 20 Inglés 18 0.145la actividad. 16 Biología 25 0.201 12 Total 124 0.998 1Qué observar 8 Mat. Geo. Ing. Bio. AsignaturaEsta actividad está 4diseñada parainterpretar información 0 Esp.a partir de las gráﬁcas.Coordine la actividad b) ¿A qué asignatura se le dedicó el mayor porcentaje de tiempo por semana?para que los alumnos Españolavancen a su propioritmo y aclaren entre c) ¿Cuál es la asignatura a la que se dedican menos horas de estudio a la semana?ellos las dudas Inglésque surjan. PRACTÍCALO Actividad 7.3Cambiando números 1. La siguiente gráﬁca es representativa de la producción de motores fabricados en cierta armadora. Analiza laSolicite a sus alumnos gráﬁca de barras y completa los datos de la tabla de frecuencias.que en esta tablarealicen el calculo de Tabla de frecuenciaslos datos que se piden. Día Número Frecuencia Frecuencia de absoluta relativa Lunes Martes motores Miércoles Jueves Viernes Total 212 Bitácora pedagógica212

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BLOQUE 4 BLOQUE 4 Producción de motores por semana Tabla de frecuenciasNúmero de motores40 Día Número Frecuencia Frecuencia Cambiando números35 de absoluta relativa30 Lun En esta tabla, pida a sus25 Mar motores alumnos que comparen20 Mier los datos con otro15 Jue 25 25 0.2 compañero y que10 Vier vacíen la información Total 35 35 0.28 que diﬁera de la tabla 5 anterior. 15 15 0.12 0 Lun Mar Miér Jue Vier 30 30 0.24 20 20 0.16 125 125 1 DíaPara leer másExisten otras formas para mostrar de manera objetiva la información; una deellas es por medio de gráﬁcas circulares. La gráﬁca circular se utiliza para mostrarla relación que existe entre cada una de las partes de un todo.2. Observa la siguiente tabla de frecuencias relacionada con las diferentes edades de los alumnos de un grupo de primer año. A partir de la información contenida en ella, completa la tabla.Edad en Frecuencia Frecuencia Ángulo Edad de los alumnos de 10 A Qué observar años absoluta relativa 180o 12 54° Veriﬁque que los 25 25 ‫؍‬ 0.5 50% 72° alumnos comprenden 13 50 360o la relación que hay de 180o este tema con la regla 14 15 de tres, el sistema 15 50 ‫؍‬ 0.3 30% sexagesimal y los Total porcentajes. 10 10 ‫؍‬ 0.2 20% 108o 72o 50 Es conveniente que observe que los 50 50 ‫؍‬ 1 100% alumnos utilizan de 50 manera correcta el transportador y que losUtiliza el transportador para veriﬁcar la medida de cada ángulo. sectores encontrados correspondan a la tabla 213 de frecuencias.Bitácora pedagógica 213

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Para tener en cuenta Gráﬁca circular Para determinar cada ángulo se resuelve una proporción. x En el ejercicio: 25 ‫؍‬ 360 50 de donde: x‫؍‬ 25 ؋ 360 50 x ‫ ؍‬1800 25 Ángulo por determinar. 50 Total de elementos. 360º Medida angular de la circunferencia. PRACTÍCALO Actividad 7.4Qué observar 1. Completen la tabla e identiﬁquen en la gráﬁca el color que representa a cada equipo deportivo.Los alumnos deben a) En un grupo de tercer año, los alumnos están distribuidos en diferentes equipos deportivos de la siguien-de entender la te manera: 15 en futbol, 9 en voleibol, 12 en básquetbol y 14 en atletismo.diferencia entrefrecuencia absoluta y Equipo Frecuencia Frecuencia relativa Ángulofrecuencia relativa; de Futbol absoluta 108ºlo contrario, tendrán 64.8ºdiﬁcultades para 15 15 ‫؍‬ 0.3 86.4ºdeterminar el tanto 50 100.8ºpor ciento necesario 360ºpara establecer Voleibol 9 9 ‫؍‬ 0.18la proporción y Básquetbol 12 50 0.24determinar los ángulos Atletismo 14 0.28correspondientes a los 12 ‫؍‬sectores que formarán 50la gráﬁca circular. 14 ‫؍‬Cómo enriquecer 50la actividad Total 50 1Pida que desarrollen la Actividad 7.4 en Coloreen cada según corresponda con la gráﬁca.parejas, para quese apoyen en los Azul Futbol Rojo Atletismo Amarillo Básquetbol Verde Voleibolcálculos y el trazo decada sector con el 214transportador. Bitácora pedagógicaPídales que realicen la comprobación desus resultados.Cuestiónelos acercade los valores queobtuvieron para cadaángulo de los sectoresy que criterio utilizaronpara indicar el valordel ángulo.214

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BLOQUE 4PRACTÍCALO BLOQUE 4 Actividad 7.51. A partir de la información que aparece en la gráﬁca circular, completen la tabla. Cómo enriquecer la actividad a) Se hizo una encuesta entre los grupos de primer año de una escuela. En ella, se preguntó a 150 alumnos lo siguiente: De los productos que vende la cooperativa escolar, ¿cuál es tu favorito? La Actividad 7.5 es el complementoProducto Frecuencia Frecuencia Ángulo de la anterior; pida absoluta relativa que la resuelvan en equipo y al ﬁnalizarPaleta 30 0.2 72° que comparen sus resultados con restoFrutas 40 0.263 95° del grupo.Sándwich 10 0.066 24° Pida que un inte rante de cada equipoTorta 20 0.133 48° pase al pizarrón y, haciendo uso del juegoRefresco 50 0.336 121° geométrico de madera, realicen la gráﬁcaTotal 150 0.998 1 360° correspondiente a este ejercicio. Frutas Paleta Refresco Sandwich Torta 215Bitácora pedagógica 215

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 7.6Cómo enriquecer PRACTÍCALOla actividad 1. Realicen una encuesta con 100 alumnos del plantel. Seleccionen alguna de las siguientes interrogantes,Oriente a los alumnos considerando al menos tres respuestas posibles.para que realicen unaejercicio semejante a a) ¿Qué medio de transporte utilizas para llegar a la escuela? Respuesta abiertala de esta actividad en b) ¿Qué caliﬁcación obtuviste en tu anterior prueba de matemáticas? Respuesta abiertaequipos, que presenten c) ¿De qué talla es tu uniforme? Respuesta abiertala investigación, la d) ¿Cuál es tu equipo deportivo favorito? Respuesta abiertatabla de frecuencias e) De los programas de televisión, ¿cuál es tu favorito? Respuesta abiertay la gráﬁca circular f ) Otra situación particular que le interese al equipo. Respuesta abiertacorrespondiente. Por 2. Lleven un registro de frecuencias para que puedan realizar su tabla y después trazar la gráﬁca circular.seguridad, procureque la investigación Frecuencia Frecuencia Ángulose desarrolle dentro absoluta relativade la escuela. Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Total Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta 216 Bitácora pedagógica216

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BLOQUE 4 BLOQUE 4 LO QUE APRENDÍVamos a desarrollar un trabajo estadístico completo, para ello deberán organizar un equipo de trabajo, planear Cómo enriquecerla secuencia de actividades y repartir las tareas que realizará cada uno. Al ﬁnal deberán preparar una exposición la actividadfrente al grupo para realizar una descripción del trabajo hecho, así como para mostrar los resultados obtenidos. Permita que los Tema: Tecnologías de la Información y la Comunicación en los hogares de los estudiantes. alumnos expliquen los procedimientosObjetivo: Investigar las posibilidades que tienen los alumnos para acceder al uso de las Tecnologías de la Infor- seguidos paramación y la Comunicación en su comunidad escolar. Realicen la encuesta en su escuela a sus compañeros de completar las tablas y2º y 3er grados. hacer la representación gráﬁca.1. Elaboren en su cuaderno un cuestionario donde incluyan los siguientes datos: nombre, edad, sexo, número de personas que habitan en el domicilio, y preguntas como: ¿Tienen computadora? ¿Cuántas? ¿De escrito- Que expliquen la rio, portátil u otro? ¿Cuántas horas la utilizan a la semana? ¿Cuál es su uso principal? ¿Tienen conexión a diferencia entre gráﬁca Internet? poligonal e histograma.2. Completen las tablas con base en sus resultados. Que validen sus respuestas atendiendoTabla 1 la congruencia de estas con las gráﬁcas.Tipo de computadora Núm. de computadoras Frecuencia Relativa PorcentajeEscritorio Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta ReﬂexiónPortátil Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Sobre la identiﬁcaciónOtro tipo Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abiertaSin computadora Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Es bueno identiﬁcarseTOTAL Respuesta abierta con aquellas personas con quienesTabla 2 Hombres Mujeres Total puedes expresarte con libertad, intercambiar Tiempo de uso de Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta ideas y conocimientos, la computadora Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta compartir emociones e Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta ideales que te ayuden a a la semana Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta ser una mejor persona. Menos de una hora Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta En las matemáticas Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta el trabajo en equipo De 1 a 5 hrs debe realizarse con 217 compañeros con De 5 a 10 hrs quienes tienes la conﬁanza de exponer De 10 a 15 hrs tus argumentos acerca de un ejercicio. La 16 o más hrs socialización es un recurso eﬁcaz que te Total permite tener una retroalimentaciónBitácora pedagógica constante. 217

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MATEMÁTICAS 1Qué observar MATEMÁTICAS 1 Casas con computadora Respuesta abiertaEs importante vigilar el 35desarrollo del trabajo, 30Casassi los estudiantes logran 25establecer la diferencia 20 Portátil Otros Sin computadoraentre el histograma 15y el polígono de 10frecuencias al hacer larepresentación gráﬁca. 5Veriﬁque que los 0alumnos atiendanlos ejemplos para Escritoriorecuperar informacióny estar en condiciones Tiempo de uso de la computadora a la semanade acceder a más. 30Cómo enriquecerla actividad 25 Respuesta abiertaSi los alumnos optanpor el trazo de la 20gráﬁca de sectorescirculares, debe Personas 15explicar cómo seobtiene la medida 10de cada sector, quérepresenta y cuál es 5la suma de todos lossectores expresada 0 10 15 20como porcentaje. 5 Número de horasRecursos 3. Como pudieron notar, cada tabla corresponde a una pregunta de las que se realizaron, ahora elaboren eny materiales su cuaderno sus tablas para las preguntas restantes.Algunas reﬂexiones 4. Realicen las representaciones gráﬁcas. (No necesariamente deben ser de barras, pueden utilizar una circularprácticas sobre o el tipo que les sea más útil).el histograma lasencontrará en la 5. Construyan las gráﬁcas faltantes en su cuaderno.página Eduteka, en suartículo Discusión sobre 218histogramas vs. gráﬁcasde barras. Bitácora pedagógicahttp://www.eduteka.org/mi/master/interactive/discussions/sd4.html218

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BLOQUE 4 BLOQUE 46. Por último, respondan las preguntas y auxílience de ellas para preparar su exposición. • ¿A qué conclusión llegaron en cuanto a la cantidad de hogares que disponen de computadora? Respuesta abierta • Expliquen cuál es la preferencia de las personas en cuanto al uso de computadoras de escritorio, portáti- les, otras, o por no usarlas. Respuesta abierta • ¿Cuál es su conclusión en cuanto al uso de Internet? Respuesta abierta • Según su opinión, ¿qué aspectos positivos y negativos observaron en cuanto al uso de la computadora durante su investigación? Respuesta abierta • ¿Qué sugerencias pueden hacer con base en su investigación para que se aproveche al máximo el uso de las computadoras en su comunidad? Respuesta abiertaDesarrolla tus habilidades USA LAS TIC Cómo enriquecer la actividadPara cepillarse los dientes, además del cepillo y la pasta dental, basta un ligero Excel es un programa deenjuague, medio vaso con agua y un enjuague ﬁnal, pero mucha gente deja Ofﬁce que tiene una gran Pida a los alumnos abierta la llave del agua hasta por tres minutos. Elabora la tabla y la gráﬁca que variedad de posibilidades que elaboren en susmuestren el desperdicio de agua cada minuto, si se sabe que por la llave del para construir gráﬁcas, cuadernos la tablaagua salen cuatro litros por minuto. conócelas visitando esta de frecuencias y que página: ofﬁce.microsoft. construyan una gráﬁca com/es-es/excel-help/tipos- de barras y una circular, de-graﬁcos-disponibles- cuestiónelos sobre cuál HA001233737.aspx consideran que sea más conveniente y 219 por qué.Bitácora pedagógica 219

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer Evaluaciónla actividad Resuelve las siguientes situaciones y escribe en el paréntesis de la derecha la letra que contenga laRecuerde que la sección respuesta correcta. Al ﬁnalizar, revisen en grupo esta prueba, sus resultados y los procedimientos.“Evaluación” pretendeque los alumnos se 39autoevalúen, esto 1. Una mezcla de harina y leche contiene 5 de harina y 20 de leche.es, que aprendan areconocer qué es lo que 1. Si en la mezcla hay 50 gramos de leche, ¿cuántos gramos hay de harina? (a)ya saben hacer, qué d) 76.6 gmás están aprendiendo a) 66.6 g b) 656 g c) 26.66 gy en qué contenidosnecesitan poner un 2. Para recorrer 480 kilómetros, un automóvil necesitó 85 litros de gasolina.mayor esfuerzo. 1. ¿Cuántos litros necesitará para un viaje de 720 kilómetros si el consumo está (d) en la misma proporción? d) 127.5 litros a) 137.5 litros b) 125.5 litros c) 133.5 litros 3. Encuentra el valor que se te pide en los siguientes problemas. 1. ¿Cuál es el valor del radio si se tiene un círculo cuya área es de 28.27 cm2? (b) d) 3.6 cm a) 2.5 cm b) 2.9 cm c) 3.9 cm (a) 2. ¿Cuál es el valor del diámetro de una circunferencia que tiene un d) 7.2 cm perímetro de 25.13 cm? a) 7.9 cm b) 8.8 cm c) 7.5 cm 4. Un mecánico tarda 6 días en arreglar el motor de un auto, al aumentar el número de mecánicos, el tiempo empleado para realizar el mismo trabajo será menor. 1. ¿Cuántos días tardarán dos mecánicos en arreglar el motor? (c) d) 4 días a) 2.5 días b) 2 días c) 3 días (a) 2. ¿Cuántos días tardarán tres mecánicos en arreglar el motor? d) 3.2 días a) 2 días b) 3 días c) 2.5 días 220 Bitácora pedagógica220

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BLOQUE 4 BLOQUE 4 Cómo enriquecer la actividadEvaluación Motive a los alumnos 5. En la gráﬁca se muestra el registro de nacimientos de varones del año 2011 en el Distrito Federal, para que resuelvan según la Secretaría de Salud. Obsérvala y contesta las preguntas. esta evaluación de forma honesta, procure 18,000 que comprendan la 16,000 importancia de la 14,000 actividad y la utilidad 12,000 que puede tener para 10,000 mejorar su nivel actual de conocimientos. 8,000 Procure que tomen la 6,000 evaluación como algo 4,000 habitual, bueno y sano; 2,000 es decir, como parte del proceso de aprendizaje 0 de las matemáticas.CuVajeiMGnaumugsaÁstlldMtaiivpaBlCvAagaaeezruonunXIcdnaoieozoAtlaCeauI.MtcioOopCzlhaTHCTtlhytaMiJbMolippraorátéoaoaudraaczlernhlmaáadaitaalmepragclAullrelnlgaoceáracócptezoczrocnonoaooansaas1. ¿Cuál es la delegación que presenta menor índice de nacimientos? (b)a) Benito Juárez b) Milpa Altac) Cuajimalpa d) Miguel Hidalgo2. ¿Cuál es la delegación que presenta mayor índice de nacimientos? (d)a) Tlalpan b) Álvaro Obregónc) G. A. Madero d) Iztapalapa3. ¿Cuáles delegaciones tienen aproximadamente la misma cantidad de nacimientos? ( a )a) Xochimilco, Tláhuac, Coyoacán b) Iztapalapa, Benito Juárez y Azcapotzalcoc) Miguel Hidalgo, Milpa Alta y Álvaro Obregón d) Tláhuac, Xochimilco e Iztapalapa 221Bitácora pedagógica 221

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MATEMÁTICAS 1 Bloque 5 1800 Aprendizajes esperados • esuelve problemas aditivos que implican el uso de n meros enteros, raccionarios o decimales positivos ne ativos. • esuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada potencias de n - meros naturales decimales. • esuelve problemas de proporcionalidad directa ddeell ttiippoo valor altante , en los que la raz n interna o e terna es un n mero raccionario. 222 Qué observar Observe si los alumnos cumplen, al llegar a este último bloque, con las competencias exigidas en el programa, entre éstas destacan la familiaridad con la resolución de problemas que implican el uso de la suma y resta de números enteros; el uso adecuado de la notación cientíﬁca; la utilización de la raíz cuadrada y el uso de potencias con números naturales y decimales por diversos métodos; además de la obtención de regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética; uso de las fórmulas de perímetro y área en la resolución de problemas, así como de proporcionalidad múltiple.222

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BLOQUE 5 Contexto histórico 1976 Se hace el primer trasplante 1837 1843 1862 1939 Samuel Morse idea un Se dan las investigaciones acerca Louis Pasteur desarrolla la Inicia la 2a. Guerra Mundial de corazón humanoalfabeto telegráﬁco conocido con la invasión a Polonia de la genética de Mendel teoría de la infección como clave Morse1800 1840 1880 1920 1960 2000 1801 Hechos matemáticos 1971-1975 Carl Frederic Gauss publica Surgen las primeras computadoras 1854 1890 personales y se establecen las primeras artículos que amplían la George Boole Peano trata los axiomas de teoría de los números desarrolla la lógica normas para el funcionamiento los números naturales de Internet 223 223Cómo enriquecer la actividadSe espera que para este último bloque del curso los alumnos hayan alcanzado ya unritmo de trabajo que les permita resolver de manera más autónoma las actividades.Aproveche la línea del tiempo para que los estudiantes comenten acerca deldesarrollo de las matemáticas y de la cultura en general, por ejemplo:• ¿Hace cuántos años se inventó el telégrafo? ¿Cómo trabaja el telégrafo? ¿Hace cuántos años se desarrolló la Lógica? ¿De qué manera se podrían relacionar estos avances (telégrafo y Lógica) para obtener el principio mediante el cual trabajan las computadoras?• Pídales que investiguen y presenten una pequeña biografía acerca de George Boole y de Peano, ¿qué avances dieron estos personajes al desarrollo de las matemáticas?

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema Problemas aditivos Contenido 1 Resolución de problemas que impliquen el uso de sumas y restas de números enteros.Cómo enriquecer ACUÉRDATE DE...la actividad En parejas, practiquen a manera de juego la ubicación del desplazamiento de un punto en una recta numéricaPropicie la participación horizontal. Es importante recordar que el punto que representa a los números positivos se desplaza hacia laen la sección derecha y el que representa a los negativos hacia la izquierda.“ACUÉRDATE DE…”,para que no olviden Utilicen dos dados de diferente color y designen un color para los números positivos y otro para los negativos.que en la recta El punto de partida para ambos jugadores será el cero. Por turnos, un jugador lanza los dados y el otro efec-numérica los números túa el desplazamiento de su punto sobre la recta y dice cuál resultó ser la ubicación ﬁnal del punto. Van repi-positivos van hacia la tiendo el lanzamiento de los dados hasta que uno de los puntos quede fuera de la recta numérica. Ejemplo:derecha y los negativoshacia la izquierda. Jugador A: ؉3, ؊6, quedó en ؊3, para desde ahí iniciar en el siguiente turno.Cómo enriquecer ؊10 ؊8 ؊6 ؊4 ؊2 0 2 4 6 8 10la actividad Jugador B: ؊2, ؉6, quedó en 4, para desde ahí iniciar en el siguiente turno.Seleccione a algúnalumno para que • ¿Qué método usaron para re istrar sus lanzamientos? Respuesta abiertaexponga sus respuestas • ¿Cuántos lanzamientos tuvieron que acer para terminar el ue o? Respuesta abiertay las justiﬁque. • ¿Qué relaci n se presenta entre los resultados de los lanzamientos con los si nos ؉ y ؊? Respuesta abiertaPermita la libre Comparen sus respuestas con las de otros equipos unto con su pro esor veri quen sus respuestas.argumentación de losdemás integrantes PRACTÍCALO Actividad 1.1del grupo.Proponga que las 1. Víctor y Adrián juegan a lanzar dardos por turnos, si un dardo cae en la zona naranja obtiene números positivosrespuestas sean y si cae en la zona amarilla obtiene números negativos. Ambos lanzaron 10 veces sus dardos y registraron susubicadas en la números en esta tabla.recta numérica. Víctor Adrián –5 –4 –3 –2 –1 1 234 5 (2)+(4) (3)+(2) (3)+(-4) (3)+(-6) (0)+(-4) (1)+(-6) (-3)+(4) (-3)+(-3) (-2)+(-4) (-4)+(2) 224 Bitácora pedagógica224

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BLOQUE 5 BLOQUE 5En la tabla registren los puntos que obtuvieron en cada tirada. Víctor Adrián • ¿Cuántos puntos en total obtuvo íctor? -4 puntos6 5 • ¿Cuántos puntos en total obtuvo drián? -11 puntos–1 –3–4 –5 • Expliquen el procedimiento que realizaron para obtener1 –6 estos resultados. Sumando los punto que obtuvieron.–6 –2 • Escriban la expresión matemática que les permitió calcular los puntos totales de Víctor. (6) ؉ (-1) ؉ (-4) ؉ (1) ؉ (-6)• Escriban la expresión matemática que permitió obtener los puntos totales de Adrián. (5) ؉ (-3) ؉ (-5) ؉ (-6) ؉ (-2)• ¿Quién ue el anador después de los diez lanzamientos? Víctor• En la recta numérica representa con un color la expresión matemática para los puntos totales de Adrián y con otro color la de Víctor. ؊11؊10؊9 ؊8 ؊7؊6 ؊5 ؊4 ؊3 ؊2 ؊1 0 1 2 3 4 5 6 Cómo enriquecer la actividad Adrián VíctorComparen sus resultados con los demás compañeros de rupo veri quen con su pro esor que sean correctas. Pídales que resuelvan de manera individual PRACTÍCALO Actividad 1.2 esta actividad. Que comparen sus1. Efectúa, de manera directa, las siguientes adiciones. Observa los ejemplos. resultados y, si fuera necesario, que hagana) (3) ؉ (؊3) ‫ ؍‬0 d) (0) ؉ (؊6) ‫ ؍‬؊6 g) (؊2) ؉ (؊3) ‫؍‬ ؊5 j) (9) ؉ (؊9) ‫؍‬ 0 las aclaracionesb) (2) ؉ (؊3) ‫ ؍‬؊1 e) (؊1) ؉ (5) ‫ ؍‬4 h) (؊2) ؉ (؊6) ‫؍‬ ؊8 k) (؊8) ؉ (8) ‫؍‬ 0 correspondientes.c) (0) ؉ (؊4) ‫ ؍‬؊4 f) (1) ؉ (؊5) ‫ ؍‬؊4 i) (؊4) ؉ (؊6) ‫ ؍‬؊10 l) (؊7) ؉ (7) ‫ ؍‬0 Qué observar• ¿Qué indica ؉ (؊ ? Más por menos. ¿Cuál es el resultado? Menos Es importante que los• ¿Qué operaci n se debe realizar cuando se tienen operaciones de si no contrario? Una multiplicación alumnos comprendan que una fracción es Justiﬁca tu respuesta. Se utiliza para eliminar los paréntesis y poder realizar la suma o la resta. un conjunto de partes iguales que conforman• cuando quedan operaciones con el mismo si no, ¿qué operaci n se realiza? Una multiplicación a un entero, el cual ha Justiﬁca tu repuesta. El signo siempre es positivo, pero a ﬁn de cuentas es propósito es el mismo. sido dividido. • ¿Qué actores determinan el si no de un resultado? En sumas y restas el signo lo determina el signo Recursos del número con mayor valor absoluto. y materialesCompara tus respuestas con el resto del rupo con la asesoría de tu pro esor veri ca si tus razonamientos son correctos. Para que sus alumnos practiquen con la PRACTÍCALO Actividad 1.3 recta numérica, la Biblioteca Nacional de1. Con base en las respuestas de la actividad anterior, completen las tablas al nal comparen sus resultados Manipuladores Virtuales, con el resto del grupo. en su sección Números & Operaciones, tiene ela) 3 ؉3‫؍‬ 6 b) 2 ؉2‫؍‬ 4 artículo Recta numérica 3 ؉2‫؍‬ 5 2 ؉1‫؍‬ 3 –Saltos. 3 ؉1‫؍‬ 4 2 ؉0‫؍‬ 2 http://nlvm.usu. 3 ؉0‫؍‬ 3 2 ؉ ؊1 ‫؍‬ 1 edu/es/nav/frames_ 3 ؉ ؊1 ‫؍‬ 2 2 ؉ ؊2 ‫؍‬ 0 asid_107_g_3_t_1.html 3 ؉ ؊2 ‫؍‬ 1 2 ؉ ؊3 ‫؍‬ ؊1 3 0 2 ؊2 225 3 ؉ ؊3 ‫؍‬ ؊1 2 ؉ ؊4 ؊3 ؉ ؊4 ‫؍‬ ؉ ؊5 225Bitácora pedagógica

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 c) 1 ؉ 2 ‫؍‬ 3 d) ؊1 ؉ 3 ‫؍‬ 2 1 1؉1‫؍‬ 2 ؊1 ؉ 2 ‫؍‬ 0 ؊1 1؉0‫؍‬ 1 ؊1 ؉ 1 ‫؍‬ ؊2 ؊3 1 ؉ ؊1 ‫؍‬ 0 ؊1 ؉ 0 ‫؍‬ ؊4 ؊5 1 ؉ ؊2 ‫؍‬ ؊1 ؊1 ؉ ؊1 ‫؍‬ 1 ؉ ؊3 ‫؍‬ ؊2 ؊1 ؉ ؊2 ‫؍‬ 1 ؉ ؊4 ‫؍‬ ؊3 ؊1 ؉ ؊3 ‫؍‬ 1 ؉ ؊5 ‫؍‬ ؊4 ؊1 ؉ ؊4 ‫؍‬ • ¿Por qué unos resultados son positivos otros ne ativos? PRACTÍCALO Actividad 1.4 1. Encuentren la suma de las siguientes cantidades.Qué observar a) (5) ؉ (؊5) ‫ ؍‬0 b) (؊10) ؉ (10) ‫ ؍‬0 c) (؊11) ؉ (11) ‫ ؍‬0Las Actividades 1.4 y d) (1) ؉ (؊1) ‫ ؍‬0 e) (؊12) ؉ (12) ‫ ؍‬0 f) (16) ؉ (؊16) ‫ ؍‬01.5 están diseñadaspara ser resueltas g) (4) ؉ (؊4) ‫ ؍‬0 h) (؊20) ؉ (20) ‫ ؍‬0 i) (7) ؉ (؊9) ‫ ؍‬؊2en parejas; así losestudiantes adquirirán • i sumamos una misma cantidad positiva ne ativa, su suma es C__e_r_o______________________________la seguridad delsigniﬁcado de la • ma inen que en una ca a tenemos la misma cantidad de c as positivas como ne ativas. Por e em-operación y cómo plo, si fueran diez de cada tipo, podríamos decir que ؊10 representa el total de ﬁchas negativas y quepueden efectuarla. ؉10 representa las ﬁchas positivas; tendríamos entonces (؊10) y (؉10) y su suma sería: _C__e_r_o______Curiosidades, • n los e ercicios anteriores aparecen operaciones como esta (3)؉(؊ , se lee tres más menos cua-acertijos y más tro . ¿C mo describes el si ni cado de la e presi n más menos ? _C_o__m__o_ _u_n_ _p_r_o_d__u_c_t_o_._____________Pídales a los alumnos • Cuando estos dos si nos están aparentemente untos, en realidad ¿qué operaci n nalmente debes dos dados; uno rojo realizar, una suma o una resta? Una sumay uno negro y que pliquen su respuesta. _____________________realicen cinco tiradaspara cada situación, • a e presi n ؊3)؉(؊ se lee menos tres más menos tres . n este caso, ¿qué operaci n se debe registrando sus realizar, una suma o una resta? Una sumaresultados a partir de pliquen su respuesta ¿en qué a ecta el resultado estas relaciones:R ؉ N; R ؊ N; N ؊ R; en que el primer n mero sea ne ativo en comparaci n con la pre unta del inciso a ? _________________total harán 15 tiradas.Gana el que tiene • pliquen ¿qué ocurre cuando los si nos son i uales? _S_e__s_u_m__a_n__y__se__m__a_n__ti_e_n_e__e_l_m__i_s_m__o__s_ig_n__o_._____menos errores. Puedenparticipar de dos • pliquen ¿qué ocurre cuando los si nos son distintos? S_e_r_e_s_t_a_n_y__s_e_m__a_n_t_ie_n_e__e_l_s_ig_n__o_d__e_l _n_ú_m__e_ro__m__a_y_o_r.jugadores en adelante. • ¿C mo saber si el resultado debe ser positivo o ne ativo? ¿De qué depende? ______________________226 Según el número mayor y la cantidad. Para leer más Sumar una cantidad negativa equivale efectuar una sustracción: ؉(؊) ‫ ؍‬؊ 226 Bitácora pedagógica

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BLOQUE 5PRACTÍCALO BLOQUE 5 Actividad 1.51. Observen los ejemplos y contesten las preguntas. ¿Qué resultado obtendríamos si a partir de esa supuesta ca a con suma cero le a re amos o le quitamos c as positivas o ne ativas? a) Si a esa caja cuya suma es cero le introducimos tres ﬁchas positivas, la suma entonces sería: 0 ؉ (؉3) ‫ ؍‬3 b) Si a esa caja cuya suma es cero le introducimos dos ﬁchas negativas, la suma entonces sería: ؊2 c) Si a esa caja cuya suma es cero le quitamos cuatro ﬁchas positivas, el resultado sería: 0 ؊ (؉4) ‫ ؍‬؊4 d i a esa ca a cu a suma es cero le quitamos dos c as ne ativas, ¿qué si no le corresponde al resultado? 2Para leer másRestar una cantidad negativa equivale a efectuar una adición: ؊(؊) ‫ ؍‬؉PRACTÍCALO Actividad 1.61. i una persona naci en el año 1 a.n.e. muri en el año 8. Cómo enriquecer • ¿Cuántos años vivi ? años la actividad • ¿Cuál es la e presi n matemática que representa la edad de la persona? 15 ؉ (؉58) Pida a los alumnos que • epresenta esta operaci n en una recta numérica analicen y argumenten sus procedimientos 15 0 38 que emplearon para la resolución de la• ¿ saste una suma o una resta? Suma Explica por qué e suman los 1 años a.n.e más los 8 años d.n.e. Actividad 1.6. Si es• ¿C mo colocaste los si nos en cada n mero? ؉15 ؉38 necesario, pídales que esquematicen cada una2. i un submarino se encuentra a una pro undidad de m lue o asciende 2 m, ¿a qué pro undidad se de las situaciones queencuentra con respecto a nivel del mar? 33 m ¿Qué si no le corresponde al resultado? Negativo se presentan.. l unos medicamentos se conservan apro imadamente a 18 C, si para utilizar al unos de ellos requieren tener una temperatura de 18 C ¿de cuánto es el incremento de temperatura? Craci n realizaste para encontrar el resultado? 18 ؉ (؉18) ¿Qué ope-Compara tus resultados con el resto del rupo con la asesoría de tu pro esor veri ca que estos sean correctos.PRACTÍCALO Actividad 1.71. Efectúa las operaciones.a) (15) ؉ (؊5) ‫ ؍‬10 e) (11) ؊ (؊8) ‫ ؍‬19 i ) (؊15) ؉ (؊5) ‫ ؍‬؊20 Qué observarb) (؊12) ؉ (؊4) ‫ ؍‬؊16 f ) (؊11) ؊ (؊8) ‫ ؍‬؊3 j ) (؊15) ؊ (؊5) ‫ ؍‬0 Al resolver la Actividad 1.7 pida a losc) (12) ؊ (؊4) ‫ ؍‬؉16 g) (؊11) ؊ (8) ‫ ؍‬؊19 k) (؊15) ؊ (5) ‫ ؍‬؊30 alumnos que presenten en el pizarrón susd) (11) ؊ (8) ‫ ؍‬؉3 h) (؊11) ؉ (؊8) ‫ ؍‬؊19 l ) (15) ؉ (5) ‫ ؍‬20 procedimientos y respuesta. Observe Compara tus resultados con el resto del rupo con la asesoría de tu profesor verifíquenlos. los avances de los estudiantes en el 227 desarrollo de las cuatro competencias señaladasBitácora pedagógica en el programa: Planteamiento y resolución de problemas, Argumentación, Comunicación y Manejo de técnicas. 227

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MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecerla actividadEn parejas, pida queresuelvan cada unade las situaciones,que pasen frente algrupo y mencionenlas estrategiasque emplearon.Refuerce el tema vistocon nuevas situaciones,las cuales pueden serelaboradas por usted opor los alumnos.Cambiando númerosIndique a sus alumnosque en cada incisolas sustraccionescomienzan con (1).Reﬂexión Bitácora pedagógicaSobre el respetoEl respeto suponeque se comprendan ycompartan los valoresde una persona o deuna idea, cuyaautoridad o valor actúasobre nosotros.A través del respetojuzgamos de manerafavorable algo o aalguien; por el contrario,a través de la toleranciaintentamos soportaralgo o a alguien, conindependencia deljuicio que le asignamos:podemos odiar aquelloque toleramos.228

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BLOQUE 5 BLOQUE 5Eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraicoTema Problemas multiplicativosContenido 2 Uso de la notación cientíﬁca para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas ACUÉRDATE DE...El sistema internacional de unidades establece unidades de medición que suelen utilizarse en diferentes áreas del Qué observarconocimiento. Por ejemplo: Tera (T) equivale a 1000 000 000 000 y se representa como 1 ؋ 1012 y se lee uno pordiez a la doce; micro (␮) equivale a 0.000 001 y se representa como 1 ؋ 10-6 y se lee uno por diez a la menos seis. El uso de los preﬁjos y suﬁjos del Sistema • ¿C mo representarías las si uientes unidades del sistema nternacional? Internacional (S.I.)de Unidades le será muy Unidad Símbolo Equivalencia Representación Se lee útil a los alumnos, no solo en matemáticasMega M 1 000 000 1 ؋ 106 Uno por diez sino también en otras a la seis. áreas del conocimiento.Hecto H 1 00 1 ؋ 102 Uno por diez Pídales que investiguen a la dos. la tabla propuesta por el S.I. y en grupomili m 0.001 1 ؋ 10؊3 Uno por diez analicen la equivalencia a la menos tres. de cada uno de los preﬁjo y la forma denano n 0.000 000 001 1 ؋ 10؊9 Uno por diez cómo se representan a la menos nueve. estas cantidades con notación cientíﬁca.• plica los pasos que se uiste para representar estas cantidades en notaci n cientí ca con e ponente posi- tivo. Se recorre el punto tantos ceros a la derecha de la cantidad.• usti ca tu respuesta. El número de lugares recorridos será el exponente positivo de la base diez.• plica el procedimiento que se uiste para representar estas cantidades en notaci n cientí ca con e po- nente negativo. Se recorre el punto tantos ceros a la izquierda de la cantidad.• usti ca tu respuesta. El número de lugares recorridos será el exponente negativo de la base diez. Compara tus resultados procedimientos con tus compañeros analicen con su pro esor si los métodos que emplearon fueron los correctos y si existen otros más y en qué consisten. 229Bitácora pedagógica 229

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer Algunas de estas unidades las has manejado en grados anteriores y otras las has Preﬁjo. Morfema derivativola actividad encontrado en te tos de ciencias como iolo ía, ísica Química. Cuando combi- que se antepone a una raíz o nas estos preﬁjos con los símbolos de las siete unidades fundamentales del sistema base léxica para formar unaPida a los alumnos internacional de medidas, te das una idea de a cuánto equivale. palabra diferente, la cual seque investiguen denomina derivada.las unidades PRACTÍCALOfundamentales del Actividad 2.1S.I. de Unidades.En el pizarrón usted 1. nvesti a los pre os del istema nternacional completa la tabla.puede escribir lospreﬁjos que desee y los Preﬁjo Unidad Símbolo Nombre Expresión enalumnos combinarán notación cientíﬁcalas unidades que giga metro Gm Gigametroinvestigaron. mega metro Mm Megámetro 1 ؋ 10-9Que las expresen en kilo metro Km Kilómetro 1 ؋ 106notación cientíﬁca y hecto metro hm Hectómetro 1 ؋ 103sobre todo que las deci metro dm Decímetro 1 ؋ 102lean en voz alta. Que centi metro cm Centímetro 1 ؋ 10Ϫ1los alumnos escriban mili metro mm Milímetro 1 ؋ 10؊2en sus cuadernos las micro metro µm Micrómetro 1 ؋ 10؊3unidades que se les 1 ؋ 10؊3hicieron más familiares,así como las que no • De las unidades que se muestran en la tabla, ¿cuáles son las que más conoces? conocían. Respuesta abierta • ¿Cuáles no conocías? Respuesta abierta • ¿Por qué crees que es importante poner la unidad de medici n unto con la cantidad? Respuesta abierta Compara tus resultados con los de tus compañeros veri ca si son correctos. Recursos 230y materiales Bitácora pedagógicaEn las siguientespáginas electrónicas seencontrara los preﬁjosdel S.I.de Unidades, asícomo una las unidadesfundamentales yderivadas.http://edison.upc.edu/units/SIcas.htmlhttp://www.periodni.com/es/sistema_internacional_de_unidades.html230

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BLOQUE 5PRACTÍCALO BLOQUE 5 Actividad 2.21. Escriban sobre la línea el símbolo, la equivalencia y la expresión en notación cientíﬁca que representa a las siguientes cantidades. Apoyense con la tabla de preﬁjos que completaron. a i ase undos s 000 000 000 s ؋ 109 s Cómo enriquecer b) 9 nanómetros 9 nm 0.000 000 009 9 ؋ 10؊9 la actividad c) 3 teragramos 3 ؋ 1012 d) 7 microsegundos 3 Tg 3 000 000 000 000 7 ؋ 10؊6 Permita que los e) 10 femtómetros 10 ؋ 10؊14 alumnos propongan f) 45 kilómetros 7 µs 0.000 007 45 ؋ 103 situaciones semejantes, g) 8 attogramos 10 fm 0.000 000 000 000 010 que las planteen y 45 Km 45 000 8 ؋ 10؊18 g entre todo el grupo las analicen y las 8 ag 0.000 000 000 000 000 008 g resuelvan. Promueva la• pliquen la estrate ia que emplearon para colocar el n mero la unidad. Recorriendo el punto. participación individual y colectiva.• pliquen c mo determinaron las e presiones de las cantidades en notaci n cientí ca. Respuesta abierta Qué observarComparen sus resultados con el resto del rupo veri quen con la asesoría del pro esor que e presaron ade- Es importante quecuadamente cada cantidad. desde el principio los alumnos comprendanPara leer más la forma de expresar una cantidad muyArquímedes, matemático y ﬁlósofo griego, fue el primero en tratar de representar grande o muy pequeñanúmeros demasiado grandes. Propuso un sistema de representación numérica con notación cientíﬁca.con la ﬁnalidad de estimar la cantidad de granos de arena que podría existir en el Permita que ellosuniverso. El número estimado por este gran matemático fue de 1؋1063 granos. mismos analicen esta sección y cuestiónelos eonardo orres de Quevedo 1 1 , onrad 1 eor e obert tibitz sobre la forma de(1939) propusieron el modelo de representación de números grandes o muy colocar el valor delpequeños a través del desplazamiento de la coma o punto decimal. exponente en base 10. Oriéntelos para quePara tener en cuenta razonen sobre cuál es la forma correcta1. a notaci n cientí ca es la orma de representar un n mero mu rande o mu de expresar estas pequeño en potencias de 10. Para cantidades que son mu randes se mane a cantidades. Por el e ponente positivo. Por e emplo ¿c mo representar en notaci n cientí ca ejemplo: 8 000 000 000? ¿Cuál es la expresión correcta de 12 000 000? a) Escribe el primer dígito de la cantidad; posteriormente, el punto decimal. a) 1.2 ؋ 207 b) 12 ؋ 106 4. b) Escribe los dígitos de izquierda a derecha del primero (sólo en caso de que los tenga, en caso contrario continúa con el paso c). 4.78 c) Por último, cuenta el número de posiciones hacia la derecha del punto decimal, la cifra que obtienes es el exponente del 10 (o base 10), la cual acompañará como producto del n mero que anotaste en el primer paso. 4.78 000 000 000 d) Por lo tanto la expresión de esta cantidad en notación cientíﬁca será: 4.78 ؋ 1011 231Bitácora pedagógica 231

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 2.3 PRACTÍCALOCómo enriquecer 1. Representen con notación cientíﬁca las siguientes cantidades.la actividad a) 1 476 000 000 000 000 1.476 x1015 b) 7 000 000 7 x106Las Actividades 2.3 y 2.4 c) 904 000 000 000 000 000 000 000 9.04 x1023están diseñadas para d) 5 893 000 000 000 5.893 x1012que los alumnos e) 6 905 000 000 000 000 000 6.905 x1018expresen en f) 6 217 800 000 000 000 000 000 000 000 6.2178 x1027notación cientíﬁcaestas cantidades; • ¿Cuál ue el procedimiento que llevaron a cabo para poder resolver la actividad? sin embargo, es Recorriendo el punto tantos lugares como se indica en la cantidad.importante quetambién las puedan • usti quen su procedimiento. a cantidad de lu ares recorrido a la izquierda es el valor del e ponente desarrollar. y de su signo.Observe que los Comparen sus procedimientos con el resto del rupo.ejercicios propuestoslos resuelvan de PRACTÍCALO Actividad 2.4manera satisfactoria;de no ser así pídales 1. Escriban la cantidad que representa cada expresión en notación cientíﬁca. Observen los ejemplos.que ellos mismospropongan cantidades a) 5.6 ؋ 105 m 560 000 mpara que las expresen o b) 7. 898 ؋ 109 s 7 898 000 000 slas desarrollen. c) 6 ؋ 106 g 6 000 000 g d) 9. 15 ؋ 103 oK 9 150 °KProcure inducirlos a la e) 5. 6 ؋ 1018 g 5 600 000 000 000 000 000 ginvestigación acerca f) 8.45 ؋ 1012 m 8 450 000 000 000 mdonde se emplean g) 6.009 ؋ 1021 g 6 009 000 000 000 000 000 000 gestas unidades en lavida cotidiana. • ¿Cuál ue el procedimiento que llevaron a cabo para poder resolver la actividad? Recorriendo el punto tantos lugares a la derecha como lo indique el exponente.Qué observar • usti quen su procedimiento. El exponente positivo nos indica la cantidad de lugares en que el punto seQue analicen la manera debe recorrer hacia la derecha.correcta en que sepuede expresar una Comparen sus procedimientos con el resto del rupo.cantidad muy pequeñacon notación cientíﬁca. Para tener en cuentaEs importante 1. Para la representaci n en orma de notaci n cientí ca para cantidades mu pequeñas se usa el e ponen-hacerle notar sobre la te negativo. Por ejemplo, para representar la cantidad 0. 000 000 092, debes hacer lo siguiente:colocación del puntocuando este se recorre. a) Recorre a la derecha el punto decimal hasta el primer dígito.Analicen sobre la 0.000 000 092manera correcta deexpresar cantidades b) Después anota los dígitos faltantes distintos de cero (en caso de que se presenten).como la siguiente. 9.2¿Cuál es la forma c Cuenta los lugares que recorriste el punto decimal hasta el primer dígito y anótalo al exponente de lacorrecta de expresar potencia junto con el signo negativo. Así, la expresión queda:0.000 015? 9.2 ؋ 10؊8a) 1.5 ؋ 10؊5 232b) 15 ؋ 10؊6 Bitácora pedagógica232

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BLOQUE 5PRACTÍCALO BLOQUE 5 Actividad 2.51. Expresen en notación cientíﬁca las siguientes cantidades que se presentan. a) 0.000 000 023 2.3 x10؊8 Cómo enriquecer b) 0.005 5 ؋ 10؊3 la actividad c) 0.000 048 4.6 ؋ 10؊7 d) 0.000 000 000 378 3.78 ؋ 10؊10 Las Actividades 2.5 y 2.6 e) 0.000 000 000 000 000 000 067 6.7 ؋ 10؊20 están diseñadas para f) 0.000 000 000 000 030 3 ؋ 10؊14 que los alumnos g) 0.000 000 000 005 5 ؋ 10؊12 expresen en h) 0.000 000 094 9.4 ؋ 10؊8 notación cientíﬁca estas cantidades; • ¿Cuál ue el procedimiento que llevaron a cabo para poder resolver la actividad? sin embargo, es Recorriendo el punto tantos lugares a la derecha como lo indica la cantidad. importante que también las puedan • usti quen su procedimiento. a cantidad de lu res recorridos por el punto a la derec a de la cantidad desarrollar.Comparenn osus sin pdrioccaeedlimvaileonrtdoes lceoxnp oeln reenstteo. del rupo. Veriﬁque que losPRACTÍCALO Actividad 2.6 ejercicios propuestos los resuelvan de1. ¿C mo desarrollarían las si uientes e presiones con notaci n cientí ca? manera satisfactoria; de no ser así pídales a) 5.6 ؋ 10؊6 _0_._0_0_0__0_0__5__6______________________________________________________________________________ que ellos mismos b) 8 ؋ 10؊3 _0__.0__0_8______________________________________________________________________________________ propongan cantidades c) 7.42 ؋ 10؊8 __0_._0_0_0__0__0_0__0_7_4__2_______________________________________________________________________ para que las expresen o d) 3.48 ؋ 10؊12 _0_._0_0_0__0__0_0__0_0_0__0_0__3__4_8_________________________________________________________________ las desarrollen. e) 4.5 ؋ 10؊5 _0_._0_0__0__0_4_5________________________________________________________________________________ f ) 2.68 ؋ 10؊9 _0_._0_0__0__0_0_0__0_0__2_6__8_______________________________________________________________________ Procure inducirlos a la g) 1.078 ؋ 10؊3 _0_._0_0_1__0__7_8_____________________________________________________________________________ investigación acerca h) 6 x 10؊15 __0_.0__0_0__0_0_0__0__0_0__0_0_0__0__0_6____________________________________________________________________ donde se emplean estas unidades en la • pliquen, ¿cuál ue el procedimiento que llevaron a cabo para desarrollarlos? vida cotidiana. _R_e_c_o_r_r_ie__n_d_o__e_l_p__u_n_t_o__a__la__iz_q__u_i_e_r_d_a__ta_n__t_o_s_l_u_g_a__re_s__c_o_m__o__l_o__in_d__ic_a__e_l_e__x_p_o_n__e_n_t_e_._____________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________Comparen sus resultados con el rupo. Con a uda del pro esor, obten an una conclusi n acerca de esta actividad. 233Bitácora pedagógica 233

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer Para tener en cuentala actividad Para expresar la cantidad de una expresión con notación cientíﬁca cuyo expo-Ejempliﬁque situaciones nente es negativo, se debe recorrer hacia la izquierda el punto decimal que sedonde los alumnos encuentra después del dígito los lugares que indica el exponente. Por ejemplo:vean la aplicación de 2.1 x 10؊6, nos quedaría:la notación cientíﬁcaes de gran importancia 0.000 002 1porque construirá unconocimiento más PRACTÍCALO Actividad 2.7signiﬁcativo. 1. Resuelvan estas situaciones.Propóngales nuevassituaciones donde a art a aura visitan el laboratorio de ciencias para observar células a través de un microscopio, el cual trabajen lo aprendido. tiene un ocular raduado en micras . Cuando colocaron la muestra de un ra mento de te ido ve e-O en su caso pídales tal en el microscopio observaron que las células presentaban una forma rectangular de 12 µm de largoque investiguen con por 8 µm de ancho. Al terminar la observación, la maestra les pidió que calcularan el área de la célula.sus demás profesores ¿C mo calcularías el área en m2?donde pueden aplicaresta forma de expresar Transformando 12 µm y 6 µm a metros y después ambos multiplicándolos.una cantidad. Como abrán notado, es una cantidad mu pequeña, por esa raz n necesitamos de Menciónelas cuál es una herramienta de las matemáticas como la ley de exponentes.la importancia que setiene sobre realizar • ¿Cuál sería el área de la célula utilizando la notaci n cientí ca? 7.2 ؋ 10؊11 m2estas expresiones • ¿Creen que se acilita el traba o para el producto de cantidades mu randes o mu pequeñas?_S__í _______de cantidades muygrandes o muy Argumenten su respuesta. P_o__r_q_u_e_ _r_e_a_li_z_a_r_ o__p_e_r_a_c_i_o_n_e_s_ _c_o_n__ c_a_n__ti_d_a_d__e_s_ m__u___ __ra__n_d_e_s_ _o_ _m__u__ _p_e_q_u__e_ñ_a_s_ _e_s_pequeñas. _m__á_s_t_a_r_d_a_d__o_,_e_n__c_o__m__p_a_r_a_c_ió__n__d_e__r_e_a_li_z_a_r_l_a_s_m__i_s_m__a_s_o__p_e_r_a_c_i_o_n_e_s__c_o_n__n_o__t_a_c_ió_n__c_i_e_n_t_í_ﬁ_c_a_._______________ ______________________________________________________________________________________________________Qué observar Para leer másPida a los alumnos queen parejas analicen El área de un rectángulo se calcula con la fórmula A ‫ ؍‬a x b; es decir, un pro-esta sección. Deles el ducto de los valores de a y b.tiempo necesario para En una multiplicación la ley de exponentes nos dice que: (am)(an) ‫ ؍‬am ؉ nque obtengan una Cuando aplicamos esta le en la notaci n cientí ca, la base diez 10 se man-conclusión acerca de tiene, solo se realiza el producto de los valores de a y la suma de los exponentes.cómo se lleva a cabo Por ejemplo:una multiplicación con (3 x 104) (2 x 105) ‫ ؍‬6 x 104 ؉ 5 ‫ ؍‬6 x 109 ‫ ؍‬6 000 000 000notación cientíﬁca. 234Transversalidad Bitácora pedagógicaPídales que investiguencon su profesor deciencias 1 (Biología)las dimensiones quetienen los organelosque constituyen a unacélula y que las lleven alsalón de clase para queentre todos proponganlas dimensionesahora con notacióncientíﬁca. Hable con elprofesor para invitarloa participar en estaactividad.234

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BLOQUE 5 BLOQUE 5 Cómo enriquecer la actividad b a le de ravitaci n universal nos dice Dos cuerpos en el espacio se atraen con una uerza que es direc- tamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia Pida a los alumnos que las separa . que propongan Benito y Jorge quieren saber con qué fuerza de gravedad se atraen la Tierra y Marte. Para ello solo les falta situaciones donde se calcular el producto de sus masas, que son: 5.97 x 1024 kg para la Tierra y de 6.42 x 1023 kg para Marte. tenga que realizar una ¿Cuál sería el producto que ambos están buscando? 8.83274 ؋ 1048 kg2 multiplicación con notación cientíﬁca. Fuerza de Enfatice la ley de atracción (F) los exponentes que se aplican en esteMarte Tierra contenido. Proponga ejercicios donde se• ¿Cuál ue el procedimiento que si uieron para representar los micr metros m a metros? realicen este tipo Dividiéndolos entre 1 000 000. de operaciones e indíqueles cuál es• usti quen su respuesta. Cuando se convierte de una unidad menor a una ma or de divide entre la su importancia. cantidad de lugares que se presentan. Cambiando números• pliquen los pasos que llevaron a cabo para obtener el área en m2. Aplicando la fórmula A ‫ ؍‬bh. Indique a sus alumnos• usti quen su respuesta. Si b ‫ ؍‬1.2 ؋ 10؊5 y h ‫ ؍‬6 ؋ 106, entonces ambas las multiplicamos. que estas cuatro viñetas le ayudaránComparen su resultado sus estrate ias con el resto del rupo. a continuar con el inciso a) de laPRACTÍCALO Actividad 2.8 página 234.1. Analicen y resuelvan estos problemas. Cómo enriquecer la actividad Si el Banco de México informara acerca de la impresión de las siguientes cantidades de dinero en las deno- minaciones especí cas 12 800, 000, 000, 000 en billetes de 20 2 00, 000, 000, 000 en billetes de Las situaciones vivenciales son de 0 1 , 000, 000 000 000 en billetes de 100 12 000, 000, 000 en billetes de 1 000. gran importancia. Pida a sus alumnos que, Ordena en la siguiente tabla las cantidades de dinero que se imprimirían y exprésalas en notación cientíﬁca. en equipo, analicen la situación, y que el Cantidad de dinero Expresión en notación cientíﬁca representante de cada2 1 000 000 000 000 2. 1 ؋ 1015 equipo pase al frente2 12 000 000 000 000 2.12 ؋ 1015 para que describa1 000 000 000 000 00 1. ؋ 1017 la metodología que1 200 000 000 0000 1.2 ؋ 1013 los llevó a obtener la solución para el llenado• ¿Qué denominaci n de dinero tendría una ma or impresi n? l billete de 100. de la tabla.• ¿Qué denominaci n de dinero tendría una menor impresi n? l billete de 1 000. Comparen sus resultados con el resto del rupo para veri car sus resultados. 235Bitácora pedagógica 235

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BLOQUE 5 PRACTÍCALO BLOQUE 5 Actividad 3.61. Completen las raíces cuadradas de los siguientes números y compruébenlas.a) Ï121 ‫ ؍‬11, porque 11 x 11 ‫ ؍‬121 b) Ï81 ‫ ؍‬9, porque 9 ؋ 9 ‫ ؍‬81 Cómo enriquecer la actividadc) Ï49 ‫ ؍‬7, porque 7 ؋ 7 ‫ ؍‬49 d) Ï144 ‫ ؍‬12, porque 12 ؋ 12 ‫ ؍‬144 Después de desarrollare) Ï100 ‫ ؍‬10, porque 10 ؋ 10 ‫ ؍‬100 f) Ï0.25 ‫ ؍‬0.5, porque 0.5 ؋ 0.5 ‫ ؍‬0.25 en parejas la actividad, pídales que presentenÏg) 1 ‫؍‬ 1 porque 1 ؋ 1 ‫؍‬ 1 h) Ï0.64 ‫ ؍‬0.8, porque 0.8 ؋ 0.8 ‫ ؍‬0.64 sus resultados y 4 2 2 2 4 comprueben cada inciso con la ﬁnalidadÏi) 4 ‫؍‬ 1 porque 2 ؋ 2 ‫؍‬ 4 j) Ï169 ‫ ؍‬013, porque 13 ؋ 13 ‫ ؍‬169 de corroborar 9 2 3 3 9 us resultados. Es la misma, solo que ahora el número a buscar no se eleva al Curiosidades,• ¿Qué relación tienen los resultados que obtuviste con la actividad anterior? cuadrado. acertijos y más• Justiﬁquen su respuesta. Un número que se multiplica por sí mismo es la raíz del número. Proponga alguna En encontrar un número situación como:• ¿Básicamente en qué consiste el procedimiento para obtener una raíz cuadrada? que multiplicado por sí mismo nos dé el número Se tiene un sólido• Expliquen por qué. Porque la raíz cuadrada es la potencia 2 de un número. que se busca. geométrico cuyo volumen es una unidadComparen sus respuestas con el resto del grupo y con el apoyo del maestro conﬁrmen sus respuestas. cúbica y el área de cada una de las carasPara tener en cuenta Ïn b ‫ ؍‬a Raíz que lo forman es una unidad cuadrada, ¿deRadicación Subradical qué sólido se trata? Radical Explica el por qué de Índice esas medidas.Radical: Caja, símbolo de la raíz. Actividad 3.7Índice: Número que indica de qué raíz se trata (n).Subradical: Número al que se extraerá la raíz (b).Raíz: Solución (a) tal que an ‫ ؍‬b. PRACTÍCALO1. Auxíliate de una computadora para formar una tabla de cuadrados y sus correspondientes raíces con los primeros 20 números naturales. n1 2 3 4 5 6 7 8 n2 1 4 9 16 25 36 49 64a) Localiza en tu tabla n2 ‫ ؍‬6, ¿existe un valor de orden n que le corresponda? Nob) Sin usar calculadora, ¿qué harías para dar un valor aproximado de n? Explica y calcula. 6 , calculando la raíz cuadrada de 6, que es aproximadamente de 2.44. 241Bitácora pedagógica 241

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 3.8Qué observar PRACTÍCALOEsta actividad es otra 1. A partir del área de cada cuadrado, calculen la medida de sus lados.oportunidad parapracticar el cálculo de la a) lado ‫ ؍‬5 cm c) lado ‫ ؍‬20 mmraíz cuadrada y retomar Área ‫ ؍‬25 cm2 Área ‫ ؍‬400 mm2tal situación como unaoperación inversa. b) lado ‫ ؍‬3.5 u d) lado ‫ ؍‬1 cm Área ‫ ؍‬12.25 u2 Área ‫ ؍‬1 cm2 • Expliquen la forma en como calcularon la medida de los lados. Calculando la raíz cuadrada de cada área. • Justiﬁquen su respuesta. La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar uno de los lados al cuadrado. • ¿Qué operaciones realizaron? Buscando un numero que multiplicado por si mismo de la medida del área. Comparen con los demás compañeros sus estrategias y resultados. Para leer más Método del algoritmoQué observar Para calcular la raíz cuadrada de un número por el método del algoritmo, sigueDé el tiempo necesario los siguientes pasos: por ejemplo, 59 049. Ï5•90•49 2 4para que de manera Paso 1 ؊4 4 4individual analicen lamanera de encontrar El numero 5 9049 se agrupa en cifras de dos, em- Ï1•una raíz cuadradapor el algoritmo pezando por la derecha que es donde se encuen- ؊1tradicional. Permita que tra el punto decimal.maniﬁesten sus dudas. Paso 2 Ï5•90•49 2 4 3Curiosidades, ؊4 4 4 4acertijos y más Encuentra la raíz cuadrada del primer número de Ï1•9 0 4 8 3 la izquierda, en este caso 5, cuya raíz más próxi- ؊1 7 6Proponga situaciones ma es 2, y ponlo en la parte de arriba a la dere-que ayuden a los cha. Su cuadrado es 4 y se ubica debajo del 5, 1449alumnos a reﬂexionar al restar ambos nos queda 1. Duplicamos la raíz ؊1 4 4 9sobre las áreas de encontrada.cuadrados, como: 0000Se tiene un cuadradocuya área mide 64 cm. 242Si cada uno de suslados se divide a la Bitácora pedagógicamitad, ¿cuál seráel área del nuevocuadrado? Explica.242

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BLOQUE 5 BLOQUE 5Paso 3 Ï5•90•49 2 4 3 ؊4 4 4 4Baja el siguiente par de números (90) y separa Ï1•9•0•4•9por un punto decimal el último número de la de- ؊1 7 6recha. Divide el 19 entre 4 y te da como entero Ï5•1•4el 4, coloca éste a la derecha del 4 (doble de laprimera raíz) y multiplica 44 por 4 por ser la se- Ï5•90•49 2 4 3gunda raíz. El resultado se lo restas a 190. ؊ 4•9•0•4 4 4 Ï1•9 0•4 4 8 3Paso 4 ؊1 7 6 Ï5•1•4•4 9 3Baja el siguiente par de números (49) y vuelve a Ï؊ 1 4 4 9separar con un punto decimal el último número. Ï5•0•0•0•0Duplica la raíz (4؋2‫؍‬8) y colócala en la parteinferior. Divide 144 entre 48 y obtendrás 3, estevalor colócalo a la derecha de 24 y de 48. Ahoramultiplica 48؋3 esto es igual a 1449 y se lo restasa 1449.Paso 5Por tanto, la raíz cuadrada de 59 049 es 243.Es decir: Ï59 049 ‫ ؍‬243PRACTÍCALO Actividad 3.91. Calculen las raíces por el medio del algoritmo tradicional.a) Ï196 ‫ ؍‬14 c) Ï784 ‫ ؍‬28 e) Ï2 116 ‫ ؍‬46 Cómo enriquecer la actividadb) Ï841 ‫ ؍‬29 d) Ï1 225 ‫ ؍‬35 f ) Ï50 176 ‫ ؍‬224 Permita que los • ¿De qué manera se puede simpliﬁcar el procedimiento para calcular las raíces mediante del algoritmo tra- alumnos calculen la dicional? Haciendo mentalmente las multiplicaciones y sustracciones parciales. raíz cuadrada por el algoritmo tradicional. • Justiﬁquen su respuesta. El algoritmo de la raíz no se altera si únicamente se registran las diferencias parciales. • ¿Afecta el resultado si en la agrupación de cifras de las cantidades propuestas queda solo un número? Veriﬁque que lo realicen de forma Si es a la izquierda no, pero si es a la derecha se debe completar la pareja. adecuada. Intervenga • Justiﬁquen su respuesta. Ya que los productos parciales son por parejas, no es posible colocar un solo dígito. cuando presenten alguna duda en suComparen sus resultados de las raíces con el resto del grupo y revisen con su profesor la forma en la que se pue- realización. Que lasde simpliﬁcar el procedimiento para calcular las raíces mediante el algoritmo tradicional. parejas que terminen primero la actividad 243 asesoren a las demás, esto le permitirá abarcar mayor cantidad de dudas y, sobre todo, corregirlas.Bitácora pedagógica 243

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Qué observar Para leer másOtro de los métodos A lo largo de la historia de las matemáticas han implementado varios métodos para obtener la raíz cuadrada,que permiten el cálculo aunque cabe señalar que estos métodos no eran muy precisos y únicamente se aproximaban al valor real dede la raíz cuadra de un la raíz. Entre estos se encuentra:número es el métodobabilónico. Método babilónicoDé el tiempo necesariopara su análisis, y Consistía en “cuadrar\" un rectángulo para obtener la raíz. Por ejemplo: “Calcular la raíz de 40 por el métodocuestiónelos acerca de babilónico\".cada uno de los pasosque se llevan a cabo. Paso 1 Busca dos números que al multiplicarlos den 8 ؋ 5 ‫ ؍‬40 u2 Primer rectánguloPermita el uso de 40 y construye el primer rectángulo de área 40 u2 5 u Base ‫ ؍‬8 ula calculadora para igual a 40 unidades cuadradas. 8u Altura ‫ ؍‬5 ucomprobar losresultados que se dan Paso 2 Calcula la base y la altura de un nuevo rec- 6.5 ؋ 6.153 ‫ ؍‬40 u2 Segundo rectánguloen esta sección. 40 u2 6.153 u Base ‫ ؍‬6.5 u tángulo con los datos del anterior. 6.5 u Altura ‫ ؍‬6.153 u 8 5 Base ‫؍‬ ؉ ‫؍‬ 13 6.5 u 2 2 Altura ‫؍‬ 40 ‫؍‬ 6.153 u 6.5 Paso 3 6.5 ؉ 6.153 12.653 6.3265 ؋ 6.3226 ‫ ؍‬40 u2 Tercer rectángulo 2 2 Base ‫؍‬ ‫؍‬ 6.5 u 6.3226 u Base ‫ ؍‬6.3265 u Altura ‫ ؍‬6.3226 u Altura ‫؍‬ 40 ‫؍‬ 6.153 u 40 u2 6.3265 6.3265 u Calcula la base y la altura, pero ahora con los datos del segundo rectángulo. Paso 4 Base 6.3265 ؉ 6.3226 12.6491 6.5 u 6.3245 ؋ 6.3245 ‫ ؍‬40 u2 Por lo tanto tenemos 2 2 un cuadrado. ‫؍‬ ‫؍‬ 40 u2 6.3245 u A‫ ؍‬b ؋ h Altura 40 6.153 u ‫؍‬ 6.32455 ‫؍‬ 6.3245 u A‫(؍‬6.3245) (6.3245) Calcula la base y la altura utilizando los datos Donde el área es aproximadamente del tercer rectángulo. 40 u2. 244 Bitácora pedagógica244

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PRACTÍCALO BLOQUE 5 BLOQUE 5 Actividad 3.10 Cómo enriquecer la actividad1. Realicen en su cuaderno las raíces por el método babilónico. Por medio del uso de la a) Ï32 = 5.6 b) Ï45 = 6.7 c) Ï24 = 4.8 d) Ï60 = 7.7 e) Ï90 = 9.4 f) Ï81 = 9 calculadora permita que los alumnos veriﬁquen • ¿ os resultados de estas raíces son e actos por este método? No sus resultados. Oriente • usti quen su repuesta. Porque por cada ciclo solo se obtiene un dígito de un resultado aproximado. para que saquen lasComparen sus resultados y veriﬁquen quienes se acercaron más al resultado esperado. Ante el grupo expliquen conclusiones acerca depaso por paso el cálculo de estas raíces. la aplicación de este método para el cálculoPRACTÍCALO Actividad 3.11 de la raíz cuadrada.1. Resuelve la situación en tu cuaderno. Llévelos a concluir por qué este método a) Don Arturo tiene un terreno cuadrado de 120 m2. Quiere conocer cuánto mide cada uno de sus lados. no es muy utilizado, Por medio del método babilónico ayúdale a encontrar lo que busca. hasta que cantidad • Comprueba con tu calculadora el resultado del problema. Raíz cuadrada de 120 = 10.95 este manejable y • plica si el resultado que obtuviste por este método es e acto hasta cuando no lo es. • ¿Cuál crees que sea la causa de que no se e acta? Porque se obtiene un número irracional. Veriﬁque sus • ¿Cuál es el mar en de error entre ambos resultados? Entre la aproximación y el resultado con la calculadora. resultados y si es necesario, propongaCompara tu resultado con tus compañeros y veriﬁquen con su profesor sus argumentos. nuevos ejercicios.Para leer más Qué observarMétodo geométrico Aparte del método delPara calcular la raíz de un número por este método te auxiliarás de tu juego de geometría. Por ejemplo: \"Cal- algoritmo tradicional ycula la raíz cuadrada de 32\". del método babilónico, existe el métodoPaso 1 Busca dos números que al multiplicarse te den 32. geométrico, que al 8 ϫ 4 ‫ ؍‬32 igual que los dos anteriores permitePaso 2 Traza los dos segmentos de 8 y 4 respectivamente; trata de que sean continuos, es decir, uno tras otro. calcular la raíz cuadra de una cantidadPaso 3 Calcula el punto medio del segmento total. determinada.Paso 4 Traza con el compás un semicírculo. Dé el tiempo necesario para su análisis, y cuestiónelos acerca de cada uno de los pasos que se llevan a cabo. Permita el uso de la calculadora para comprobar los resultados que se dan en esta sección. 245Bitácora pedagógica Cambiando números Pida a sus alumnos que en su cuaderno reodenen las imágenes de los pasos 4 y 6, de tal manera que la imagen correcta del Paso 4 sea la que aparece en el Paso 6; y para este paso, la que aparece en el número 4. 245

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Paso 5 Levanta una perpendicular en el punto donde se une al punto B, con un punto del semicírculo. Paso 6 Mide con la regla el segmento perpendicular (BD). Esta es la raíz aproximada de 32, es decir 5.7 cm. PRACTÍCALO Actividad 3.12 1. Obténgan la raíz cuadra de las siguientes cantidades por el método geométrico. Realicen las operaciones en su cuaderno.Cómo enriquecer a) Ï18 ‫ ؍‬4.242 b) Ï36 ‫ ؍‬6 c) Ï40 ‫ ؍‬6.3245la actividad d) Ï16 ‫؍‬4 e) Ï21 ‫ ؍‬4.5825 f) Ï48 ‫ ؍‬6.9282Por medio del usode la calculadora • ¿ os resultados de estas raíces son e actos por este método? Nopermita que los • usti quen su respuesta. La medida con una regla es solo aproximada.alumnos veriﬁquen sus Comparen sus resultados y veriﬁquen quiénes se acercaron más al resultado esperado.resultados. Observe Ante el grupo expliquen paso por paso el cálculo de estas raíces.que hacen el manejoapropiado del juego PRACTÍCALO Actividad 3.13geométrico parala realización de 1. Resuelvan las cuestiones.esta actividad. Si esnecesario, usted mismo a) Juan debe fabricar una caja de madera de 3.5 m2. Por el método geométrico ayúdale a conocer lasrealice en el pizarrón dimensiones de los lados que debe tener la caja.un ejercicio semejante 1.8 mpara que a los alumnosles quede más claro b) Dos albañiles quieren construir la base de una cisterna con forma cuadrada, cuya superﬁcie abarqueeste método. 6 m2. ¿Cuánto debe medir cada uno de sus lados para obtener el área que buscan? Aplica el método geométrico.Proponga situaciones 2.4 msencillas dondelos alumnos puedan 246aplicar las solucionesa partir de estemétodo. Comente sieste método es 100%conﬁable para obtenerla raíz cuadrada. Bitácora pedagógica246

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BLOQUE 5 BLOQUE 5 • Comprueba con tu calculadora el resultado del problema. 1.8708 m y 2.4494 m. • Explica si el resultado es exacto por este método. No, solamente es una aproximación. • ¿Cuál crees que sea la causa de que no sea exacta? Respuesta abierta • ¿Cuál es margen de error entre ambos resultados? 0.0708 y 0.04949. • Justiﬁca por qué. Es la diferencia entre el resultado aproximado y el exacto.Compara tu resultado con tus compañeros y veriﬁquen con su profesor sus argumentos.LO QUE APRENDÍ1. Resuelve estas situaciones utilizando el método del algoritmo de la raíz cuadrada.a)Un artista moderno pintó el siguiente cuadro, el cuadrado mayor Cómo enriquecer tiene 144 cm2 de superﬁcie. la actividad• ¿Cuánto mide el lado y el área de los cuadrados más peque- La sección “LO ños si se sabe que el lado del cuadrado amarillo es el doble QUE APRENDÍ” está que el del cuadro rojo y la mitad del cuadro azul? diseñada para que los alumnos, de manera 36 cm2 y 9 cm2. individual, calculen la raíz cuadrada por el• Explica la estrategia que utilizaste para resolver esta situación. 144cm2 algoritmo tradicional. Se calcula la raíz del cuadrado azul, (12 cm) la mitad es 6 cm (lado Permita que veriﬁquen del cuadrado rojo), y como el lado del cuadrado amarillo es la mitad sus repuestas con entonces es 3 cm. la calculadora, así encontrará los errores• Justiﬁca tu respuesta. Si se conoce la medida de cada lado es que durante el proceso posible encontrar su superﬁcie. lleguen a presentar. Al terminar pídales• Anota las operaciones que llevaste a cabo. que propongan 12 6 nuevas situaciones144 ‫ ؍‬12; 2 ‫ ؍‬6; 2 ‫ ؍‬3, entonces 62 ‫ ؍‬36 y 32 ‫ ؍‬9 para que las realicen en el cuaderno.• ¿Cómo es el área del cuadrado azul con respecto al área del cuadrado amarillo? Es 16 veces mayor. Veriﬁque que las dudas ¿Y con respecto al cuadrado rojo? Es 4 veces mayor. queden resueltas, si es necesario vuelva aCompara tus resultados con tus compañeros de grupo y veriﬁca con tu profesor y con ayuda de una calculado- repasar los pasos dera los resultados. Si existen diferencias, analicen las razones. este método.Desarrolla tus habilidades USA LAS TICUsa los métodos geométrico y babilónico para veriﬁcar la Ï2. Si quieres practicar más con1. ¿Cuál es el resultado por el método babilónico? Respuesta abierta la raíz cuadrada, visita la2. ¿Y cuál por el método geométrico? Respuesta abierta siguiente página electrónica:3. ¿Cuál de los dos métodos es más exacto? Respuesta abierta www.gobiernodecanarias. org/educacion/17/WebC4. ¿Cuál de los dos métodos es más fácil de realizar? Explica. eltanque/todo_mate/raiz_ Respuesta abierta pp/raizc_e_p.html 247Bitácora pedagógica 247

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer Eje temático Sentido numérico y pensamiento algebraicola actividad Tema Patrones y ecuacionesPropicie laparticipación de Contenido 4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de unatodos y asegúrese sucesión con progresión aritmética.de que identiﬁquenplenamente los ACUÉRDATE DE...elementos de lasucesión, el lugar que Observa la siguiente sucesión de números y responde lo que se pide.ocupa cada uno y ladiferencia constante 1, 3, 5, 7, 9…entre un elementoy el sucesivo. • ¿Cuáles son los dos n meros que si uen en esta secuencia? 11 y 13.Aproveche para que • plica el procedimiento que realizaste para obtener estos n meros. Se suma 2 para cada nuevo término.al dar repuesta a cada • ¿C mo calcularías el décimo término? Sumando 2 hasta llegar al décimo término.inciso desarrollen la • scribe la e presi n al ebraica que representa a esta sucesi n. Y ‫ ؍‬2x ؊ 1competencia • usti ca tu respuesta. Cada natural se multiplica por dos y se resta uno.de argumentación. Compara tus resultados y procedimientos con el resto del grupo y veriﬁquen con su profesor que sean correctos. PRACTÍCALO Actividad 4.1 1. Observa y responde. Luisa estuvo enferma y no pudo asistir a clases, su mamá fue a la escuela a justiﬁcar su falta y avisar a los profesores; cuando habló con el maestro de Matemáticas, este le dijo: “No se preocupe señora, el tema de hoy lo vimos por medio de la proyección de una presentación; si gusta se la mando por correo a Luisa y si no entiende algo yo se lo aclaro después\". Observa las diapositivas de la presentación y responde las preguntas que vienen a continuación. 248 Bitácora pedagógica248

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BLOQUE 5 BLOQUE 5 Cómo enriquecer la actividad2. Observa la tercera diapositiva, en ella se muestran las operaciones que realizó el profesor para obtener los términos de la sucesión del ejemplo. Después de responder los incisos, propicie 2, 5, 8, 11,14,17… que analicen la sucesión, de acuerdo con el ejemplo que se proporciona. Formule preguntas como: ¿cuál es el primer elemento de la sucesión? ¿Cuál es la diferencia entre cada elemento? ¿Cómo quedaría la expresión algebraica para saber el enésimo valor de la sucesión?3. Forma equipo con un compañero y entre ambos resuelvan las sucesiones.a) En la sucesión 1, 6, 11, 16, 21, 26,…n el primer término es 1 , la diferencia entre térmi-nos es 5 , por lo que los dos términos siguientes son 31 y 36 . La suma de los primeros 4 términos es 34 .b) El primer término de una sucesión es 3 y la diferencia es 4, escribe los primeros 7 términos de la sucesión. 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27c) El primer término de una sucesión es 2, el tercero es 22 y el quinto es 42, por lo que la sucesión del pri-mer término al quinto queda 2, 12, 22, 32, 42 ya que la diferencia entre ellos es 10 .d) ¿Cuáles son los dos primeros términos de la siguiente sucesión? 4 ,9 , 14, 19, 24, 29 249Bitácora pedagógica 249

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer 4. Para entender con claridad el origen de la fórmula, observen la cuarta diapositiva y respondan.la actividad a) ¿Consideran que para a, es correcto escribir la multiplicación por cero o sería preferible no escribirla yDé el tiempo necesario anotar directamente el 2? Justiﬁquen su respuesta.para que analicen el Se debe escribir por procedimiento, sin embargo con la práctica se puede hacer mentalmente.ejemplo mostrado. b) En a, la diferencia se multiplica por uno. ¿Consideran que se debe escribir así o debería simplementePida a un alumno sumarse el primer término más la diferencia? Justiﬁquen su respuesta.que lea en voz alta Al igual que el cero se debe escribir por procedimiento, esto evitará confusiones.y entre todo elgrupo respondan c) ¿Consideran que a partir de a en adelante hay alguna manera más sencilla de obtener los números de lalas preguntas que sucesión? Justiﬁquen su respuesta.se plantean. Si es Si, por medio de una expresión algebraica.necesario, aprovechepara cuestionarlos d) Expliquen por qué en la fórmula se coloca la expresión (n؊1).cerca de la obtención Porque nos indica el último término de la sucesión.de una expresiónalgebraica para 250esta sucesión.Permita que losalumnos maniﬁestensus dudas, si es quese presentan paraeste ejemplo.Recursosy materialesEn el portal kalipedia.com, en su secciónde Matemáticas yalgebra, encontraráinteresantes artículossobre este tema.Busque la secciónde progresiones ysucesiones numéricas.http://www.kalipedia.com/matematicas-algebra/ Bitácora pedagógica250

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BLOQUE 5 BLOQUE 55. Diseñen 3 sucesiones aritméticas obteniendo los primeros 7 términos de cada una. Cómo enriquecer a) Sucesión 1 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 la actividad b) Sucesión 2 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60 c) Sucesión 3 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46 Al ﬁnalizar la actividad, pregunte por el6. Realicen y comprueben sus operaciones. décimo término a) ¿Cuál es la suma de los primeros 4 términos de tu sucesión 1? 25 correspondiente a b) ¿Cuál es la suma de los 7 términos de tu sucesión 2? 231 cada sucesión; o bien, c) ¿Cuál es la suma de los primeros 10 términos de tu sucesión 3? 355 establezca nuevas d) ¿Cómo obtuviste la respuesta del inciso anterior? condiciones para Encontrando los términos faltantes de la sucesión. otras sucesiones y encuentren un PRACTÍCALO término determinado. Actividad 4.21. Observa y responde. Curiosidades, a) El profesor incluyó una diapositiva que habla de “términos equidistantes\". acertijos y más • Para ti, ¿qué si ni ca la palabra equidistante? Mohammeid ibn-Musa Respuesta abierta Al-Jwarizmi (780-846), matemático árabe, b) Observa la diapositiva e intenta realizar esta misma prueba en las tres sucesiones que acabas de construir. trabajó en la biblioteca del califa Al-Mamun en Bagdad. De su nombre deriva la palabra algoritmo. Es el autor del trabajo Al-jabr wa´l muqäbala, del cual procede la palabra álgebra. Introdujo en Occidente el sistema hindú de numeración decimal, que explicó con todo detalle en su obra Aritmética. 251Bitácora pedagógica 251

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 c) ¿Es verdad que la suma de términos equidistantes es la misma? Justiﬁca tu respuesta. Si, porque la suma del primer término con el último y el segundo con penúltimo y asi sucesivamente dan el mismo resultado. d) Escribe los resultados de tus tres sucesiones 22 , 66 y 50 e) ¿Cómo identiﬁcaste que los términos que sumaste son equidistantes? Al sumar el valor del primer término con el último y el segundo término con el penúltimo. f) Si tuvieras que sumar los primeros 100 términos de una sucesión, ¿cómo lo resolverías? Respuesta abiertaCómo enriquecerla actividadPida a sus alumnos queanalicen el ejemplopara encontrar la sumade los términos de unasucesión. Cuestiónelossobre la forma máspráctica de obteneresta suma, o si existeotra manera mássencilla de llevar a caboesta operación. g) El profesor plantea una pregunta similar en esta diapositiva. • esponde las pre untas de la diapositiva se n tu criterio. Respuesta abierta 252 Bitácora pedagógica252

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BLOQUE 5PRACTÍCALO BLOQUE 5 Actividad 4.3Seguramente ya notaron que obtener la suma de una gran cantidad de términos de una sucesión no es difícilpor fortuna podemos utilizar una vez más el álgebra para resolver este problema. Observen la diapositiva. Qué observar Durante el análisis, motive a los alumnos para que lean en lenguaje común la fórmula: “La suma de n términos es igual a la semisuma del primer término más el último término, y esto multiplicado por elAl observar esta diapositiva, Luisa intentó aplicar la fórmula a las secuencias que ella tenía, pero le resultó un número de términos”,poco confuso, así que observó la que el profesor puso como ejemplo. Analicen con cuidado el procedimiento o bien: “Para obtenerque utilizó y resuelve la actividad. la suma de n términos se debe sumar el primer término más el último, el resultado dividirlo entre dos y esto se multiplica por el número de términos”. Enfatice la importancia de hacer esto en la interpretación de la secuencia de operaciones. Aconseje realizar este procedimiento con todas las fórmulas.Bitácora pedagógica Cómo enriquecer la actividad En el ejemplo, pídales que analicen cuál es la importancia de identiﬁcar los datos con 253 su equivalente en la fórmula y en qué ayuda al momento de realizar la sustitución, procure que los alumnos se den cuenta de que esto evita en gran medida cometer errores. 253

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer 1. Respondan las preguntas.la actividad a) ¿Es posible aplicar directamente la fórmula a cualquier sucesión, independientemente del número de tér-Analice, junto con los minos que se tengan? Justiﬁquen su respuesta.alumnos, el uso de la Sí, porque en una sucesión se presenta el primer término y el termino del que se quiere conocer la suma;fórmula y la manera de aunque el último término no se encuentre en la sucesión.realizar las operacionespara encontrar el b) Describan brevemente todo el procedimiento para encontrar la suma de los términos de una sucesión.resultados de la suma Respuesta abiertade los términos de unasucesión. Proponga c) Enno\"e. lEexjpemliqpuleonmcoosntrtaudsopSanlasbigransiﬁqcuaé“sliagnsuiﬁmcaa total de los términos\", a1 signiﬁca que “es el primer térmi-ejercicios para que el an ‫؍‬ 14 yn ‫ ؍‬5.alumno practique o,en su caso, pídales an es el valor del término y n es total de término que tiene la sucesión.que ellos mismosestablezcan sus propiassucesiones. d) En las operaciones la secuencia inició con la suma 2 ؉ 14 ‫ ؍‬16, luego se dividió entre 2. Concluye con la descripción y explica si esta es la forma más sencilla, o se puede realizar con mayor facilidad. El resultado se multiplica por 5, y de esta forma obtenemos la suma de los primeros cinco términos de la sucesión.Cómo enriquecer LO QUE APRENDÍla actividad 1. Para cada problema explica el planteamiento que realizaste, escribe las operaciones que llevaste a cabo eProponga situaciones indica la expresión algebraica para estas situaciones.donde los alumnos a) El profesor Adrián Tapia organizó una campaña de reciclaje con sus alumnos. Les pidió que juntaran lasapliquen lo que botellas de plástico que usaran en su casa y cada semana las llevaran a un contenedor que colocó en elhan aprendido durante patio de la escuela. Ricardo llevó 4 botellas la primera semana, pero de ahí en adelante cada semana hael transcurso de este llevado 5. Desarrolla la progresión que muestra la recolección de Ricardo para las primeras 8 semanas ycontenido. La actividad calcula el número de botellas que llevará en la semana 40 (al ﬁnal del ciclo escolar).está diseñada para que a) 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39.de manera individual b) 199 botellasencuentre la solución acada situación. 254Veriﬁque junto con Bitácora pedagógicael grupo que lasrespuestas sean lascorrectas.Pida a los estudiantesque justiﬁquen losprocedimientos quellevaron a cabo paraencontrar el resultado.254

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BLOQUE 5 BLOQUE 5 Cómo enriquecer la actividad2. Jessica estudia primero de secundaria. Su papá le dijo que a partir de este año le iba a dar dinero mensual- mente para sus gastos (una mesada), por lo que debía aprender a administrar su dinero. Ella le prometió que Fomente el análisis de iba a distribuir el dinero para el mes y lo que le sobrara lo iba a ahorrar. Ahora lleva ya 10 días ahorrando, situaciones semejantes. siempre le han sobrado 4 pesos y ha acumulado 45, pero no recuerda cuánto ahorró el primer día. Ayuda a Jessica encontrando la cantidad. En grupo, pida $9 a un alumno que explique las3. Roberto participa en un concurso de historietas en el cual debe hacer un álbum de estampas. En la actuali- estrategias que siguió dad lleva 25; en la primera página solo puso 3 y ha utilizado 12 páginas. ¿Cuántas estampas ha colocado por para la resolución página a partir de la segunda? y que justiﬁque su procedimiento. Dos estampas. Veriﬁque que los4. En un centro de entretenimiento familiar ofrecen una tarjeta para acumular puntos. Regalan los tres prime- resultados sean los ros y cada vez que se usa un juego se acumula un punto. Erick quiere unos audífonos que valen 25 puntos y correctos, en caso de hoy los juntó; tardó 12 días porque solo juega un poco después de terminar sus tareas. ¿Cuántos puntos acu- que existan errores, muló cada día? ayúdeles a corregirlos y, de ser necesario, Dos puntos. propongan entre todos nuevas situaciones, las que expondrán y desarrollaran en sus cuaderno.Desarrolla tus habilidades USA LAS TIC¿Cuántas campanadas sonarán durante un día si un reloj indica la hora con el Conoce más acerca denúmero de campanadas que da? las progresiones visitando300 campanadas la página: http://thales. cica.es/rd/Recursos/ rd99/ed99؊0101؊01/ ed99؊0101؊01.html, encontrarás fórmulas, ejemplos y ejercicios interesantes, en distintos niveles de diﬁcultad. 255 Recursos y materialesBitácora pedagógica En el portal de la junta de Andalucía, en su sección de matemáticas, sucesiones y series, encontrará problemas muy interesantes para resolver. http://www. juntadeandalucia. es/averroes/centros- tic/29010870/archivos/ repositorio//html/491/ sucesiones/index.html 255

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje temático Forma, espacio y medida Tema MedidaCómo enriquecer Contenido 5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área della actividad círculo en la resolución de problemas.Mediante la sección ACUÉRDATE DE...“ACUÉRDATE DE…”,aproveche para que los Comenten la diferencia que se presenta entre una circunferencia y un círculo, cómo se calcula el perímetro deestudiantes comenten la circunferencia y el área del círculo. Anoten ambas fórmulas en los siguientes esquemas e indiquen cuál es unala diferencia que hay circunferencia y cuál un círculo:entre un círculo yuna circunferencia. Fórmula FórmulaDado que ahora sebusca que resuelvan Radio A ‫␲ ؍‬r2 Radio P ‫␲ ؍‬Dproblemas que Diámetroimplican el cálculo delárea y del perímetro Círculo Circunferenciade un círculo, si algúnalumno recuerda la • Expliquen el procedimiento que llevaron a cabo para encontrar el perímetro si solo tienen como datofórmula aprovéchela y El radio se duplica y se multiplicapídales que expliquen el radio y cómo encontrar el perímetro si solo se tiene el dato del diámetro. por pi; solo se multiplica por pi.qué elementosrelaciona la fórmula; • Justiﬁquen su respuesta. Porque el diámetro cabe 3.14 veces en el perímetro.si no recuerdan la Dividiendo entre pi, y el otrofórmula, menciónelesque al desarrollar • ¿Cómo calcularían el diámetro o el radio si únicamente tienen el perímetro? se divide entre 2.este apartado laencontrarán. • ¿Cómo supieron cuál era la circunferencia y cuál el círculo? El círculo es una superﬁcie y la circunferencia es una longitud.Cómo enriquecer Comparen sus respuestas con los demás compañeros de grupo y veriﬁquen su deﬁnición de circunferencia yla actividad círculo con su profesor.La Actividad 5.1 retoma PRACTÍCALO Actividad 5.1los conocimientosdel apartado anterior 1. Calcula la longitud de las circunferencias con las siguientes medidas. Compara tus resultados con los de tusy sirven como compañeros.recordatorio de cómose resuelven este tipo a) Diámetro ‫ ؍‬12 cm c) Radio ‫ ؍‬30 mmde problemas. Circunferencia ‫ ؍‬37.68 cm Circunferencia ‫ ؍‬188.4 mmPermita que resuelvanestos incisos de manera b) Radio ‫ ؍‬10 cm d) Diámetro ‫ ؍‬20 uindividual y comparen Circunferencia ‫ ؍‬62.8 cm Circunferencia ‫ ؍‬68.8 usus resultados con losde sus compañeros PRACTÍCALO Actividad 5.2para que adquieranseguridad en sus 1. Resuelvan los problemas sobre perímetros que se presentan.procedimientos. a) Si tenemos que la rueda de un camión de la basura tiene un diámetro de 85 cm, ¿qué distancia recorre el camión si la llanta da 120 vueltas? 32 028 cm 256 Bitácora pedagógica256

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BLOQUE 5 BLOQUE 5 Cambiando númerosb) Lupita y Gaby fueron a la feria. Lupita se subió a un caballo que se encuentra a 2.8 m del centro de la pla- Pida a sus alumnos que taforma que gira y Gaby se montó en un pato que está a 2.8 m del centro. Calcula el camino recorrido por consideren que el pato cada una si la plataforma dio 50 vueltas. sobre el cual Gaby se montó, se encuentra a 879.2 m 3.2 m del centro, que el propósito es que c) El radio de las ruedas de la bicicleta de Toño es de 40 cm, y el diámetro de las ruedas de la bicicleta de Juan calculen la distancia mide 78 cm cada una. ¿Qué distancia recorrerá cada uno si las llantas de ambas bicicletas dan 200 vueltas? recorrida por cada una de las niñas. Toño: 50 240 m Juan: 48 984 m Cómo enriquecer la actividadRealicen un esquema para cada uno de ellos, expliquen claramente el planteamiento que hicieron, así como lasoperaciones que efectuaron. Comparen sus resultados con el resto del grupo. Pida a los alumnos que justiﬁquenPRACTÍCALO Actividad 5.3 las operaciones que realizaron y la1. Calcula el área de los círculos cuyos datos se dan a continuación y después resuelve los problemas. secuencia que utilizaron Realicen un esquema para cada uno de ellos, expliquen claramente el planteamiento que realizaron, así para cada situación como las operaciones que efectuaron. Comparen sus resultados con el resto del grupo. presente en los incisos a), b) y c). Destaquea) Radio ‫ ؍‬3 cm c) Radio ‫ ؍‬5 mm que el planteamiento Área del círculo ‫ ؍‬28.26 cm2 Área del círculo ‫ ؍‬78.5 mm2 es la base para conocer la secuenciab) Radio ‫ ؍‬6 cm d) Radio ‫ ؍‬8 cm de operaciones e Área del círculo ‫ ؍‬113.04 cm2 Área del círculo ‫ ؍‬200.96 cm2 inculque el hábito entre los estudiantesa) Un granjero desea hacer un corral para guardar sus animales. El terreno del cual dispone se presta para de comprobar sus construirlo de las formas que se ilustran. Analiza las ﬁguras y las medidas, considerando que cuenta con resultados. 60 m de malla de alambre para bordearlas, hay que saber cuál de ellas ocupa una mayor superﬁcie y por lo mismo, puede albergar a una cantidad mayor de animales o bien, cuál de ellas ofrece la posibilidad de Cómo enriquecer aprovechar más la superﬁcie de acuerdo con la forma. Todas las formas tienen un perímetro de 60 m. la actividad El corral de forma circular ofrece más posibilidades. Pídales que resuelvanDe 20 m en cada Con lados de 15 m de manera individuallado y altura aproxi- la Actividad 5.3mada de 17.3 m 173 m2 225 m2 y presenten sus procedimientosEl lado menor de 200 m2 De perímetro aproxi- 283.3 m2 y resultados en el10 m y el mayor mado a 60 m pizarrón; aprovechede 20 m estas actividades para que desarrollen • naliza las posibilidades de cada corral de acuerdo con los criterios señalados con anterioridad. la competencia de comunicación. 257 Qué observarBitácora pedagógica Es importante que los alumnos comprendan que una fracción es un conjunto de partes iguales que conforman a un entero, el cual ha sido dividido. 257

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 • Propón otra forma que puede tener el corral y fundamenta tu elección. Respuesta abierta b) Si el radio en una circunferencia se aumenta, ¿cómo aumenta el perímetro correspondiente? ¿Es posible aﬁrmar que la relación entre el radio y el perímetro correspondiente es proporcional? ¿Por qué? Si aumenta, si es proporcional, porque la medida del radio determina el perímetro en base a pi. c) Si el radio en una circunferencia se aumenta, ¿cómo aumenta el área correspondiente? ¿Cómo se puede caracterizar el aumento del área del círculo? ¿Es posible aﬁrmar que la relación entre el radio y el área correspondiente es proporcional? ¿Por qué? Aumenta con base al cuadrado del radio; al multiplicar el cuadrado del radio por pi; no es proporcional, porque la proporción no se base en la longitud del radio si no del cuadrado de este. d) La Tierra está a una distancia del Sol de 155 millones de km, aproximadamente. La trayectoria de la Tie- rra alrededor del Sol es casi circular. • ¿Qué distancia recorremos \"en órbita\" alrededor del Sol cada año? 75 438. 5 millones de km • Para realizar los cálculos, ¿qué valor es conveniente usar para ␲? ¿Por qué? 3.14 Porque es un número irracional. • ¿Cuál sería una buena aproximación de la velocidad de la Tierra en su órbita? 8 611.7 km/hr PRACTÍCALO Actividad 5.4Qué observar 1. A partir de los datos que se ofrecen, calculen el área sombreada de las siguientes ﬁguras (la escala de las ﬁguras es 1:2).Previo a la resoluciónde la Actividad 5.4, Expliquen el procedimiento que utilizaron para resolver cada ejercicio y comparen sus resultados. Con la aseso-es recomendable que ría de su profesor concluyan acerca de la forma en que se obtiene el área de ﬁguras combinadas o superpuestas.dé un tiempo a losalumnos para que a) Lado del cuadrado: 6 cm b) Base del triángulo: 5 cmanalicen cada ﬁgura Diámetro del círculo: 3 cm Altura del triángulo: 6 cmy expliquen qué es lo Diámetro del círculo: 2 cmque se espera obtener Paralelepípedo rectangularen cada caso. 6 cm Área = 115.74 cm2 Área = 47.44 cm2 10 cm 258 2 cm Bitácora pedagógica258

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BLOQUE 5 BLOQUE 5c) Cuadrados: lado = 1 cm d) Área = 64 cm2 Cómo enriquecer Triángulo: base = 2 cm 4 cm la actividad Altura = 1 cm Rectángulo: base = 2.5 cm Permita por medio Altura = 0.6 cm de un debate que Círculo: radio = 3 cm las parejas expliquen los procedimientos utilizados para resolver y que los justiﬁquen. 4 cmÁrea = 95.04 cm2 Cómo enriquecer la actividad LO QUE APRENDÍ De manera individual,1. Resuelve los problemas sobre área que se presentan. veriﬁque que los a) El papá de Jesús tiene un automóvil compacto, él desea conocer el área que ocupa únicamente el hule alumnos aprendieron de la llanta, por lo que decide realizar las mediciones que se muestran en la ﬁgura con el ﬂexómetro. a realizar los cálculos ¿Cuál es el área únicamente de la llanta? entre el perímetro y el área, además de que 1 412.9 cm2 sepan distinguir entre círculo y circunferencia. Veriﬁque los resultados son verídicos; para reforzar aún más este contenido, proponga situaciones de su vida cotidiana y que los resuelvan en su cuaderno justiﬁcando sus procedimientos y comprobación de resultados.b) La mamá de Jesús desea forrar con tela una mesa redonda que tiene un diámetro de 1.2 m. ¿Cuánta tela Cambiando números debe colocar sobre la mesa? Proporcione a sus 1 .13 m2 alumnos las medidas del diámetro mayor (55 cm)Bitácora pedagógica 259 y menor (35 cm) de la llanta para que puedan Transversalidad resolver la situación que se plantea. Asimismo Pídales que investiguen con solicíteles que tracen en su profesor de la materia de la ﬁgura, las medidas. Español la forma de cómo llevar a cabo un debate. Cambiando números Organice al grupo para que de una manera respetuosa Pida a sus alumnos debatan acerca de la que localicen y tracen resolución de la Actividad 5.4. sobre la imagen de la mesa, el diámetro de la misma, no olvidando anotar su medida (1.20 m). 259

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 c) La plaza de San Gabriel tiene una forma circular en la cual colocarán 6 farolas cuyo diámetro de la base de cada una es de 0.90 m, un kiosco circular de 15 m de diámetro y en el resto del terreno colocarán cés- ped. Si el diámetro de la plaza es de 120 m, ¿cuánto césped colocarán? 11 123.5 m2 Plaza 120 m Farolas 15 m Kiosco 0.90 mCómo enriquecer Desarrolla tus habilidadesla actividad Resuelve la siguiente situación.Para resolver estaactividad pida a los La ﬁgura nos muestra un eclipse parcial de Sol, tal y como se observa en un te-alumnos que expliquen lescopio. Si la diferencia entre los diámetros es de 10 cm y el radio de la imagenel procedimiento de la Luna es de 4 cm, ¿qué área de la imagen del Sol no se cubrió?que llevaron a caboy que veriﬁquen sus 204.1 cm2 USA LAS TICresultados con el resto 260de sus compañeros. En la página www.Si se presentaran aaamatematicas.com/diferencias, promueva geo612x4.htm podrásla argumentación practicar en línea el cálculoy la exposición de de la circunferencia delideas. Esto permitirá la círculo; visítala.retroalimentaciónentre los integrantesdel grupo. Bitácora pedagógica260

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BLOQUE 5 BLOQUE 5 Eje temático Manejo de la información Cómo enriquecer la actividad Tema Proporcionalidad y funciones Dibuje en el pizarrón Contenido 6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple la siguiente ﬁgura para que alumno la analice ACUÉRDATE DE... y de esta forma pueda contestar las preguntas1. En la primaria aprendiste a calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular. Con ayuda de un compa- que se le plantean en la sección “ACUÉRDATEñero, respondan: ¿cómo se calcula el volumen de esta ﬁgura? Multiplicando sus dimensiones. ¿Cómo se DE…”.expresa su fórmula? V = abc El volumen de la ﬁgura mostrada es120 cm3 . • Explica: ¿qué signiﬁca que después del resultado se coloque la expresión \"cm3\"? 6 cm Que son unidades de volumen. 10 cm2. Ahora recuerden cómo se calcula el valor que falta en una proporción directa. Un ejemplo de primaria: sicon 8 cajas de galletas se puede regalar una bolsita con galletas a 20 niños, ¿cuántas cajas se necesitaránpara repartir bolsitas de galletas a 30 niños? Doce cajas ¿Cómo se expresa la operación para 2 cm (30)(8) 240encontrar la respuesta? x ‫؍‬ 20 ‫؍‬ 20 ‫؍‬ 12 ¿Por qué es una proporción \"directa\"?Porque ambos valores aumentan o disminuyen de manera proporcional. Para leer más Cuando se deben comparar más de dos proporciones relacionadas entre sí, se le llama “PROPORCIONALIDAD MÚLTIPLE\". PRACTÍCALO Actividad 6.1En parejas, calculen el volumen de los paralelepípedos mostrados y respondan las preguntas. Qué observar Figura Principal Figura A Esta actividad requiere de buena observación 4 cm y un razonamiento 4 cm claro, recuerde que al desarrollar la 2 cm 3 cm 4 cm 3 cm imaginación espacial en V = 24 cm3 ﬁguras bidimensionales V = 48 cm3 es muy importante laBitácora pedagógica reﬂexión. El propósito 261 que se busca es que se relacione el incremento de cualquiera de los lados con el aumento proporcional del volumen. Cómo enriquecer la actividad Pida a los alumnos que describan las imágenes y justiﬁquen qué provoca que cambie la longitud de cada lado y por qué ocurre esto. 261

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Figura C Figura B 2 cm 6 cm 4 cm V = 48 cm3 8 cm V = 48 cm3 2 cm 3 cm • ¿Cuál es el volumen de la ura principal? 24 cm3 ¿Cuál es el volumen de las ﬁguras A, B y C? 48 cm3 • pliquen, ¿por qué ocurre esto? Porque el producto de multiplicar las dimensiones en las tres ﬁguras es igual. • ¿Qué pueden observar al comparar la ura principal con la ura ? El volumen y un lado es la mitad de A. • ¿ curre lo mismo con las uras C? Si Expliquen por qué lo consideran así Porque en las tres ﬁguras siempre el volumen es el doble de la ﬁgura principal al igual que la longitud de uno de sus tres lados.Qué observar • ¿Qué conclusi n pueden obtener para indicar la relaci n que tiene la ura principal con las otras tres? Este problema se Respuesta abiertapresta muy bien paradesarrollarlo por Para tener en cuenta Actividad 6.2dos procedimientos,veriﬁque que se aplica Para encontrar la solución al problema es común que se puedan utilizar distin-el algoritmo para tas formas, métodos o procedimientos. En cualquier caso, siempre es preferibleencontrar el valor tratar de utilizar el más sencillo y cómodo posible.faltante, pero tambiénutilice la técnica para PRACTÍCALOencontrar primero elvalor unitario, de esta Continúa trabajando con tu compañero y juntos intenten resolver el siguiente problema por sus propios me-manera los alumnos dios. Es importante que “antes de preguntar\" lo intenten ustedes solos.compararán ambosprocedimientos, a) Tatiana es mamá de Mayumi, Casandra y Carlitos. Para llevar a sus hijos a la escuela gasta en pasajes $20analizarán las ventajas a la semana; es decir “20 pesos para 4 personas durante 5 días\" (lunes a viernes). Su hermana Ángelade cada uno y al mismo tiene 2 hijos, Gustavo y Beatriz, y le pidió a su hermana que por 8 días le ayudara llevando también atiempo comprobarán sus hijos a la escuela.el resultado. • ¿Cuánto astará a ora atiana si debe pa ar el pasa e de personas por 8 días? $48Recursosy materiales 262En la página Educar, Bitácora pedagógicael artículo “Unproblema de ofertas”,proporciona algunassugerencias paratrabajar este contenido.Utilice el buscador de lapágina para localizar elartículo.http://www.edu.ar/educar/site/educar/index.html262

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BLOQUE 5 BLOQUE 5• pliquen la estrate ia que utilizaron para resolver el problema Se calcula el valor del pasaje por persona por cada día, luego se multiplica por el número de personas (6)y por el número de días (8).• ¿Cuánto cuesta el pasa e por persona? $1 ¿Cómo obtuvieron esta cantidad?Dividiendo 20 pesos entre 5 días y el resultado entre 4 personas.• ¿C mo pueden comprobar que sus resultados son correctos? Haciendo la operación de forma inversa, un peso por 6 personas por 8 días.PRACTÍCALO Actividad 6.3Sergio tiene un terreno en el pueblo de San Gabriel. Quiere construir una barda perimetral, pero no tiene Qué observardinero para hacerla toda al mismo tiempo, así que contrató a 4 albañiles para que construyeran los primeros100 m2 para lo cual tardaron 15 días; posteriormente contrató a 11 albañiles por un periodo de 20 días, ¿cuán- En esta sección es muytos metros cuadrados lograron construir durante este periodo? 366.6 m2 importante analizar con detenimientoPara encontrar la respuesta, es necesario que antes respondan estas preguntas y realicen lo que se indica. la comparación entre las condiciones • pliquen con sus propias palabras, ¿de qué trata el problema? Respuesta abierta dadas, enfatice qué ocurre cuando ambas • ¿Cuáles son los datos que brinda el problema? El número de albañiles, la cantidad de m2 construidos y los días trabajados. cantidades aumentan o disminuyen en • ¿Qué pre unta deben responder? La cantidad de m2 que construyen de barda 11 albañiles en 20 días. relación con el signo de referencia, así comoObserven la siguiente tabla y analicen cómo están acomodados los datos del problema: qué ocurre cuando una cantidad aumenta y la Numero de albañiles Días trabajados Metros cuadrados otra disminuye. Analice construidos varios ejemplos con laPrimera etapa 4 15 intención de que losSegunda etapa 11 20 100 alumnos obtengan seguridad al x momento de tomar estas decisiones.• Comparen la columna que tiene la inc nita con cada una de las otras. Coloquen sobre las líneas la pala- bra “más o menos” para completar el ejercicio.Al comparar la columna del total de metros construidos con la columna de días trabajados respondan:• Si teniendo 15 días de trabajo se construyeron 100 m2, al tener más días de trabajo, ¿se deben construir más o menos metros cuadrados?__M_á_s__m_2__ Expliquen por qué. Porque entre más días más m2 construidos. 263Bitácora pedagógica 263

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MATEMÁTICAS 1Qué observar MATEMÁTICAS 1 • Conclusión: Entonces a___m__á_s___ días de trabajo ___m__á_s___ cantidad de metros cuadrados construidos.Durante el • l comparar la misma columna con el n mero de albañiles respondanplanteamiento del • i albañiles constru eron 100 m2, entonces 11 albañiles ¿deberán construir más o menos metrosalgoritmo veriﬁque que cuadrados? ___m__á_s____ Expliquen por qué. Si se incrementa al número de albañiles también se incrementan los m2.el alumno sea capaz de • Conclusi n entonces a más albañiles más metros cuadrados construidoscolocar los signos de • Describe ¿cuáles son las circunstancias que se pueden presentar al comparar dos cantidades? referencia correctos, Que cuando una cantidad aumenta la otra también o bien que cuando una aumenta la otra disminuya.así como expresar lasoperaciones de manera • ora re resemos a la tabla. Como verán, la inc nita se encuentra en la la de la se unda etapa, por adecuada en términos lo tanto deberán basarse en estos valores para indicar la relación con la primera etapa.de la incógnita. • bserven respondanMotive a sus alumnospara que comprueben • n la primera conclusi n ¿tus respuestas ueron i uales o distintas? Iguales i ueron i uales el resultado “más, más o menos, menos” al número 20 se le puede colocar un (ϩ) (únicamente como referenciaencontrando el valor no como signo).unitario. Cuestione cuálsería este y por qué • n la se unda conclusi n, ¿C mo ueron tus respuestas, i uales o distintas? Iguales Entoncesconsideran que lo es. el signo que debemos colocar como referencia al número 11 es (؉) . • Para concluir, escribe el si no contrario como re erencia a los n meros de la primera etapa. l si no del número de la columna que contiene la incógnita siempre es un (ϩ). Numero de albañiles Días trabajados Metros cuadrados construidos Primera etapa (-) 4 (-) 15 Segunda etapa (+) 11 (+) 20 (+) 100 x Ya están listos para realizar las operaciones necesarias. Para encontrar el valor de la incógnita, lo único que tienen que hacer es concentrar el producto de todos los números a los que les colocamos como referencia el signo (ϩ) y el resultado deben dividirlo entre el producto de todos los números que tienen como referencia el signo (Ϫ), es decir: x= (11)(20)(100) = 22000 = 366.6 m2 (4)(15) 60Curiosidades,acertijos y más Conclusión: 11 albañiles pueden construir en 20 días una barda de 366.6 m2Un distribuidor 264de juguetes habíacomprado para Bitácora pedagógicarevender 36 muñecasiguales. Sabía quecada una le habíacostado menos de$100, pero al revisarla factura observó quesolo venían las doscifras centrales deltotal: $*49*. Obtén elprecio de cada muñecasabiendo que el precioes un número entero.264

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BLOQUE 5 BLOQUE 5PRACTÍCALO Actividad 6.4Resuelvan el siguiente problema. Qué observarEl ingeniero Oscar Luna está dirigiendo la pavimentación de una nueva calle. Para el inicio de la obra contrató Dé un tiemposolamente a 10 obreros para pavimentar un tramo de 25 metros que demoró 5 días en ser terminado. ¿Cuántos razonable para resolverobreros necesitará para pavimentar los 600 metros que le hacen falta? Considerando que solo tiene un periodo esta cuestión. Observede 30 días para entregar la obra. que traduzcan la información a unaColoquen los datos en la tabla. serie de razones iguales y que apliquenPara el inicio de la obra Número de Total de m Total de días adecuadamente la obreros construidos de trabajo propiedad fundamental para encontrar el valor 10 25 m 5 faltante. Si lo considera pertinente, permítalesPara concluir la obra x 600 30 usar la calculadora.Ahora respondan lo que se pide.• ¿ n qué columna se encuentra la inc nita? En la primera . Comparemos entonces esta co- lumna con las otras dos.• pliquen, ¿qué relaci n tiene la columna del n mero de obreros en comparaci n con la columna del total de metros construidos? Diez obreros construyen 25 m.• scriban su conclusi n. A más albañiles más cantidad de metros construidos.• ¿Qué si no se debe colocar como re erencia? (؉)• pliquen ¿qué relaci n tiene la columna del n mero de obreros en comparaci n con la columna del total de días de trabajo? Diez obreros construyen en cinco días 25 m.• scriban su conclusi n. A más tiempo mayor cantidad de metros construidos.• ¿Qué si no se debe colocar como re erencia? (؉)• ntonces la operaci n que se debe realizar esEl resultado es 40 lo que indica la cantidad de obreros necesarios para concluir la obra. 265 Bitácora pedagógica 265

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Actividad 6.5 PRACTÍCALO Explora otras opciones.Cómo enriquecer 1. Utiliza el razonamiento para encontrar la solución al siguiente problema.la actividad En una estancia infantil hay un grupo con 12 niños que solo asiste de lunes a jueves. En los 4 días durante elResuelva en el desayuno consumen 6 paquetes de pan. Si 4 niños estarán de campamento por 10 días, ¿cuántos paquetes depizarrón, una a una, pan se consumirán durante ese periodo? Diez paquetes.cada situación. Elalumno participante Responde las preguntas: ¿Cómo encontraste ladebe ser claro en suexposición, explicar • Cuando están los 12 niños, ¿cuánto pan se consume por día? 1.5 paquetessus procedimientos y respuesta?justiﬁcar sus resultadoscon argumentos Dividiendo la cantidad de paquetes de pan entre 4 días.congruentes conla teoría de las • ¿Qué cantidad diaria de pan consume cada niño? 0.125 paquetes ¿Qué operación tuviste que realizar?proporciones. Explica por qué. Una división, 1.5 paquetes diarios entre 12 niños.Además, debe tenerla disposición para • ¿Qué cantidad de pan consumirán 8 niños durante un día? 1 paquete, ¿cómo encontraste la respuesta?responder las preguntas Explica tu procedimiento. Multiplicando en valor unitario por 8.y aclarar las dudas desus demás compañeros. • Por lo tanto, durante 10 días la cantidad de pan que se consume es de 10 bolsas.Otro alumno harálo propio con el • Describe con tus propias palabras el procedimiento que acabas de realizar. Respuesta abiertasegundo ejercicio y asísucesivamente. • ¿Consideras que es posible resolver este problema de otra manera? Si. De ser así, explica el pro- cedimiento. También se puede resolver por el método anterior, el algoritmo para calcular un valor desconocido por la regla de tres compuesta. • Comprueba tu resultado resolviendo este mismo problema con el método que aprendiste anteriormente. 2. Ahora resuelve y comprueba este problema en el siguiente espacio: Vicente y Sergio han decidido invertir su capital en una empresa. Sergio invirtió $12,500 durante 6 meses y su ganancia es de $3,800. ¿Qué cantidad invirtió Vicente si durante 8 meses ha ganado $7,200? $31 578.9 266 Bitácora pedagógica266

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BLOQUE 5 BLOQUE 5PRACTÍCALO Actividad 6.6Ahora forma un equipo de tres integrantes y juntos analicen, planteen, resuelvan y comprueben los siguientes Qué observarproblemas en sus cuadernos. Al resolver estaa) Una cisterna se llena en 6 días dejando abiertas 4 llaves que arrojan 40 litros por hora, durante 12 horas dia- actividad es rias. ¿Cuántos días se necesitarán para llenar la misma cisterna si se dejan abiertas, durante 10 horas diarias, conveniente que los 8 llaves que dan 36 litros por hora? ejercicios se realicen uno a uno, con el Cuatro días propósito de que usted veriﬁque el grado deb) Un ciclista participa en un maratón; si se desplaza a 16 km por hora y recorre varias etapas de la ruta em- comprensión de pdeed9a15leahnrsdopo1r2dhíao,ra¿scudáialrdiaesb?e este contenido.pleando 12 días a razón ser la velocidad a la que tendrá que desplazarse si Dé un tiempo razonablequiere utilizar sólo 8 días para resolverlos. 18.4 km/hr Observe que traduzcan la información a unac) Si 48 obreros pueden ﬁnalizar un distribuidor vial en 92 días trabajando turnos de 14 horas diarias. ¿En cuántos serie de razones iguales días terminarán la obra si se aumenta en un 75% el número de obreros trabajando turnos de 16 horas diarias? y que apliquen de forma adecuada la 46 días propiedad fundamental para encontrar el Expliquen claramente el planteamiento que realizaron, así como las operaciones que efectuaron para encon- valor faltante. trar los resultados. Bajo la supervisión de su profesor realicen una exposición ante el grupo de uno de estos problemas. Para tener en cuentaEn cualquier procedimiento matemático es muy importante la comprobación de los resultados; es un hábito quedebes practicar siempre, te ayudará a tener seguridad en ti mismo, a entregar resultados correctos y trabajoscon calidad. LO QUE APRENDÍEn las grutas de Xoxaﬁ de Actopan, Hidalgo, los profesores Adrián, Marina y Óscar están a cargo de un equipo deexploración cada uno. Adrián tiene 8 alumnos y juntos pueden explorar a detalle 60 metros de una gruta en 10 días.Si el equipo de Marina tiene 18 alumnos, ¿cuántos metros podrán explorar en el mismo tiempo? 135 metrosEl equipo de Óscar tiene 7 alumnos y pueden explorar 105 metros de una gruta en 20 días; si el equipo de lamaestra Marina explorara la misma gruta, ¿cuántos metros lograría explorar? 135 metrosExplica la forma de cómo planteaste el problema para encontrar el resultado.La cantidad de m explorados es la misma porque se manejan el mismo número de alumnos y con un tiempo de10 días, si el tiempo fuera igual al del maestro Oscar la cantidad de m explorados variaría.Compara tus resultados y tus procedimientos con el resto del grupo. Con la asesoría de tu profesor obtén unaconclusión acerca de esta actividad. 267Bitácora pedagógica 267

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1Cómo enriquecer Evaluaciónla actividad Resuelve las siguientes situaciones y escribe en el paréntesis de la derecha la letra que contenga laRecuerde que la respuesta correcta. Al ﬁnalizar, revisen en grupo esta prueba, sus resultados y los procedimientos.sección “Evaluación”pretende hacer 1. En un supermercado guardan las verduras para su conservación en un refrigerador que se encuentra aque los alumnos se 3°C, y la carne la guardan en otro que se encuentra a -20°C. Cuando se va a vender, la carne se pasaautoevalúen, esto al refrigerador de las verduras para que se descongele.es, que aprendan areconocer qué es lo 1. ¿Cuánto aumenta la temperatura de la carne al hacer el cambio? (c)que ya saben hacer,qué están aprendiendo a) -17°C b) -23°C c) 23°C d) 17°Cy en qué contenidosnecesitan hacer un 2. En una casa de azulejos venden mosaicos cuadrados.mayor esfuerzo. 1. Si uno de ellos mide 1764 cm2, ¿cuánto mide cada uno de sus lados? (d)Cómo enriquecer d) 42 cmla actividad a) 45 cm b) 48 cm c) 43 cmPermita a los alumnos 3. La edad del Sol es de aproximadamente 5x109 años. Sin embargo, hay cuerpos celestes que puedenque comparen sus tener seis veces esa edad. Calcula la edad de estos cuerpos.resultados con laactividad de evaluación 1. ¿Cuál es la edad de estos cuerpos celestes? (a)y en equipo expliquendonde estuvo el error. a) 3 x 1010 años b) 3 x 109 años c) 3 x107 años d) 3 x 1011 años 4. El área de Estados Unidos de Norte América es 9,666 861 kilómetros cuadrados, si redondeamos esta cantidad a 10 000 000 de km2: 1. ¿Cómo se representa esta cantidad en notación cientíﬁca? (c) a) 10 x 107 km2 b) 1 x 109 km2 c) 1 x107 km2 d) 0.1 x 1011 km2 5. Si un avión vuela 610 kilómetros en una hora veinte minutos: 1. ¿Cuánto volará en dos horas 10 minutos? (a) d) 1723.2 km a) 1 753. 75 km b) 1 758.5 km c) 1 758.7 km 268Cambiando números Bitácora pedagógicaPida a sus alumnosque sustituyan lasopciones a y b, por991.25 km y 1025.34km, respectivamente,de tal manera que siresponden la opción acomo correcta, habránacertado a la respuesta. 268

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BLOQUE 5 BLOQUE 5Evaluación Cómo enriquecer la actividad 6. Lupita es una estudiante de primero de secundaria. El profesor de Matemáticas les aplicó un examen bimestral de 15 preguntas, ella tuvo 13 aciertos y se tardó 40 minutos en terminar. El profesor dijo que Motive a los alumnos el examen departamental era semejante al que les aplicó. Las preguntas de este examen fueron 35 y para que resuelvan Lupita tuvo 28 aciertos, ¿en cuánto tiempo terminó el examen? esta evaluación de forma honesta, procure1. Si el examen departamental es de 35 preguntas, ¿cuántos minutos tardó Lupita en terminar el que comprendan la importancia deexamen? (c) esto y la utilidad que puede tener paraa) 220 min b) 180 min c) 201 min d) 335 min mejorar su nivel actual de conocimientos.7. Don Samuel le pidió a un carpintero que le fabricara dos mesas circulares de madera. Una la colocaría Procure que tomen en el comedor y la otra como mesa de centro en la sala. Don Samuel quiere que la del comedor tenga la evaluación como 1.2 m de diámetro y la de la sala de 0.70 m de diámetro. algo habitual, bueno y sano; es decir, como1. ¿Qué área tendrá la mesa del comedor? (d) parte del proceso de aprendizaje de lasa) 0.113 m2 b) 11.3 m2 c) 113 m2 d) 1.13 m2 matemáticas.2. ¿Cuál será el perímetro de la mesa del comedor? (d) Cómo enriquecer d) 3.76 m2 la actividada) 3.67 m2 b) 376 m2 c) 37.6 m2 Permita a los alumnos3. ¿Qué área tendrá la mesa de la sala? (a) que comparen las d) 38 m2 diferencias entre lasa) 0.38 m2 b) 1.8 m2 c) 3.8m2 unidades de perímetro y área.4. ¿Cuál será la medida del perímetro de la mesa que va en la sala? (a) d) 21.3m2a) 2.1m2 b) 2.5 m2 c) 2.8 m2 Cambiando números Recuerde a sus alumnos que el perímetro de cualquier ﬁgura, no se expresa en metros 269 cuadrados (m2).Bitácora pedagógica 269

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MATEMÁTICAS 1 Bibliografía PARA EL ALUMNO Alberro, A., Bulajich R., Gómez, J., Rechmtman, A. (2005). Un reto diario…. México. Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Baldor Aurelio. (1974). Aritmética. Guatemala. Cultural centroamericana. Bressan, P., Ana de y Bressan Oscar. (2008). Probabilidad y estadística: como trabajar con niños y jóvenes. Buenos Aires. Novedades educativas. Cruz Sánchez Toribio. (1999). Algebra con aritmética: un enfoque moderno. México. EDIMAF. Flores Arredondo Gabriel. (1989). Nuevos juegos mentales: fascinantes proble- mas lógicos y matemáticos para ejercitar su inteligencia al máximo. México. Sa- yrols. García, M. A., y Delgado, A. (2002). Invitación a las matemáticas 2: actividades de exploración, juegos y ejercicios. México. Prentice Hall. García, M. A., y Delgado, A. (2002). Invitación a las matemáticas 3: actividades de exploración, juegos y ejercicios. México. Prentice Hall. Noguez, S., Cosme, A., Lozano, P. (2001). Activación del pensamiento 1: activi- dades para el desarrollo de habilidades cognitivas. México. Santillana. Noguez, S., Cosme, A., Lozano, P. (2001). Activación del pensamiento 2: activi- dades para el desarrollo de habilidades cognitivas. México. Santillana. Noguez, S., Cosme, A., Lozano, P. (2001). Activación del pensamiento 3: activi- dades para el desarrollo de habilidades cognitivas. México. Santillana. Ramírez, M., Molina, Mónica., Ramírez, A., Orozco M. (2006). Sugerencias di- dácticas para el desarrollo de competencias en secundaria. México. Trillas.270

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PARA EL DOCENTEAEBLI, Hans. (1995). Doce formas básicas de enseñar. Una didáctica basada en lapsicología. Madrid. Narcea.ASIMOV, Isaac. (1997). Nueva guía de la ciencia. Madrid. Plaza & Janés.ÁVILA, A. (directora), L.M. Aguayo, D. Eudave, J.L. Estrada, A. Hermosillo, J. Men-doza, Ma. E. Saucedo, E. Becerra. (2004). La reforma realizada. La resolución de pro-blemas como vía del aprendizaje en nuestras escuelas. Financiado por la DirecciónGeneral de Investigación Educativa de la Secretaría de Educación Básica y Normal.México. SEP.BROUSSEAU, Guy. (2000). Educación y didáctica de las matemáticas. En: EducaciónMatemática, Vol. 12, Nº 1, pp. 5-38, México. Grupo Editorial Iberoamérica.CARRAHER, Terezihna, et al. (1991). En la vida diez, en la escuela cero. México.Siglo XXI.DE LA PEÑA, José Antonio. (2002). Algunos problemas de la educación en matemá-ticas en México. México. Siglo XXI.HOFSTADTER, Douglas. (1979). Gödel, Escher, Bach: una eterna trenza dorada.México. CONACYT.INEE. (2005). PISA para docentes: la evaluación como oportunidad de aprendizaje.México.PEREDA, Luis. (1987). Didáctica de la resolución de problemas. Bilbao. Desclee deBrouwer.PIAGET, J., et al. (1965). Las estructuras matemáticas y las estructuras operatorias dela inteligencia. En: La enseñanza de las matemáticas. Madrid. Aguilar.SKINNER, B.F. (1975). Sobre el conductismo. Barcelona. Fontanella.STACEY, K y Groves, S. (1999). Resolver problemas: estrategias. Madrid. Narcea. 271

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MATEMÁTICAS 1 BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA BLOCK, D. Los números en primer grado: cuatro generaciones de situaciones didácticas. En: Educación Matemática, Vol. 11, Nº 1, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1999. COLLINS, William, et al . Álgebra 1. Glencoe/McGraw-Hill, EUA, 1998. Microsoft Encarta. Biblioteca de Consulta. 2006. IFRAH, Georges. Las Cifras. Alianza editorial, Madrid, 1988. MASINI, Giancarlo. El romance de los números. Círculo de Lectores, S.A., Madrid, 1980. NEWMAN, James R. El mundo de las matemáticas. Colección Sigma, tomo 1. Edi- ciones Grijalbo, Madrid, 1976. SEP. Geometría dinámica. EMAT, Educación secundaria, México, 2000. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo. EMAT, Educación secun- daria, México, 2000. Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México, 2000. Plan de Estudios. Educación Básica. Secundaria, México, 2006. Programa de estudio. Educación Básica. Matemáticas. Secundaria, Méxi- co, 2006. SMITH, Karl J. The nature of modern mathematics. Brooks/Cole, EUA, 1980. SODI, M. Demetrio. Así vivieron los mayas. Panorama, México, 1983. THOMPSON, J. Eric. Un comentario al Códice de Dresde. Libro de jeroglíﬁcos ma- yas. Fondo de Cultura Económica, México, 1993. WILLERDING, Margaret. Conceptos matemáticos. Un enfoque histórico. CECSA, México, 1971. VON HAGEN, Wolfgang Víctor. Los reinos americanos del sol. Aztecas, mayas, incas. Labor, Madrid, 1964.272

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Aprender Matemáticas, no solo genera que el alumno adquierahabilidades para sistematizar operaciones, sino que además,permite que desarrolle capacidades para plantear procedimientosencaminados a la resolución de problemas, sin la necesidad deajustarse a modelos preescritos.El método de trabajo que se plantea en este libro, a través de lasentender el contenido teórico de las Matemáticas, ayudándolo aconcretar los aprendizajes esperados y al desarrollo de las compe-tencias de la asignatura, tales como: pensar y razonar, argumentar,comunicar, elaborar modelos, plantear y resolver problemas,representar, utilizar lenguaje y operaciones simbólicas, formales ytécnicas, y utilizar ayudas y herramientas, entre otras.Los contenidos de Matemáticas 1, por competencias, fuerondesarrollados pensando también en los jóvenes que viven herma-nados con la tecnología y que día a día requieren y hacen uso deconocimientos ágiles y precisos que desarrollen sus competenciasal máximo.